初级微积分示例

$\cos (2 x) = - \frac{1}{2}$

Step 1

取方程两边的逆余弦从而提取余弦内的 $x$ 。

$2 x = \arccos (- \frac{1}{2})$

Step 2

化简右边。

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$\arccos (- \frac{1}{2})$ 的准确值为 $\frac{2 π}{3}$ 。

$2 x = \frac{2 π}{3}$

$2 x = \frac{2 π}{3}$

Step 3

将 $2 x = \frac{2 π}{3}$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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将 $2 x = \frac{2 π}{3}$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{2 π}{3}}{2}$

化简左边。

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约去 $2$ 的公因数。

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约去公因数。

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{2 π}{3}}{2}$

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{\frac{2 π}{3}}{2}$

$x = \frac{\frac{2 π}{3}}{2}$

$x = \frac{\frac{2 π}{3}}{2}$

化简右边。

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将分子乘以分母的倒数。

$x = \frac{2 π}{3} \cdot \frac{1}{2}$

约去 $2$ 的公因数。

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从 $2 π$ 中分解出因数 $2$ 。

$x = \frac{2 (π)}{3} \cdot \frac{1}{2}$

约去公因数。

$x = \frac{2 π}{3} \cdot \frac{1}{2}$

重写表达式。

$x = \frac{π}{3}$

$x = \frac{π}{3}$

$x = \frac{π}{3}$

$x = \frac{π}{3}$

Step 4

余弦函数在第二象限和第三象限为负。要求第二个解，应从 $2 π$ 中减去参考角以求第三象限中的解。

$2 x = 2 π - \frac{2 π}{3}$

Step 5

求解 $x$ 。

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化简。

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要将 $2 π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$2 x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 π}{3}$

组合 $2 π$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$2 x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{2 π}{3}$

在公分母上合并分子。

$2 x = \frac{2 π \cdot 3 - 2 π}{3}$

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$2 x = \frac{6 π - 2 π}{3}$

从 $6 π$ 中减去 $2 π$ 。

$2 x = \frac{4 π}{3}$

$2 x = \frac{4 π}{3}$

将 $2 x = \frac{4 π}{3}$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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将 $2 x = \frac{4 π}{3}$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{4 π}{3}}{2}$

化简左边。

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约去 $2$ 的公因数。

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约去公因数。

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{4 π}{3}}{2}$

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{\frac{4 π}{3}}{2}$

$x = \frac{\frac{4 π}{3}}{2}$

$x = \frac{\frac{4 π}{3}}{2}$

化简右边。

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将分子乘以分母的倒数。

$x = \frac{4 π}{3} \cdot \frac{1}{2}$

约去 $2$ 的公因数。

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从 $4 π$ 中分解出因数 $2$ 。

$x = \frac{2 (2 π)}{3} \cdot \frac{1}{2}$

约去公因数。

$x = \frac{2 (2 π)}{3} \cdot \frac{1}{2}$

重写表达式。

$x = \frac{2 π}{3}$

$x = \frac{2 π}{3}$

$x = \frac{2 π}{3}$

$x = \frac{2 π}{3}$

$x = \frac{2 π}{3}$

Step 6

求 $\cos (2 x)$ 的周期。

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函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

使用周期公式中的 $2$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 2 |}$

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $2$ 之间的距离为 $2$ 。

$\frac{2 π}{2}$

约去 $2$ 的公因数。

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约去公因数。

$\frac{2 π}{2}$

用 $π$ 除以 $1$ 。

$π$

$π$

$π$

Step 7

$\cos (2 x)$ 函数的周期为 $π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $π$ 弧度将重复出现。

$x = \frac{π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ ，对于任意整数 $n$

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$