初级微积分示例

f (x) = - \ln (x - 1) + 3

$f (x) = - \ln (x - 1) + 3$

Step 1

求渐近线。

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求在何处表达式

- \ln (x - 1) + 3

$- \ln (x - 1) + 3$ 无定义。

x \leq 1

$x \leq 1$

由于从左侧，当

x

$x$

\to

$\to$

1

$1$ 时，

- \ln (x - 1) + 3

$- \ln (x - 1) + 3$

\to

$\to$

\infty

$\infty$ ，且从右侧，当

x

$x$

\to

$\to$

1

$1$ 时，

- \ln (x - 1) + 3

$- \ln (x - 1) + 3$

\to

$\to$

\infty

$\infty$ ，因此

x = 1

$x = 1$ 是一条垂直渐近线。

x = 1

$x = 1$

忽略对数，考虑分子的次数为

n

$n$ 且分母的次数为

m

$m$ 的有理函数

R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}

$R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ 。

1. 如果

n < m

$n < m$ ，那么 X 轴，即

y = 0

$y = 0$ 为水平渐近线。

2. 如果

n = m

$n = m$ ，那么水平渐近线为直线

y = \frac{a}{b}

$y = \frac{a}{b}$ 。

3. 如果

n > m

$n > m$ ，那么水平渐近线不存在（存在一条斜渐近线）。

因为

Q (x)

$Q (x)$ 为

1

$1$ ，所以不存在水平渐近线。

不存在水平渐近线

对数函数和三角函数没有斜渐近线。

不存在斜渐近线

这是所有渐近线的集合。

垂直渐近线：

x = 1

$x = 1$

不存在水平渐近线

垂直渐近线：

x = 1

$x = 1$

不存在水平渐近线

Step 2

求在

x = 2

$x = 2$ 处的点。

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使用表达式中的

2

$2$ 替换变量

x

$x$ 。

f (2) = - \ln ((2) - 1) + 3

$f (2) = - \ln ((2) - 1) + 3$

化简结果。

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化简每一项。

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从

2

$2$ 中减去

1

$1$ 。

f (2) = - \ln (1) + 3

$f (2) = - \ln (1) + 3$

1

$1$ 的自然对数为

0

$0$ 。

f (2) = - 0 + 3

$f (2) = - 0 + 3$

将

- 1

$- 1$ 乘以

0

$0$ 。

f (2) = 0 + 3

$f (2) = 0 + 3$

f (2) = 0 + 3

$f (2) = 0 + 3$

将

0

$0$ 和

3

$3$ 相加。

f (2) = 3

$f (2) = 3$

最终答案为

3

$3$ 。

3

$3$

3

$3$

把

3

$3$ 转换成小数。

y = 3

$y = 3$

y = 3

$y = 3$

Step 3

求在

x = 3

$x = 3$ 处的点。

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使用表达式中的

3

$3$ 替换变量

x

$x$ 。

f (3) = - \ln ((3) - 1) + 3

$f (3) = - \ln ((3) - 1) + 3$

化简结果。

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从

3

$3$ 中减去

1

$1$ 。

f (3) = - \ln (2) + 3

$f (3) = - \ln (2) + 3$

最终答案为

- \ln (2) + 3

$- \ln (2) + 3$ 。

- \ln (2) + 3

$- \ln (2) + 3$

- \ln (2) + 3

$- \ln (2) + 3$

把

- \ln (2) + 3

$- \ln (2) + 3$ 转换成小数。

y = 2.30685281

$y = 2.30685281$

y = 2.30685281

$y = 2.30685281$

Step 4

求在

x = 4

$x = 4$ 处的点。

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使用表达式中的

4

$4$ 替换变量

x

$x$ 。

f (4) = - \ln ((4) - 1) + 3

$f (4) = - \ln ((4) - 1) + 3$

化简结果。

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从

4

$4$ 中减去

1

$1$ 。

f (4) = - \ln (3) + 3

$f (4) = - \ln (3) + 3$

最终答案为

- \ln (3) + 3

$- \ln (3) + 3$ 。

- \ln (3) + 3

$- \ln (3) + 3$

- \ln (3) + 3

$- \ln (3) + 3$

把

- \ln (3) + 3

$- \ln (3) + 3$ 转换成小数。

y = 1.90138771

$y = 1.90138771$

y = 1.90138771

$y = 1.90138771$

Step 5

可以使用

x = 1

$x = 1$ 处的垂直渐近线和点

(2, 3), (3, 2.30685281), (4, 1.90138771)

$(2, 3), (3, 2.30685281), (4, 1.90138771)$ 画出对数函数的图像。

垂直渐近线：

x = 1

$x = 1$

\begin{array}{c} x & y \\ 2 & 3 \\ 3 & 2.307 \\ 4 & 1.901 \end{array}

$\begin{array}{c} x & y \\ 2 & 3 \\ 3 & 2.307 \\ 4 & 1.901 \end{array}$

Step 6

f (x) = - \ln (x - 1) + 3

$f (x) = - \ln (x - 1) + 3$

(

(

)

)

|

|

[

[

]

]

√

√





≥

≥





















7

7

8

8

9

9













≤

≤





°

°

θ

θ









4

4

5

5

6

6

/

/

^

^

×

×

>

>





π

π













1

1

2

2

3

3

-

-

+

+

÷

÷

<

<





∞

∞











,

,

0

0

.

.

%

%



=

=









[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$