初级微积分示例

$f (x) = - \ln (x - 1) + 3$

Step 1

求渐近线。

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求在何处表达式 $- \ln (x - 1) + 3$ 无定义。

$x \leq 1$

由于从左侧，当 $x$ $\to$ $1$ 时， $- \ln (x - 1) + 3$ $\to$ $\infty$ ，且从右侧，当 $x$ $\to$ $1$ 时， $- \ln (x - 1) + 3$ $\to$ $\infty$ ，因此 $x = 1$ 是一条垂直渐近线。

$x = 1$

忽略对数，考虑分子的次数为 $n$ 且分母的次数为 $m$ 的有理函数 $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ 。

1. 如果 $n < m$ ，那么 X 轴，即 $y = 0$ 为水平渐近线。

2. 如果 $n = m$ ，那么水平渐近线为直线 $y = \frac{a}{b}$ 。

3. 如果 $n > m$ ，那么水平渐近线不存在（存在一条斜渐近线）。

因为 $Q (x)$ 为 $1$ ，所以不存在水平渐近线。

不存在水平渐近线

对数函数和三角函数没有斜渐近线。

不存在斜渐近线

这是所有渐近线的集合。

垂直渐近线： $x = 1$

不存在水平渐近线

垂直渐近线： $x = 1$

不存在水平渐近线

Step 2

求在 $x = 2$ 处的点。

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使用表达式中的 $2$ 替换变量 $x$ 。

$f (2) = - \ln ((2) - 1) + 3$

化简结果。

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化简每一项。

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从 $2$ 中减去 $1$ 。

$f (2) = - \ln (1) + 3$

$1$ 的自然对数为 $0$ 。

$f (2) = - 0 + 3$

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$f (2) = 0 + 3$

将 $0$ 和 $3$ 相加。

$f (2) = 3$

最终答案为 $3$ 。

$3$

把 $3$ 转换成小数。

$y = 3$

Step 3

求在 $x = 3$ 处的点。

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使用表达式中的 $3$ 替换变量 $x$ 。

$f (3) = - \ln ((3) - 1) + 3$

化简结果。

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从 $3$ 中减去 $1$ 。

$f (3) = - \ln (2) + 3$

最终答案为 $- \ln (2) + 3$ 。

$- \ln (2) + 3$

把 $- \ln (2) + 3$ 转换成小数。

$y = 2.30685281$

Step 4

求在 $x = 4$ 处的点。

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使用表达式中的 $4$ 替换变量 $x$ 。

$f (4) = - \ln ((4) - 1) + 3$

化简结果。

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从 $4$ 中减去 $1$ 。

$f (4) = - \ln (3) + 3$

最终答案为 $- \ln (3) + 3$ 。

$- \ln (3) + 3$

把 $- \ln (3) + 3$ 转换成小数。

$y = 1.90138771$

Step 5

可以使用 $x = 1$ 处的垂直渐近线和点 $(2, 3), (3, 2.30685281), (4, 1.90138771)$ 画出对数函数的图像。

垂直渐近线： $x = 1$

$\begin{array}{c} x & y \\ 2 & 3 \\ 3 & 2.307 \\ 4 & 1.901 \end{array}$

Step 6

初级微积分 示例

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