初级微积分示例

$\sin (2 x) + \cos (x) = 0$

Step 1

使用正弦倍角公式。

$2 \sin (x) \cos (x) + \cos (x) = 0$

Step 2

从 $2 \sin (x) \cos (x) + \cos (x)$ 中分解出因数 $\cos (x)$ 。

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从 $2 \sin (x) \cos (x)$ 中分解出因数 $\cos (x)$ 。

$\cos (x) (2 \sin (x)) + \cos (x) = 0$

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\cos (x) (2 \sin (x)) + \cos (x) = 0$

从 $\cos^{1} (x)$ 中分解出因数 $\cos (x)$ 。

$\cos (x) (2 \sin (x)) + \cos (x) \cdot 1 = 0$

从 $\cos (x) (2 \sin (x)) + \cos (x) \cdot 1$ 中分解出因数 $\cos (x)$ 。

$\cos (x) (2 \sin (x) + 1) = 0$

Step 3

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$\cos (x) = 0$

$2 \sin (x) + 1 = 0$

Step 4

将 $\cos (x)$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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将 $\cos (x)$ 设为等于 $0$ 。

$\cos (x) = 0$

求解 $x$ 的 $\cos (x) = 0$ 。

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取方程两边的逆余弦从而提取余弦内的 $x$ 。

$x = \arccos (0)$

化简右边。

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$\arccos (0)$ 的准确值为 $\frac{π}{2}$ 。

$x = \frac{π}{2}$

余弦函数在第一象限和第四象限恒为正。要求第二个解，从 $2 π$ 中减去参考角即可求出第四象限中的解。

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

化简 $2 π - \frac{π}{2}$ 。

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要将 $2 π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

合并分数。

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组合 $2 π$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

在公分母上合并分子。

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

化简分子。

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将 $2$ 乘以 $2$ 。

$x = \frac{4 π - π}{2}$

从 $4 π$ 中减去 $π$ 。

$x = \frac{3 π}{2}$

求 $\cos (x)$ 的周期。

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函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

$\cos (x)$ 函数的周期为 $2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2 π$ 弧度将重复出现。

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

Step 5

将 $2 \sin (x) + 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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将 $2 \sin (x) + 1$ 设为等于 $0$ 。

$2 \sin (x) + 1 = 0$

求解 $x$ 的 $2 \sin (x) + 1 = 0$ 。

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从等式两边同时减去 $1$ 。

$2 \sin (x) = - 1$

将 $2 \sin (x) = - 1$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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将 $2 \sin (x) = - 1$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 \sin (x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

化简左边。

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约去 $2$ 的公因数。

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约去公因数。

$\frac{2 \sin (x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

用 $\sin (x)$ 除以 $1$ 。

$\sin (x) = \frac{- 1}{2}$

化简右边。

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将负号移到分数的前面。

$\sin (x) = - \frac{1}{2}$

取方程两边的逆正弦从而提取正弦内的 $x$ 。

$x = \arcsin (- \frac{1}{2})$

化简右边。

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$\arcsin (- \frac{1}{2})$ 的准确值为 $- \frac{π}{6}$ 。

$x = - \frac{π}{6}$

正弦函数在第三和第四象限中为负值。若要求第二个解，可从 $2 π$ 减去这个解，从而求参考角。接着，将该参考角和 $π$ 相加以求第三象限中的解。

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π$

化简表达式以求第二个解。

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从 $2 π + \frac{π}{6} + π$ 中减去 $2 π$ 。

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π - 2 π$

得出的角 $\frac{7 π}{6}$ 是正角度，比 $2 π$ 小，且与 $2 π + \frac{π}{6} + π$ 共边。

$x = \frac{7 π}{6}$

求 $\sin (x)$ 的周期。

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函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

将 $2 π$ 和每一个负角相加以得出正角。

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将 $2 π$ 加到 $- \frac{π}{6}$ 以求正角。

$- \frac{π}{6} + 2 π$

要将 $2 π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{6}{6}$ 。

$2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

合并分数。

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组合 $2 π$ 和 $\frac{6}{6}$ 。

$\frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

在公分母上合并分子。

$\frac{2 π \cdot 6 - π}{6}$

化简分子。

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将 $6$ 乘以 $2$ 。

$\frac{12 π - π}{6}$

从 $12 π$ 中减去 $π$ 。

$\frac{11 π}{6}$

列出新角。

$x = \frac{11 π}{6}$

$\sin (x)$ 函数的周期为 $2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2 π$ 弧度将重复出现。

$x = \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

Step 6

最终解为使 $\cos (x) (2 \sin (x) + 1) = 0$ 成立的所有值。

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

Step 7

将 $\frac{π}{2} + 2 π n$ 和 $\frac{3 π}{2} + 2 π n$ 合并为 $\frac{π}{2} + π n$ 。

$x = \frac{π}{2} + π n, \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

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