初级微积分示例

$2 \sin^{2} (x) - 3 \sin (x) + 1 = 0$

Step 1

分组因式分解。

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对于 $a x^{2} + b x + c$ 形式的多项式，将其中间项重写为两项之和，这两项的乘积为 $a \cdot c = 2 \cdot 1 = 2$ 并且它们的和为 $b = - 3$ 。

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从 $- 3 \sin (x)$ 中分解出因数 $- 3$ 。

$2 \sin^{2} (x) - 3 \sin (x) + 1 = 0$

把 $- 3$ 重写为 $- 1$ 加 $- 2$

$2 \sin^{2} (x) + (- 1 - 2) \sin (x) + 1 = 0$

运用分配律。

$2 \sin^{2} (x) - 1 \sin (x) - 2 \sin (x) + 1 = 0$

从每组中因式分解出最大公因数。

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将首两项和最后两项分成两组。

$2 \sin^{2} (x) - 1 \sin (x) - 2 \sin (x) + 1 = 0$

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$\sin (x) (2 \sin (x) - 1) - (2 \sin (x) - 1) = 0$

通过因式分解出最大公因数 $2 \sin (x) - 1$ 来因式分解多项式。

$(2 \sin (x) - 1) (\sin (x) - 1) = 0$

Step 2

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$2 \sin (x) - 1 = 0$

$\sin (x) - 1 = 0$

Step 3

将 $2 \sin (x) - 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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将 $2 \sin (x) - 1$ 设为等于 $0$ 。

$2 \sin (x) - 1 = 0$

求解 $x$ 的 $2 \sin (x) - 1 = 0$ 。

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在等式两边都加上 $1$ 。

$2 \sin (x) = 1$

将 $2 \sin (x) = 1$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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将 $2 \sin (x) = 1$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 \sin (x)}{2} = \frac{1}{2}$

化简左边。

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约去 $2$ 的公因数。

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约去公因数。

$\frac{2 \sin (x)}{2} = \frac{1}{2}$

用 $\sin (x)$ 除以 $1$ 。

$\sin (x) = \frac{1}{2}$

取方程两边的逆正弦从而提取正弦内的 $x$ 。

$x = \arcsin (\frac{1}{2})$

化简右边。

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$\arcsin (\frac{1}{2})$ 的准确值为 $\frac{π}{6}$ 。

$x = \frac{π}{6}$

正弦函数在第一和第二象限中为正值。若要求第二个解，可从 $π$ 减去参考角以求第二象限中的解。

$x = π - \frac{π}{6}$

化简 $π - \frac{π}{6}$ 。

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要将 $π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{6}{6}$ 。

$x = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

合并分数。

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组合 $π$ 和 $\frac{6}{6}$ 。

$x = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

在公分母上合并分子。

$x = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

化简分子。

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将 $6$ 移到 $π$ 的左侧。

$x = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

从 $6 π$ 中减去 $π$ 。

$x = \frac{5 π}{6}$

求 $\sin (x)$ 的周期。

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函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

$\sin (x)$ 函数的周期为 $2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2 π$ 弧度将重复出现。

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

Step 4

将 $\sin (x) - 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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将 $\sin (x) - 1$ 设为等于 $0$ 。

$\sin (x) - 1 = 0$

求解 $x$ 的 $\sin (x) - 1 = 0$ 。

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在等式两边都加上 $1$ 。

$\sin (x) = 1$

取方程两边的逆正弦从而提取正弦内的 $x$ 。

$x = \arcsin (1)$

化简右边。

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$\arcsin (1)$ 的准确值为 $\frac{π}{2}$ 。

$x = \frac{π}{2}$

正弦函数在第一和第二象限中为正值。若要求第二个解，可从 $π$ 减去参考角以求第二象限中的解。

$x = π - \frac{π}{2}$

化简 $π - \frac{π}{2}$ 。

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要将 $π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$x = π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

合并分数。

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组合 $π$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$x = \frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

在公分母上合并分子。

$x = \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

化简分子。

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将 $2$ 移到 $π$ 的左侧。

$x = \frac{2 \cdot π - π}{2}$

从 $2 π$ 中减去 $π$ 。

$x = \frac{π}{2}$

求 $\sin (x)$ 的周期。

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函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

$\sin (x)$ 函数的周期为 $2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2 π$ 弧度将重复出现。

$x = \frac{π}{2} + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

Step 5

最终解为使 $(2 \sin (x) - 1) (\sin (x) - 1) = 0$ 成立的所有值。

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n, \frac{π}{2} + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

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