初级微积分示例

\sin (x) = - \frac{1}{2}

$\sin (x) = - \frac{1}{2}$

Step 1

取方程两边的逆正弦从而提取正弦内的

x

$x$ 。

x = \arcsin (- \frac{1}{2})

$x = \arcsin (- \frac{1}{2})$

Step 2

化简右边。

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\arcsin (- \frac{1}{2})

$\arcsin (- \frac{1}{2})$ 的准确值为

- \frac{π}{6}

$- \frac{π}{6}$ 。

x = - \frac{π}{6}

$x = - \frac{π}{6}$

x = - \frac{π}{6}

$x = - \frac{π}{6}$

Step 3

正弦函数在第三和第四象限中为负值。若要求第二个解，可从

2 π

$2 π$ 减去这个解，从而求参考角。接着，将该参考角和

π

$π$ 相加以求第三象限中的解。

x = 2 π + \frac{π}{6} + π

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π$

Step 4

化简表达式以求第二个解。

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从

2 π + \frac{π}{6} + π

$2 π + \frac{π}{6} + π$ 中减去

2 π

$2 π$ 。

x = 2 π + \frac{π}{6} + π - 2 π

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π - 2 π$

得出的角

\frac{7 π}{6}

$\frac{7 π}{6}$ 是正角度，比

2 π

$2 π$ 小，且与

2 π + \frac{π}{6} + π

$2 π + \frac{π}{6} + π$ 共边。

x = \frac{7 π}{6}

$x = \frac{7 π}{6}$

x = \frac{7 π}{6}

$x = \frac{7 π}{6}$

Step 5

求

\sin (x)

$\sin (x)$ 的周期。

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函数的周期可利用

\frac{2 π}{| b |}

$\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

\frac{2 π}{| b |}

$\frac{2 π}{| b |}$

使用周期公式中的

1

$1$ 替换

b

$b$ 。

\frac{2 π}{| 1 |}

$\frac{2 π}{| 1 |}$

绝对值就是一个数和零之间的距离。

0

$0$ 和

1

$1$ 之间的距离为

1

$1$ 。

\frac{2 π}{1}

$\frac{2 π}{1}$

用

2 π

$2 π$ 除以

1

$1$ 。

2 π

$2 π$

2 π

$2 π$

Step 6

将

2 π

$2 π$ 和每一个负角相加以得出正角。

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将

2 π

$2 π$ 加到

- \frac{π}{6}

$- \frac{π}{6}$ 以求正角。

- \frac{π}{6} + 2 π

$- \frac{π}{6} + 2 π$

要将

2 π

$2 π$ 写成带有公分母的分数，请乘以

\frac{6}{6}

$\frac{6}{6}$ 。

2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}

$2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

合并分数。

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组合

2 π

$2 π$ 和

\frac{6}{6}

$\frac{6}{6}$ 。

\frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}

$\frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

在公分母上合并分子。

\frac{2 π \cdot 6 - π}{6}

$\frac{2 π \cdot 6 - π}{6}$

\frac{2 π \cdot 6 - π}{6}

$\frac{2 π \cdot 6 - π}{6}$

化简分子。

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将

6

$6$ 乘以

2

$2$ 。

\frac{12 π - π}{6}

$\frac{12 π - π}{6}$

从

12 π

$12 π$ 中减去

π

$π$ 。

\frac{11 π}{6}

$\frac{11 π}{6}$

\frac{11 π}{6}

$\frac{11 π}{6}$

列出新角。

x = \frac{11 π}{6}

$x = \frac{11 π}{6}$

x = \frac{11 π}{6}

$x = \frac{11 π}{6}$

Step 7

\sin (x)

$\sin (x)$ 函数的周期为

2 π

$2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔

2 π

$2 π$ 弧度将重复出现。

x = \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n

$x = \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ ，对于任意整数

n

$n$

\sin (x) = - \frac{1}{2}

$\sin (x) = - \frac{1}{2}$

(

(

)

)

|

|

[

[

]

]

√

√





≥

≥





















7

7

8

8

9

9













≤

≤





°

°

θ

θ









4

4

5

5

6

6

/

/

^

^

×

×

>

>





π

π













1

1

2

2

3

3

-

-

+

+

÷

÷

<

<





∞

∞











,

,

0

0

.

.

%

%



=

=









[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$