初级微积分示例

$f (t) = e^{\sin (t)} \cos (t)$ , $[0, \frac{π}{2}]$

解题步骤 1

将 $f (t) = e^{\sin (t)} \cos (t)$ 写为等式。

$y = e^{\sin (t)} \cos (t)$

解题步骤 2

运用平均变化率公式代入。

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解题步骤 2.1

函数的平均变化率可通过计算两点的 $y$ 的变化值除以两点的 $t$ 变化值来求得。

$\frac{f (\frac{π}{2}) - f (0)}{(\frac{π}{2}) - (0)}$

解题步骤 2.2

代入 $f (\frac{π}{2})$ 和 $f (0)$ 的方程 $y = e^{\sin (t)} \cos (t)$ 中，用对应的 $t$ 值替换函数中的 $t$ 。

$\frac{(e^{\sin (\frac{π}{2})} \cos (\frac{π}{2})) - (e^{\sin (0)} \cos (0))}{(\frac{π}{2}) - (0)}$

解题步骤 3

化简表达式。

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解题步骤 3.1

将分数的分子和分母乘以 $2$ 。

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解题步骤 3.1.1

将 $\frac{e^{\sin (\frac{π}{2})} \cos (\frac{π}{2}) - e^{\sin (0)} \cos (0)}{\frac{π}{2} - (0)}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{2}{2} \cdot \frac{e^{\sin (\frac{π}{2})} \cos (\frac{π}{2}) - e^{\sin (0)} \cos (0)}{\frac{π}{2} - (0)}$

解题步骤 3.1.2

合并。

$\frac{2 (e^{\sin (\frac{π}{2})} \cos (\frac{π}{2}) - e^{\sin (0)} \cos (0))}{2 (\frac{π}{2} - (0))}$

解题步骤 3.2

运用分配律。

$\frac{2 (e^{\sin (\frac{π}{2})} \cos (\frac{π}{2})) + 2 (- e^{\sin (0)} \cos (0))}{2 \frac{π}{2} + 2 (- (0))}$

解题步骤 3.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.1

约去公因数。

$\frac{2 (e^{\sin (\frac{π}{2})} \cos (\frac{π}{2})) + 2 (- e^{\sin (0)} \cos (0))}{2 \frac{π}{2} + 2 (- (0))}$

解题步骤 3.3.2

重写表达式。

$\frac{2 (e^{\sin (\frac{π}{2})} \cos (\frac{π}{2})) + 2 (- e^{\sin (0)} \cos (0))}{π + 2 (- (0))}$

解题步骤 3.4

化简分子。

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解题步骤 3.4.1

$\sin (\frac{π}{2})$ 的准确值为 $1$ 。

$\frac{2 e^{1} \cos (\frac{π}{2}) + 2 (- e^{\sin (0)} \cos (0))}{π + 2 (- (0))}$

解题步骤 3.4.2

化简。

$\frac{2 e \cos (\frac{π}{2}) + 2 (- e^{\sin (0)} \cos (0))}{π + 2 (- (0))}$

解题步骤 3.4.3

$\cos (\frac{π}{2})$ 的准确值为 $0$ 。

$\frac{2 e \cdot 0 + 2 (- e^{\sin (0)} \cos (0))}{π + 2 (- (0))}$

解题步骤 3.4.4

乘以 $2 e \cdot 0$ 。

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解题步骤 3.4.4.1

将 $0$ 乘以 $2$ 。

$\frac{0 e + 2 (- e^{\sin (0)} \cos (0))}{π + 2 (- (0))}$

解题步骤 3.4.4.2

将 $0$ 乘以 $e$ 。

$\frac{0 + 2 (- e^{\sin (0)} \cos (0))}{π + 2 (- (0))}$

解题步骤 3.4.5

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$\frac{0 + 2 (- e^{0} \cos (0))}{π + 2 (- (0))}$

解题步骤 3.4.6

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$\frac{0 + 2 (- 1 \cdot 1 \cos (0))}{π + 2 (- (0))}$

解题步骤 3.4.7

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{0 + 2 (- 1 \cos (0))}{π + 2 (- (0))}$

解题步骤 3.4.8

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$\frac{0 + 2 (- 1 \cdot 1)}{π + 2 (- (0))}$

解题步骤 3.4.9

乘以 $2 (- 1 \cdot 1)$ 。

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解题步骤 3.4.9.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{0 + 2 \cdot - 1}{π + 2 (- (0))}$

解题步骤 3.4.9.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{0 - 2}{π + 2 (- (0))}$

解题步骤 3.4.10

从 $0$ 中减去 $2$ 。

$\frac{- 2}{π + 2 (- (0))}$

解题步骤 3.5

化简分母。

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解题步骤 3.5.1

乘以 $2 (- (0))$ 。

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解题步骤 3.5.1.1

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$\frac{- 2}{π + 2 \cdot 0}$

解题步骤 3.5.1.2

将 $2$ 乘以 $0$ 。

$\frac{- 2}{π + 0}$

解题步骤 3.5.2

将 $π$ 和 $0$ 相加。

$\frac{- 2}{π}$

解题步骤 3.6

将负号移到分数的前面。

$- \frac{2}{π}$

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