初级微积分示例

$f (x) = \frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{4} x$

解题步骤 1

考虑差商公式。

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

解题步骤 2

求定义的补集。

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解题步骤 2.1

计算函数在 $x = x + h$ 处的值。

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解题步骤 2.1.1

使用表达式中的 $x + h$ 替换变量 $x$ 。

$f (x + h) = \frac{1}{2} \cdot {(x + h)}^{2} + \frac{1}{4} \cdot (x + h)$

解题步骤 2.1.2

化简结果。

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解题步骤 2.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.2.1.1

将 ${(x + h)}^{2}$ 重写为 $(x + h) (x + h)$ 。

$f (x + h) = \frac{1}{2} \cdot ((x + h) (x + h)) + \frac{1}{4} \cdot (x + h)$

解题步骤 2.1.2.1.2

使用 FOIL 方法展开 $(x + h) (x + h)$ 。

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解题步骤 2.1.2.1.2.1

运用分配律。

$f (x + h) = \frac{1}{2} \cdot (x (x + h) + h (x + h)) + \frac{1}{4} \cdot (x + h)$

解题步骤 2.1.2.1.2.2

运用分配律。

$f (x + h) = \frac{1}{2} \cdot (x \cdot x + x h + h (x + h)) + \frac{1}{4} \cdot (x + h)$

解题步骤 2.1.2.1.2.3

运用分配律。

$f (x + h) = \frac{1}{2} \cdot (x \cdot x + x h + h x + h \cdot h) + \frac{1}{4} \cdot (x + h)$

解题步骤 2.1.2.1.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 2.1.2.1.3.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.2.1.3.1.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$f (x + h) = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} + x h + h x + h \cdot h) + \frac{1}{4} \cdot (x + h)$

解题步骤 2.1.2.1.3.1.2

将 $h$ 乘以 $h$ 。

$f (x + h) = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} + x h + h x + h^{2}) + \frac{1}{4} \cdot (x + h)$

解题步骤 2.1.2.1.3.2

将 $x h$ 和 $h x$ 相加。

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解题步骤 2.1.2.1.3.2.1

将 $x$ 和 $h$ 重新排序。

$f (x + h) = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} + h x + h x + h^{2}) + \frac{1}{4} \cdot (x + h)$

解题步骤 2.1.2.1.3.2.2

将 $h x$ 和 $h x$ 相加。

$f (x + h) = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} + 2 h x + h^{2}) + \frac{1}{4} \cdot (x + h)$

解题步骤 2.1.2.1.4

运用分配律。

$f (x + h) = \frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{2} \cdot (2 h x) + \frac{1}{2} h^{2} + \frac{1}{4} \cdot (x + h)$

解题步骤 2.1.2.1.5

化简。

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解题步骤 2.1.2.1.5.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{2}$ 。

$f (x + h) = \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot (2 h x) + \frac{1}{2} h^{2} + \frac{1}{4} \cdot (x + h)$

解题步骤 2.1.2.1.5.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.1.2.1.5.2.1

从 $2 h x$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (x + h) = \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot (2 (h x)) + \frac{1}{2} h^{2} + \frac{1}{4} \cdot (x + h)$

解题步骤 2.1.2.1.5.2.2

约去公因数。

$f (x + h) = \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot (2 (h x)) + \frac{1}{2} h^{2} + \frac{1}{4} \cdot (x + h)$

解题步骤 2.1.2.1.5.2.3

重写表达式。

$f (x + h) = \frac{x^{2}}{2} + h x + \frac{1}{2} h^{2} + \frac{1}{4} \cdot (x + h)$

解题步骤 2.1.2.1.5.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $h^{2}$ 。

$f (x + h) = \frac{x^{2}}{2} + h x + \frac{h^{2}}{2} + \frac{1}{4} \cdot (x + h)$

解题步骤 2.1.2.1.6

运用分配律。

$f (x + h) = \frac{x^{2}}{2} + h x + \frac{h^{2}}{2} + \frac{1}{4} x + \frac{1}{4} h$

解题步骤 2.1.2.1.7

组合 $\frac{1}{4}$ 和 $x$ 。

$f (x + h) = \frac{x^{2}}{2} + h x + \frac{h^{2}}{2} + \frac{x}{4} + \frac{1}{4} h$

解题步骤 2.1.2.1.8

组合 $\frac{1}{4}$ 和 $h$ 。

$f (x + h) = \frac{x^{2}}{2} + h x + \frac{h^{2}}{2} + \frac{x}{4} + \frac{h}{4}$

解题步骤 2.1.2.2

最终答案为 $\frac{x^{2}}{2} + h x + \frac{h^{2}}{2} + \frac{x}{4} + \frac{h}{4}$ 。

$\frac{x^{2}}{2} + h x + \frac{h^{2}}{2} + \frac{x}{4} + \frac{h}{4}$

解题步骤 2.2

重新排序。

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解题步骤 2.2.1

移动 $\frac{x}{4}$ 。

$\frac{x^{2}}{2} + h x + \frac{h^{2}}{2} + \frac{h}{4} + \frac{x}{4}$

解题步骤 2.2.2

移动 $\frac{x^{2}}{2}$ 。

$h x + \frac{h^{2}}{2} + \frac{x^{2}}{2} + \frac{h}{4} + \frac{x}{4}$

解题步骤 2.2.3

将 $h x$ 和 $\frac{h^{2}}{2}$ 重新排序。

$\frac{h^{2}}{2} + h x + \frac{x^{2}}{2} + \frac{h}{4} + \frac{x}{4}$

解题步骤 2.3

求定义的补集。

$f (x + h) = \frac{h^{2}}{2} + h x + \frac{x^{2}}{2} + \frac{h}{4} + \frac{x}{4}$

$f (x) = \frac{x^{2}}{2} + \frac{x}{4}$

$f (x + h) = \frac{h^{2}}{2} + h x + \frac{x^{2}}{2} + \frac{h}{4} + \frac{x}{4}$

$f (x) = \frac{x^{2}}{2} + \frac{x}{4}$

解题步骤 3

插入分量。

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{\frac{h^{2}}{2} + h x + \frac{x^{2}}{2} + \frac{h}{4} + \frac{x}{4} - (\frac{x^{2}}{2} + \frac{x}{4})}{h}$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

化简分子。

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解题步骤 4.1.1

运用分配律。

$\frac{\frac{h^{2}}{2} + h x + \frac{x^{2}}{2} + \frac{h}{4} + \frac{x}{4} - \frac{x^{2}}{2} - \frac{x}{4}}{h}$

解题步骤 4.1.2

重新排序 $h x$ 的因式。

$\frac{\frac{h^{2}}{2} + x h + \frac{x^{2}}{2} + \frac{h}{4} + \frac{x}{4} - \frac{x^{2}}{2} - \frac{x}{4}}{h}$

解题步骤 4.1.3

要将 $x h$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$\frac{\frac{h^{2}}{2} + \frac{x^{2}}{2} + x h \cdot \frac{4}{4} + \frac{h}{4} + \frac{x}{4} - \frac{x^{2}}{2} - \frac{x}{4}}{h}$

解题步骤 4.1.4

组合 $x h$ 和 $\frac{4}{4}$ 。

$\frac{\frac{h^{2}}{2} + \frac{x^{2}}{2} + \frac{x h \cdot 4}{4} + \frac{h}{4} + \frac{x}{4} - \frac{x^{2}}{2} - \frac{x}{4}}{h}$

解题步骤 4.1.5

在公分母上合并分子。

$\frac{\frac{h^{2}}{2} + \frac{x^{2}}{2} + \frac{x h \cdot 4 + h}{4} + \frac{x}{4} - \frac{x^{2}}{2} - \frac{x}{4}}{h}$

解题步骤 4.1.6

要将 $\frac{h^{2}}{2}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{\frac{x^{2}}{2} + \frac{h^{2}}{2} \cdot \frac{2}{2} + \frac{x h \cdot 4 + h}{4} + \frac{x}{4} - \frac{x^{2}}{2} - \frac{x}{4}}{h}$

解题步骤 4.1.7

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $4$ 的形式。

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解题步骤 4.1.7.1

将 $\frac{h^{2}}{2}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{\frac{x^{2}}{2} + \frac{h^{2} \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{x h \cdot 4 + h}{4} + \frac{x}{4} - \frac{x^{2}}{2} - \frac{x}{4}}{h}$

解题步骤 4.1.7.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{\frac{x^{2}}{2} + \frac{h^{2} \cdot 2}{4} + \frac{x h \cdot 4 + h}{4} + \frac{x}{4} - \frac{x^{2}}{2} - \frac{x}{4}}{h}$

解题步骤 4.1.8

在公分母上合并分子。

$\frac{\frac{x^{2}}{2} + \frac{h^{2} \cdot 2 + x h \cdot 4 + h}{4} + \frac{x}{4} - \frac{x^{2}}{2} - \frac{x}{4}}{h}$

解题步骤 4.1.9

要将 $\frac{x^{2}}{2}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{\frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{2}{2} + \frac{h^{2} \cdot 2 + x h \cdot 4 + h}{4} + \frac{x}{4} - \frac{x^{2}}{2} - \frac{x}{4}}{h}$

解题步骤 4.1.10

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $4$ 的形式。

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解题步骤 4.1.10.1

将 $\frac{x^{2}}{2}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{\frac{x^{2} \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{h^{2} \cdot 2 + x h \cdot 4 + h}{4} + \frac{x}{4} - \frac{x^{2}}{2} - \frac{x}{4}}{h}$

解题步骤 4.1.10.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{\frac{x^{2} \cdot 2}{4} + \frac{h^{2} \cdot 2 + x h \cdot 4 + h}{4} + \frac{x}{4} - \frac{x^{2}}{2} - \frac{x}{4}}{h}$

解题步骤 4.1.11

在公分母上合并分子。

$\frac{\frac{x^{2} \cdot 2 + h^{2} \cdot 2 + x h \cdot 4 + h}{4} + \frac{x}{4} - \frac{x^{2}}{2} - \frac{x}{4}}{h}$

解题步骤 4.1.12

在公分母上合并分子。

$\frac{\frac{x^{2} \cdot 2 + h^{2} \cdot 2 + x h \cdot 4 + h + x}{4} - \frac{x^{2}}{2} - \frac{x}{4}}{h}$

解题步骤 4.1.13

要将 $- \frac{x^{2}}{2}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{\frac{x^{2} \cdot 2 + h^{2} \cdot 2 + x h \cdot 4 + h + x}{4} - \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{x}{4}}{h}$

解题步骤 4.1.14

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $4$ 的形式。

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解题步骤 4.1.14.1

将 $\frac{x^{2}}{2}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{\frac{x^{2} \cdot 2 + h^{2} \cdot 2 + x h \cdot 4 + h + x}{4} - \frac{x^{2} \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{x}{4}}{h}$

解题步骤 4.1.14.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{\frac{x^{2} \cdot 2 + h^{2} \cdot 2 + x h \cdot 4 + h + x}{4} - \frac{x^{2} \cdot 2}{4} - \frac{x}{4}}{h}$

解题步骤 4.1.15

在公分母上合并分子。

$\frac{\frac{x^{2} \cdot 2 + h^{2} \cdot 2 + x h \cdot 4 + h + x - x^{2} \cdot 2}{4} - \frac{x}{4}}{h}$

解题步骤 4.1.16

在公分母上合并分子。

$\frac{\frac{x^{2} \cdot 2 + h^{2} \cdot 2 + x h \cdot 4 + h + x - x^{2} \cdot 2 - x}{4}}{h}$

解题步骤 4.1.17

以因式分解的形式重写 $\frac{x^{2} \cdot 2 + h^{2} \cdot 2 + x h \cdot 4 + h + x - x^{2} \cdot 2 - x}{4}$ 。

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解题步骤 4.1.17.1

从 $x^{2} \cdot 2$ 中减去 $x^{2} \cdot 2$ 。

$\frac{\frac{h^{2} \cdot 2 + x h \cdot 4 + h + x + 0 - x}{4}}{h}$

解题步骤 4.1.17.2

将 $h^{2} \cdot 2$ 和 $0$ 相加。

$\frac{\frac{h^{2} \cdot 2 + x h \cdot 4 + h + x - x}{4}}{h}$

解题步骤 4.1.17.3

从 $x$ 中减去 $x$ 。

$\frac{\frac{h^{2} \cdot 2 + x h \cdot 4 + h + 0}{4}}{h}$

解题步骤 4.1.17.4

将 $h^{2} \cdot 2 + x h \cdot 4 + h$ 和 $0$ 相加。

$\frac{\frac{h^{2} \cdot 2 + x h \cdot 4 + h}{4}}{h}$

解题步骤 4.1.17.5

从 $h^{2} \cdot 2 + x h \cdot 4 + h$ 中分解出因数 $h$ 。

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解题步骤 4.1.17.5.1

从 $h^{2} \cdot 2$ 中分解出因数 $h$ 。

$\frac{\frac{h (h \cdot 2) + x (h) \cdot 4 + h}{4}}{h}$

解题步骤 4.1.17.5.2

从 $x h \cdot 4$ 中分解出因数 $h$ 。

$\frac{\frac{h (h \cdot 2) + h (x \cdot 4) + h}{4}}{h}$

解题步骤 4.1.17.5.3

对 $h$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\frac{h (h \cdot 2) + h (x \cdot 4) + h^{1}}{4}}{h}$

解题步骤 4.1.17.5.4

从 $h^{1}$ 中分解出因数 $h$ 。

$\frac{\frac{h (h \cdot 2) + h (x \cdot 4) + h \cdot 1}{4}}{h}$

解题步骤 4.1.17.5.5

从 $h (h \cdot 2) + h (x \cdot 4)$ 中分解出因数 $h$ 。

$\frac{\frac{h (h \cdot 2 + x \cdot 4) + h \cdot 1}{4}}{h}$

解题步骤 4.1.17.5.6

从 $h (h \cdot 2 + x \cdot 4) + h \cdot 1$ 中分解出因数 $h$ 。

$\frac{\frac{h (h \cdot 2 + x \cdot 4 + 1)}{4}}{h}$

解题步骤 4.1.17.6

将 $2$ 移到 $h$ 的左侧。

$\frac{\frac{h (2 \cdot h + x \cdot 4 + 1)}{4}}{h}$

解题步骤 4.1.17.7

将 $4$ 移到 $x$ 的左侧。

$\frac{\frac{h (2 h + 4 x + 1)}{4}}{h}$

解题步骤 4.2

将分子乘以分母的倒数。

$\frac{h (2 h + 4 x + 1)}{4} \cdot \frac{1}{h}$

解题步骤 4.3

约去 $h$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.1

约去公因数。

$\frac{h (2 h + 4 x + 1)}{4} \cdot \frac{1}{h}$

解题步骤 4.3.2

重写表达式。

$\frac{2 h + 4 x + 1}{4}$

解题步骤 5

初级微积分 示例

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