初级微积分示例

$f (x) = x^{2} - \frac{1}{x}$ , $[2, 4]$

解题步骤 1

将 $f (x) = x^{2} - \frac{1}{x}$ 写为等式。

$y = x^{2} - \frac{1}{x}$

解题步骤 2

运用平均变化率公式代入。

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解题步骤 2.1

函数的平均变化率可通过计算两点的 $y$ 的变化值除以两点的 $x$ 变化值来求得。

$\frac{f (4) - f (2)}{(4) - (2)}$

解题步骤 2.2

代入 $f (4)$ 和 $f (2)$ 的方程 $y = x^{2} - \frac{1}{x}$ 中，用对应的 $x$ 值替换函数中的 $x$ 。

$\frac{({(4)}^{2} - \frac{1}{4}) - ({(2)}^{2} - \frac{1}{2})}{(4) - (2)}$

解题步骤 3

化简表达式。

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解题步骤 3.1

将分数的分子和分母乘以 $4$ 。

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解题步骤 3.1.1

将 $\frac{4^{2} - \frac{1}{4} - (2^{2} - \frac{1}{2})}{4 - (2)}$ 乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$\frac{4}{4} \cdot \frac{4^{2} - \frac{1}{4} - (2^{2} - \frac{1}{2})}{4 - (2)}$

解题步骤 3.1.2

合并。

$\frac{4 (4^{2} - \frac{1}{4} - (2^{2} - \frac{1}{2}))}{4 (4 - (2))}$

解题步骤 3.2

运用分配律。

$\frac{4 \cdot 4^{2} + 4 (- \frac{1}{4}) + 4 (- (2^{2} - \frac{1}{2}))}{4 \cdot 4 + 4 (- (2))}$

解题步骤 3.3

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.1

将 $- \frac{1}{4}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{4 \cdot 4^{2} + 4 (\frac{- 1}{4}) + 4 (- (2^{2} - \frac{1}{2}))}{4 \cdot 4 + 4 (- (2))}$

解题步骤 3.3.2

约去公因数。

$\frac{4 \cdot 4^{2} + 4 (\frac{- 1}{4}) + 4 (- (2^{2} - \frac{1}{2}))}{4 \cdot 4 + 4 (- (2))}$

解题步骤 3.3.3

重写表达式。

$\frac{4 \cdot 4^{2} - 1 + 4 (- (2^{2} - \frac{1}{2}))}{4 \cdot 4 + 4 (- (2))}$

解题步骤 3.4

化简分子。

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解题步骤 3.4.1

通过指数相加将 $4$ 乘以 $4^{2}$ 。

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解题步骤 3.4.1.1

将 $4$ 乘以 $4^{2}$ 。

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解题步骤 3.4.1.1.1

对 $4$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{4^{1} \cdot 4^{2} - 1 + 4 (- (2^{2} - \frac{1}{2}))}{4 \cdot 4 + 4 (- (2))}$

解题步骤 3.4.1.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{4^{1 + 2} - 1 + 4 (- (2^{2} - \frac{1}{2}))}{4 \cdot 4 + 4 (- (2))}$

解题步骤 3.4.1.2

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{4^{3} - 1 + 4 (- (2^{2} - \frac{1}{2}))}{4 \cdot 4 + 4 (- (2))}$

解题步骤 3.4.2

对 $4$ 进行 $3$ 次方运算。

$\frac{64 - 1 + 4 (- (2^{2} - \frac{1}{2}))}{4 \cdot 4 + 4 (- (2))}$

解题步骤 3.4.3

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{64 - 1 + 4 (- (4 - \frac{1}{2}))}{4 \cdot 4 + 4 (- (2))}$

解题步骤 3.4.4

要将 $4$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{64 - 1 + 4 (- (4 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}))}{4 \cdot 4 + 4 (- (2))}$

解题步骤 3.4.5

组合 $4$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{64 - 1 + 4 (- (\frac{4 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}))}{4 \cdot 4 + 4 (- (2))}$

解题步骤 3.4.6

在公分母上合并分子。

$\frac{64 - 1 + 4 (- \frac{4 \cdot 2 - 1}{2})}{4 \cdot 4 + 4 (- (2))}$

解题步骤 3.4.7

化简分子。

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解题步骤 3.4.7.1

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$\frac{64 - 1 + 4 (- \frac{8 - 1}{2})}{4 \cdot 4 + 4 (- (2))}$

解题步骤 3.4.7.2

从 $8$ 中减去 $1$ 。

$\frac{64 - 1 + 4 (- \frac{7}{2})}{4 \cdot 4 + 4 (- (2))}$

解题步骤 3.4.8

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.4.8.1

将 $- \frac{7}{2}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{64 - 1 + 4 (\frac{- 7}{2})}{4 \cdot 4 + 4 (- (2))}$

解题步骤 3.4.8.2

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{64 - 1 + 2 (2) \frac{- 7}{2}}{4 \cdot 4 + 4 (- (2))}$

解题步骤 3.4.8.3

约去公因数。

$\frac{64 - 1 + 2 \cdot 2 \frac{- 7}{2}}{4 \cdot 4 + 4 (- (2))}$

解题步骤 3.4.8.4

重写表达式。

$\frac{64 - 1 + 2 \cdot - 7}{4 \cdot 4 + 4 (- (2))}$

解题步骤 3.4.9

将 $2$ 乘以 $- 7$ 。

$\frac{64 - 1 - 14}{4 \cdot 4 + 4 (- (2))}$

解题步骤 3.4.10

从 $64$ 中减去 $1$ 。

$\frac{63 - 14}{4 \cdot 4 + 4 (- (2))}$

解题步骤 3.4.11

从 $63$ 中减去 $14$ 。

$\frac{49}{4 \cdot 4 + 4 (- (2))}$

解题步骤 3.5

化简分母。

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解题步骤 3.5.1

将 $4$ 乘以 $4$ 。

$\frac{49}{16 + 4 (- (2))}$

解题步骤 3.5.2

乘以 $4 (- (2))$ 。

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解题步骤 3.5.2.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{49}{16 + 4 \cdot - 2}$

解题步骤 3.5.2.2

将 $4$ 乘以 $- 2$ 。

$\frac{49}{16 - 8}$

解题步骤 3.5.3

从 $16$ 中减去 $8$ 。

$\frac{49}{8}$

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