初级微积分示例

$2 x^{2} + x + 5$

解题步骤 1

将 $2 x^{2} + x + 5$ 书写为一个函数。

$f (x) = 2 x^{2} + x + 5$

解题步骤 2

考虑差商公式。

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

解题步骤 3

求定义的补集。

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解题步骤 3.1

计算函数在 $x = x + h$ 处的值。

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解题步骤 3.1.1

使用表达式中的 $x + h$ 替换变量 $x$ 。

$f (x + h) = 2 {(x + h)}^{2} + x + h + 5$

解题步骤 3.1.2

化简结果。

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解题步骤 3.1.2.1

去掉圆括号。

$f (x + h) = 2 {(x + h)}^{2} + x + h + 5$

解题步骤 3.1.2.2

化简每一项。

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解题步骤 3.1.2.2.1

将 ${(x + h)}^{2}$ 重写为 $(x + h) (x + h)$ 。

$f (x + h) = 2 ((x + h) (x + h)) + x + h + 5$

解题步骤 3.1.2.2.2

使用 FOIL 方法展开 $(x + h) (x + h)$ 。

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解题步骤 3.1.2.2.2.1

运用分配律。

$f (x + h) = 2 (x (x + h) + h (x + h)) + x + h + 5$

解题步骤 3.1.2.2.2.2

运用分配律。

$f (x + h) = 2 (x \cdot x + x h + h (x + h)) + x + h + 5$

解题步骤 3.1.2.2.2.3

运用分配律。

$f (x + h) = 2 (x \cdot x + x h + h x + h \cdot h) + x + h + 5$

解题步骤 3.1.2.2.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 3.1.2.2.3.1

化简每一项。

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解题步骤 3.1.2.2.3.1.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$f (x + h) = 2 (x^{2} + x h + h x + h \cdot h) + x + h + 5$

解题步骤 3.1.2.2.3.1.2

将 $h$ 乘以 $h$ 。

$f (x + h) = 2 (x^{2} + x h + h x + h^{2}) + x + h + 5$

解题步骤 3.1.2.2.3.2

将 $x h$ 和 $h x$ 相加。

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解题步骤 3.1.2.2.3.2.1

将 $x$ 和 $h$ 重新排序。

$f (x + h) = 2 (x^{2} + h x + h x + h^{2}) + x + h + 5$

解题步骤 3.1.2.2.3.2.2

将 $h x$ 和 $h x$ 相加。

$f (x + h) = 2 (x^{2} + 2 h x + h^{2}) + x + h + 5$

解题步骤 3.1.2.2.4

运用分配律。

$f (x + h) = 2 x^{2} + 2 (2 h x) + 2 h^{2} + x + h + 5$

解题步骤 3.1.2.2.5

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$f (x + h) = 2 x^{2} + 4 h x + 2 h^{2} + x + h + 5$

解题步骤 3.1.2.3

最终答案为 $2 x^{2} + 4 h x + 2 h^{2} + x + h + 5$ 。

$2 x^{2} + 4 h x + 2 h^{2} + x + h + 5$

解题步骤 3.2

重新排序。

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解题步骤 3.2.1

移动 $x$ 。

$2 x^{2} + 4 h x + 2 h^{2} + h + x + 5$

解题步骤 3.2.2

移动 $2 x^{2}$ 。

$4 h x + 2 h^{2} + 2 x^{2} + h + x + 5$

解题步骤 3.2.3

将 $4 h x$ 和 $2 h^{2}$ 重新排序。

$2 h^{2} + 4 h x + 2 x^{2} + h + x + 5$

解题步骤 3.3

求定义的补集。

$f (x + h) = 2 h^{2} + 4 h x + 2 x^{2} + h + x + 5$

$f (x) = 2 x^{2} + x + 5$

$f (x + h) = 2 h^{2} + 4 h x + 2 x^{2} + h + x + 5$

$f (x) = 2 x^{2} + x + 5$

解题步骤 4

插入分量。

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{2 h^{2} + 4 h x + 2 x^{2} + h + x + 5 - (2 x^{2} + x + 5)}{h}$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

化简分子。

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解题步骤 5.1.1

运用分配律。

$\frac{2 h^{2} + 4 h x + 2 x^{2} + h + x + 5 - (2 x^{2}) - x - 1 \cdot 5}{h}$

解题步骤 5.1.2

化简。

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解题步骤 5.1.2.1

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{2 h^{2} + 4 h x + 2 x^{2} + h + x + 5 - 2 x^{2} - x - 1 \cdot 5}{h}$

解题步骤 5.1.2.2

将 $- 1$ 乘以 $5$ 。

$\frac{2 h^{2} + 4 h x + 2 x^{2} + h + x + 5 - 2 x^{2} - x - 5}{h}$

解题步骤 5.1.3

从 $2 x^{2}$ 中减去 $2 x^{2}$ 。

$\frac{2 h^{2} + 4 h x + h + x + 5 + 0 - x - 5}{h}$

解题步骤 5.1.4

将 $2 h^{2}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{2 h^{2} + 4 h x + h + x + 5 - x - 5}{h}$

解题步骤 5.1.5

从 $x$ 中减去 $x$ 。

$\frac{2 h^{2} + 4 h x + h + 0 + 5 - 5}{h}$

解题步骤 5.1.6

将 $2 h^{2}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{2 h^{2} + 4 h x + h + 5 - 5}{h}$

解题步骤 5.1.7

从 $5$ 中减去 $5$ 。

$\frac{2 h^{2} + 4 h x + h + 0}{h}$

解题步骤 5.1.8

将 $2 h^{2} + 4 h x + h$ 和 $0$ 相加。

$\frac{2 h^{2} + 4 h x + h}{h}$

解题步骤 5.1.9

从 $2 h^{2} + 4 h x + h$ 中分解出因数 $h$ 。

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解题步骤 5.1.9.1

从 $2 h^{2}$ 中分解出因数 $h$ 。

$\frac{h (2 h) + 4 h x + h}{h}$

解题步骤 5.1.9.2

从 $4 h x$ 中分解出因数 $h$ 。

$\frac{h (2 h) + h (4 x) + h}{h}$

解题步骤 5.1.9.3

对 $h$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{h (2 h) + h (4 x) + h^{1}}{h}$

解题步骤 5.1.9.4

从 $h^{1}$ 中分解出因数 $h$ 。

$\frac{h (2 h) + h (4 x) + h \cdot 1}{h}$

解题步骤 5.1.9.5

从 $h (2 h) + h (4 x)$ 中分解出因数 $h$ 。

$\frac{h (2 h + 4 x) + h \cdot 1}{h}$

解题步骤 5.1.9.6

从 $h (2 h + 4 x) + h \cdot 1$ 中分解出因数 $h$ 。

$\frac{h (2 h + 4 x + 1)}{h}$

解题步骤 5.2

通过约去公因数来化简表达式。

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解题步骤 5.2.1

约去 $h$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.1.1

约去公因数。

$\frac{h (2 h + 4 x + 1)}{h}$

解题步骤 5.2.1.2

用 $2 h + 4 x + 1$ 除以 $1$ 。

$2 h + 4 x + 1$

解题步骤 5.2.2

将 $2 h$ 和 $4 x$ 重新排序。

$4 x + 2 h + 1$

解题步骤 6

初级微积分 示例

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