初级微积分示例

$f (x) = \cot (x)$ , $[\frac{π}{6}, \frac{3 π}{2}]$

解题步骤 1

将 $f (x) = \cot (x)$ 写为等式。

$y = \cot (x)$

解题步骤 2

运用平均变化率公式代入。

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解题步骤 2.1

函数的平均变化率可通过计算两点的 $y$ 的变化值除以两点的 $x$ 变化值来求得。

$\frac{f (\frac{3 π}{2}) - f (\frac{π}{6})}{(\frac{3 π}{2}) - (\frac{π}{6})}$

解题步骤 2.2

代入 $f (\frac{3 π}{2})$ 和 $f (\frac{π}{6})$ 的方程 $y = \cot (x)$ 中，用对应的 $x$ 值替换函数中的 $x$ 。

$\frac{(\cot (\frac{3 π}{2})) - (\cot (\frac{π}{6}))}{(\frac{3 π}{2}) - (\frac{π}{6})}$

解题步骤 3

化简表达式。

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解题步骤 3.1

将分数的分子和分母乘以 $6$ 。

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解题步骤 3.1.1

将 $\frac{\cot (\frac{3 π}{2}) - \cot (\frac{π}{6})}{\frac{3 π}{2} - \frac{π}{6}}$ 乘以 $\frac{6}{6}$ 。

$\frac{6}{6} \cdot \frac{\cot (\frac{3 π}{2}) - \cot (\frac{π}{6})}{\frac{3 π}{2} - \frac{π}{6}}$

解题步骤 3.1.2

合并。

$\frac{6 (\cot (\frac{3 π}{2}) - \cot (\frac{π}{6}))}{6 (\frac{3 π}{2} - \frac{π}{6})}$

解题步骤 3.2

运用分配律。

$\frac{6 \cot (\frac{3 π}{2}) + 6 (- \cot (\frac{π}{6}))}{6 \frac{3 π}{2} + 6 (- \frac{π}{6})}$

解题步骤 3.3

通过相约进行化简。

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解题步骤 3.3.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.1.1

从 $6$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{6 \cot (\frac{3 π}{2}) + 6 (- \cot (\frac{π}{6}))}{2 (3) \frac{3 π}{2} + 6 (- \frac{π}{6})}$

解题步骤 3.3.1.2

约去公因数。

$\frac{6 \cot (\frac{3 π}{2}) + 6 (- \cot (\frac{π}{6}))}{2 \cdot 3 \frac{3 π}{2} + 6 (- \frac{π}{6})}$

解题步骤 3.3.1.3

重写表达式。

$\frac{6 \cot (\frac{3 π}{2}) + 6 (- \cot (\frac{π}{6}))}{3 (3 π) + 6 (- \frac{π}{6})}$

解题步骤 3.3.2

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$\frac{6 \cot (\frac{3 π}{2}) + 6 (- \cot (\frac{π}{6}))}{9 π + 6 (- \frac{π}{6})}$

解题步骤 3.3.3

约去 $6$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.3.1

将 $- \frac{π}{6}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{6 \cot (\frac{3 π}{2}) + 6 (- \cot (\frac{π}{6}))}{9 π + 6 \frac{- π}{6}}$

解题步骤 3.3.3.2

约去公因数。

$\frac{6 \cot (\frac{3 π}{2}) + 6 (- \cot (\frac{π}{6}))}{9 π + 6 \frac{- π}{6}}$

解题步骤 3.3.3.3

重写表达式。

$\frac{6 \cot (\frac{3 π}{2}) + 6 (- \cot (\frac{π}{6}))}{9 π - π}$

解题步骤 3.4

化简分子。

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解题步骤 3.4.1

从 $6 \cot (\frac{3 π}{2}) + 6 (- \cot (\frac{π}{6}))$ 中分解出因数 $6$ 。

$\frac{6 (\cot (\frac{3 π}{2}) - \cot (\frac{π}{6}))}{9 π - π}$

解题步骤 3.4.2

通过在第一象限中求出具有同样三角函数值的角来应用参考角。将表达式变为负，因为余切在第四象限为负。

$\frac{6 (- \cot (\frac{π}{2}) - \cot (\frac{π}{6}))}{9 π - π}$

解题步骤 3.4.3

$\cot (\frac{π}{2})$ 的准确值为 $0$ 。

$\frac{6 (- 0 - \cot (\frac{π}{6}))}{9 π - π}$

解题步骤 3.4.4

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$\frac{6 (0 - \cot (\frac{π}{6}))}{9 π - π}$

解题步骤 3.4.5

$\cot (\frac{π}{6})$ 的准确值为 $\sqrt{3}$ 。

$\frac{6 (0 - \sqrt{3})}{9 π - π}$

解题步骤 3.4.6

从 $0$ 中减去 $\sqrt{3}$ 。

$\frac{6 \cdot - 1 \sqrt{3}}{9 π - π}$

解题步骤 3.4.7

合并指数。

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解题步骤 3.4.7.1

提取负因数。

$\frac{- (6 \sqrt{3})}{9 π - π}$

解题步骤 3.4.7.2

将 $6$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{- 6 \sqrt{3}}{9 π - π}$

解题步骤 3.5

化简项。

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解题步骤 3.5.1

从 $9 π$ 中减去 $π$ 。

$\frac{- 6 \sqrt{3}}{8 π}$

解题步骤 3.5.2

约去 $- 6$ 和 $8$ 的公因数。

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解题步骤 3.5.2.1

从 $- 6 \sqrt{3}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (- 3 \sqrt{3})}{8 π}$

解题步骤 3.5.2.2

约去公因数。

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解题步骤 3.5.2.2.1

从 $8 π$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (- 3 \sqrt{3})}{2 (4 π)}$

解题步骤 3.5.2.2.2

约去公因数。

$\frac{2 (- 3 \sqrt{3})}{2 (4 π)}$

解题步骤 3.5.2.2.3

重写表达式。

$\frac{- 3 \sqrt{3}}{4 π}$

解题步骤 3.5.3

将负号移到分数的前面。

$- \frac{3 \sqrt{3}}{4 π}$

解题步骤 4

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$- \frac{3 \sqrt{3}}{4 π}$

小数形式：

$- 0.41349667 \dots$

初级微积分 示例

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