初级微积分示例

$f (x) = - x^{2} + \frac{9}{x}$ , $[1, 6]$

解题步骤 1

将 $f (x) = - x^{2} + \frac{9}{x}$ 写为等式。

$y = - x^{2} + \frac{9}{x}$

解题步骤 2

运用平均变化率公式代入。

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解题步骤 2.1

函数的平均变化率可通过计算两点的 $y$ 的变化值除以两点的 $x$ 变化值来求得。

$\frac{f (6) - f (1)}{(6) - (1)}$

解题步骤 2.2

代入 $f (6)$ 和 $f (1)$ 的方程 $y = - x^{2} + \frac{9}{x}$ 中，用对应的 $x$ 值替换函数中的 $x$ 。

$\frac{(- {(6)}^{2} + \frac{9}{6}) - (- {(1)}^{2} + \frac{9}{1})}{(6) - (1)}$

解题步骤 3

化简表达式。

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解题步骤 3.1

通过约去公因数来化简表达式。

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解题步骤 3.1.1

约去 $9$ 和 $6$ 的公因数。

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解题步骤 3.1.1.1

从 $9$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{- {(6)}^{2} + \frac{3 (3)}{6} - (- {(1)}^{2} + \frac{9}{1})}{(6) - (1)}$

解题步骤 3.1.1.2

约去公因数。

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解题步骤 3.1.1.2.1

从 $6$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{- {(6)}^{2} + \frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 2} - (- {(1)}^{2} + \frac{9}{1})}{(6) - (1)}$

解题步骤 3.1.1.2.2

约去公因数。

$\frac{- {(6)}^{2} + \frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 2} - (- {(1)}^{2} + \frac{9}{1})}{(6) - (1)}$

解题步骤 3.1.1.2.3

重写表达式。

$\frac{- {(6)}^{2} + \frac{3}{2} - (- {(1)}^{2} + \frac{9}{1})}{(6) - (1)}$

解题步骤 3.1.2

用 $9$ 除以 $1$ 。

$\frac{- {(6)}^{2} + \frac{3}{2} - (- {(1)}^{2} + 9)}{(6) - (1)}$

解题步骤 3.2

将分数的分子和分母乘以 $2$ 。

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解题步骤 3.2.1

将 $\frac{- 6^{2} + \frac{3}{2} - (- 1^{2} + 9)}{6 - (1)}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{2}{2} \cdot \frac{- 6^{2} + \frac{3}{2} - (- 1^{2} + 9)}{6 - (1)}$

解题步骤 3.2.2

合并。

$\frac{2 (- 6^{2} + \frac{3}{2} - (- 1^{2} + 9))}{2 (6 - (1))}$

解题步骤 3.3

运用分配律。

$\frac{2 (- 6^{2}) + 2 (\frac{3}{2}) + 2 (- (- 1^{2} + 9))}{2 \cdot 6 + 2 (- (1))}$

解题步骤 3.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.4.1

约去公因数。

$\frac{2 (- 6^{2}) + 2 (\frac{3}{2}) + 2 (- (- 1^{2} + 9))}{2 \cdot 6 + 2 (- (1))}$

解题步骤 3.4.2

重写表达式。

$\frac{2 (- 6^{2}) + 3 + 2 (- (- 1^{2} + 9))}{2 \cdot 6 + 2 (- (1))}$

解题步骤 3.5

化简分子。

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解题步骤 3.5.1

对 $6$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{2 (- 1 \cdot 36) + 3 + 2 (- (- 1^{2} + 9))}{2 \cdot 6 + 2 (- (1))}$

解题步骤 3.5.2

乘以 $2 (- 1 \cdot 36)$ 。

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解题步骤 3.5.2.1

将 $- 1$ 乘以 $36$ 。

$\frac{2 \cdot - 36 + 3 + 2 (- (- 1^{2} + 9))}{2 \cdot 6 + 2 (- (1))}$

解题步骤 3.5.2.2

将 $2$ 乘以 $- 36$ 。

$\frac{- 72 + 3 + 2 (- (- 1^{2} + 9))}{2 \cdot 6 + 2 (- (1))}$

解题步骤 3.5.3

化简每一项。

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解题步骤 3.5.3.1

一的任意次幂都为一。

$\frac{- 72 + 3 + 2 (- (- 1 \cdot 1 + 9))}{2 \cdot 6 + 2 (- (1))}$

解题步骤 3.5.3.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{- 72 + 3 + 2 (- (- 1 + 9))}{2 \cdot 6 + 2 (- (1))}$

解题步骤 3.5.4

将 $- 1$ 和 $9$ 相加。

$\frac{- 72 + 3 + 2 (- 1 \cdot 8)}{2 \cdot 6 + 2 (- (1))}$

解题步骤 3.5.5

乘以 $2 (- 1 \cdot 8)$ 。

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解题步骤 3.5.5.1

将 $- 1$ 乘以 $8$ 。

$\frac{- 72 + 3 + 2 \cdot - 8}{2 \cdot 6 + 2 (- (1))}$

解题步骤 3.5.5.2

将 $2$ 乘以 $- 8$ 。

$\frac{- 72 + 3 - 16}{2 \cdot 6 + 2 (- (1))}$

解题步骤 3.5.6

将 $- 72$ 和 $3$ 相加。

$\frac{- 69 - 16}{2 \cdot 6 + 2 (- (1))}$

解题步骤 3.5.7

从 $- 69$ 中减去 $16$ 。

$\frac{- 85}{2 \cdot 6 + 2 (- (1))}$

解题步骤 3.6

化简分母。

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解题步骤 3.6.1

将 $2$ 乘以 $6$ 。

$\frac{- 85}{12 + 2 (- (1))}$

解题步骤 3.6.2

乘以 $2 (- (1))$ 。

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解题步骤 3.6.2.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{- 85}{12 + 2 \cdot - 1}$

解题步骤 3.6.2.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{- 85}{12 - 2}$

解题步骤 3.6.3

从 $12$ 中减去 $2$ 。

$\frac{- 85}{10}$

解题步骤 3.7

通过约去公因数来化简表达式。

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解题步骤 3.7.1

约去 $- 85$ 和 $10$ 的公因数。

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解题步骤 3.7.1.1

从 $- 85$ 中分解出因数 $5$ 。

$\frac{5 (- 17)}{10}$

解题步骤 3.7.1.2

约去公因数。

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解题步骤 3.7.1.2.1

从 $10$ 中分解出因数 $5$ 。

$\frac{5 \cdot - 17}{5 \cdot 2}$

解题步骤 3.7.1.2.2

约去公因数。

$\frac{5 \cdot - 17}{5 \cdot 2}$

解题步骤 3.7.1.2.3

重写表达式。

$\frac{- 17}{2}$

解题步骤 3.7.2

将负号移到分数的前面。

$- \frac{17}{2}$

初级微积分 示例

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