初级微积分示例

$f (x) = x + x^{4}$

解题步骤 1

考虑差商公式。

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

解题步骤 2

求定义的补集。

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解题步骤 2.1

计算函数在 $x = x + h$ 处的值。

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解题步骤 2.1.1

使用表达式中的 $x + h$ 替换变量 $x$ 。

$f (x + h) = (x + h) + {(x + h)}^{4}$

解题步骤 2.1.2

化简结果。

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解题步骤 2.1.2.1

使用二项式定理。

$f (x + h) = x + h + x^{4} + 4 x^{3} h + 6 x^{2} h^{2} + 4 x h^{3} + h^{4}$

解题步骤 2.1.2.2

最终答案为 $x + h + x^{4} + 4 x^{3} h + 6 x^{2} h^{2} + 4 x h^{3} + h^{4}$ 。

$x + h + x^{4} + 4 x^{3} h + 6 x^{2} h^{2} + 4 x h^{3} + h^{4}$

解题步骤 2.2

重新排序。

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解题步骤 2.2.1

移动 $x^{3}$ 。

$x + h + x^{4} + 4 h x^{3} + 6 x^{2} h^{2} + 4 x h^{3} + h^{4}$

解题步骤 2.2.2

移动 $x^{2}$ 。

$x + h + x^{4} + 4 h x^{3} + 6 h^{2} x^{2} + 4 x h^{3} + h^{4}$

解题步骤 2.2.3

移动 $x$ 。

$x + h + x^{4} + 4 h x^{3} + 6 h^{2} x^{2} + 4 h^{3} x + h^{4}$

解题步骤 2.2.4

移动 $x$ 。

$h + x^{4} + 4 h x^{3} + 6 h^{2} x^{2} + 4 h^{3} x + h^{4} + x$

解题步骤 2.2.5

移动 $h$ 。

$x^{4} + 4 h x^{3} + 6 h^{2} x^{2} + 4 h^{3} x + h^{4} + h + x$

解题步骤 2.2.6

移动 $x^{4}$ 。

$4 h x^{3} + 6 h^{2} x^{2} + 4 h^{3} x + h^{4} + x^{4} + h + x$

解题步骤 2.2.7

移动 $4 h x^{3}$ 。

$6 h^{2} x^{2} + 4 h^{3} x + h^{4} + 4 h x^{3} + x^{4} + h + x$

解题步骤 2.2.8

移动 $6 h^{2} x^{2}$ 。

$4 h^{3} x + h^{4} + 6 h^{2} x^{2} + 4 h x^{3} + x^{4} + h + x$

解题步骤 2.2.9

将 $4 h^{3} x$ 和 $h^{4}$ 重新排序。

$h^{4} + 4 h^{3} x + 6 h^{2} x^{2} + 4 h x^{3} + x^{4} + h + x$

解题步骤 2.3

求定义的补集。

$f (x + h) = h^{4} + 4 h^{3} x + 6 h^{2} x^{2} + 4 h x^{3} + x^{4} + h + x$

$f (x) = x + x^{4}$

$f (x + h) = h^{4} + 4 h^{3} x + 6 h^{2} x^{2} + 4 h x^{3} + x^{4} + h + x$

$f (x) = x + x^{4}$

解题步骤 3

插入分量。

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{h^{4} + 4 h^{3} x + 6 h^{2} x^{2} + 4 h x^{3} + x^{4} + h + x - (x + x^{4})}{h}$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

化简分子。

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解题步骤 4.1.1

运用分配律。

$\frac{h^{4} + 4 h^{3} x + 6 h^{2} x^{2} + 4 h x^{3} + x^{4} + h + x - x - x^{4}}{h}$

解题步骤 4.1.2

从 $x^{4}$ 中减去 $x^{4}$ 。

$\frac{h^{4} + 4 h^{3} x + 6 h^{2} x^{2} + 4 h x^{3} + h + x - x + 0}{h}$

解题步骤 4.1.3

将 $h^{4} + 4 h^{3} x + 6 h^{2} x^{2} + 4 h x^{3} + h + x - x$ 和 $0$ 相加。

$\frac{h^{4} + 4 h^{3} x + 6 h^{2} x^{2} + 4 h x^{3} + h + x - x}{h}$

解题步骤 4.1.4

从 $x$ 中减去 $x$ 。

$\frac{h^{4} + 4 h^{3} x + 6 h^{2} x^{2} + 4 h x^{3} + h + 0}{h}$

解题步骤 4.1.5

将 $h^{4} + 4 h^{3} x + 6 h^{2} x^{2} + 4 h x^{3} + h$ 和 $0$ 相加。

$\frac{h^{4} + 4 h^{3} x + 6 h^{2} x^{2} + 4 h x^{3} + h}{h}$

解题步骤 4.1.6

从 $h^{4} + 4 h^{3} x + 6 h^{2} x^{2} + 4 h x^{3} + h$ 中分解出因数 $h$ 。

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解题步骤 4.1.6.1

从 $h^{4}$ 中分解出因数 $h$ 。

$\frac{h \cdot h^{3} + 4 h^{3} x + 6 h^{2} x^{2} + 4 h x^{3} + h}{h}$

解题步骤 4.1.6.2

从 $4 h^{3} x$ 中分解出因数 $h$ 。

$\frac{h (h^{3}) + h (4 h^{2} x) + 6 h^{2} x^{2} + 4 h x^{3} + h}{h}$

解题步骤 4.1.6.3

从 $6 h^{2} x^{2}$ 中分解出因数 $h$ 。

$\frac{h (h^{3}) + h (4 h^{2} x) + h (6 h x^{2}) + 4 h x^{3} + h}{h}$

解题步骤 4.1.6.4

从 $4 h x^{3}$ 中分解出因数 $h$ 。

$\frac{h (h^{3}) + h (4 h^{2} x) + h (6 h x^{2}) + h (4 x^{3}) + h}{h}$

解题步骤 4.1.6.5

对 $h$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{h (h^{3}) + h (4 h^{2} x) + h (6 h x^{2}) + h (4 x^{3}) + h^{1}}{h}$

解题步骤 4.1.6.6

从 $h^{1}$ 中分解出因数 $h$ 。

$\frac{h (h^{3}) + h (4 h^{2} x) + h (6 h x^{2}) + h (4 x^{3}) + h \cdot 1}{h}$

解题步骤 4.1.6.7

从 $h (h^{3}) + h (4 h^{2} x)$ 中分解出因数 $h$ 。

$\frac{h (h^{3} + 4 h^{2} x) + h (6 h x^{2}) + h (4 x^{3}) + h \cdot 1}{h}$

解题步骤 4.1.6.8

从 $h (h^{3} + 4 h^{2} x) + h (6 h x^{2})$ 中分解出因数 $h$ 。

$\frac{h (h^{3} + 4 h^{2} x + 6 h x^{2}) + h (4 x^{3}) + h \cdot 1}{h}$

解题步骤 4.1.6.9

从 $h (h^{3} + 4 h^{2} x + 6 h x^{2}) + h (4 x^{3})$ 中分解出因数 $h$ 。

$\frac{h (h^{3} + 4 h^{2} x + 6 h x^{2} + 4 x^{3}) + h \cdot 1}{h}$

解题步骤 4.1.6.10

从 $h (h^{3} + 4 h^{2} x + 6 h x^{2} + 4 x^{3}) + h \cdot 1$ 中分解出因数 $h$ 。

$\frac{h (h^{3} + 4 h^{2} x + 6 h x^{2} + 4 x^{3} + 1)}{h}$

解题步骤 4.2

通过约去公因数来化简表达式。

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解题步骤 4.2.1

约去 $h$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.1.1

约去公因数。

$\frac{h (h^{3} + 4 h^{2} x + 6 h x^{2} + 4 x^{3} + 1)}{h}$

解题步骤 4.2.1.2

用 $h^{3} + 4 h^{2} x + 6 h x^{2} + 4 x^{3} + 1$ 除以 $1$ 。

$h^{3} + 4 h^{2} x + 6 h x^{2} + 4 x^{3} + 1$

解题步骤 4.2.2

化简表达式。

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解题步骤 4.2.2.1

移动 $h^{2}$ 。

$h^{3} + 4 x h^{2} + 6 h x^{2} + 4 x^{3} + 1$

解题步骤 4.2.2.2

移动 $h$ 。

$h^{3} + 4 x h^{2} + 6 x^{2} h + 4 x^{3} + 1$

解题步骤 4.2.2.3

移动 $h^{3}$ 。

$4 x h^{2} + 6 x^{2} h + 4 x^{3} + h^{3} + 1$

解题步骤 4.2.2.4

移动 $4 x h^{2}$ 。

$6 x^{2} h + 4 x^{3} + 4 x h^{2} + h^{3} + 1$

解题步骤 4.2.2.5

将 $6 x^{2} h$ 和 $4 x^{3}$ 重新排序。

$4 x^{3} + 6 x^{2} h + 4 x h^{2} + h^{3} + 1$

解题步骤 5

初级微积分 示例

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