初级微积分示例

$- 2 x^{3} + 4 x^{2}$

解题步骤 1

将 $- 2 x^{3} + 4 x^{2}$ 书写为一个函数。

$f (x) = - 2 x^{3} + 4 x^{2}$

解题步骤 2

考虑差商公式。

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

解题步骤 3

求定义的补集。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1

计算函数在 $x = x + h$ 处的值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1.1

使用表达式中的 $x + h$ 替换变量 $x$ 。

$f (x + h) = - 2 {(x + h)}^{3} + 4 {(x + h)}^{2}$

解题步骤 3.1.2

化简结果。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1.2.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1.2.1.1

使用二项式定理。

$f (x + h) = - 2 (x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3}) + 4 {(x + h)}^{2}$

解题步骤 3.1.2.1.2

运用分配律。

$f (x + h) = - 2 x^{3} - 2 (3 x^{2} h) - 2 (3 x h^{2}) - 2 h^{3} + 4 {(x + h)}^{2}$

解题步骤 3.1.2.1.3

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1.2.1.3.1

将 $3$ 乘以 $- 2$ 。

$f (x + h) = - 2 x^{3} - 6 (x^{2} h) - 2 (3 x h^{2}) - 2 h^{3} + 4 {(x + h)}^{2}$

解题步骤 3.1.2.1.3.2

将 $3$ 乘以 $- 2$ 。

$f (x + h) = - 2 x^{3} - 6 (x^{2} h) - 6 (x h^{2}) - 2 h^{3} + 4 {(x + h)}^{2}$

解题步骤 3.1.2.1.4

去掉圆括号。

$f (x + h) = - 2 x^{3} - 6 x^{2} h - 6 x h^{2} - 2 h^{3} + 4 {(x + h)}^{2}$

解题步骤 3.1.2.1.5

将 ${(x + h)}^{2}$ 重写为 $(x + h) (x + h)$ 。

$f (x + h) = - 2 x^{3} - 6 x^{2} h - 6 x h^{2} - 2 h^{3} + 4 ((x + h) (x + h))$

解题步骤 3.1.2.1.6

使用 FOIL 方法展开 $(x + h) (x + h)$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1.2.1.6.1

运用分配律。

$f (x + h) = - 2 x^{3} - 6 x^{2} h - 6 x h^{2} - 2 h^{3} + 4 (x (x + h) + h (x + h))$

解题步骤 3.1.2.1.6.2

运用分配律。

$f (x + h) = - 2 x^{3} - 6 x^{2} h - 6 x h^{2} - 2 h^{3} + 4 (x \cdot x + x h + h (x + h))$

解题步骤 3.1.2.1.6.3

运用分配律。

$f (x + h) = - 2 x^{3} - 6 x^{2} h - 6 x h^{2} - 2 h^{3} + 4 (x \cdot x + x h + h x + h \cdot h)$

解题步骤 3.1.2.1.7

化简并合并同类项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1.2.1.7.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1.2.1.7.1.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$f (x + h) = - 2 x^{3} - 6 x^{2} h - 6 x h^{2} - 2 h^{3} + 4 (x^{2} + x h + h x + h \cdot h)$

解题步骤 3.1.2.1.7.1.2

将 $h$ 乘以 $h$ 。

$f (x + h) = - 2 x^{3} - 6 x^{2} h - 6 x h^{2} - 2 h^{3} + 4 (x^{2} + x h + h x + h^{2})$

解题步骤 3.1.2.1.7.2

将 $x h$ 和 $h x$ 相加。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1.2.1.7.2.1

将 $x$ 和 $h$ 重新排序。

$f (x + h) = - 2 x^{3} - 6 x^{2} h - 6 x h^{2} - 2 h^{3} + 4 (x^{2} + h x + h x + h^{2})$

解题步骤 3.1.2.1.7.2.2

将 $h x$ 和 $h x$ 相加。

$f (x + h) = - 2 x^{3} - 6 x^{2} h - 6 x h^{2} - 2 h^{3} + 4 (x^{2} + 2 h x + h^{2})$

解题步骤 3.1.2.1.8

运用分配律。

$f (x + h) = - 2 x^{3} - 6 x^{2} h - 6 x h^{2} - 2 h^{3} + 4 x^{2} + 4 (2 h x) + 4 h^{2}$

解题步骤 3.1.2.1.9

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$f (x + h) = - 2 x^{3} - 6 x^{2} h - 6 x h^{2} - 2 h^{3} + 4 x^{2} + 8 h x + 4 h^{2}$

解题步骤 3.1.2.2

最终答案为 $- 2 x^{3} - 6 x^{2} h - 6 x h^{2} - 2 h^{3} + 4 x^{2} + 8 h x + 4 h^{2}$ 。

$- 2 x^{3} - 6 x^{2} h - 6 x h^{2} - 2 h^{3} + 4 x^{2} + 8 h x + 4 h^{2}$

解题步骤 3.2

重新排序。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.2.1

移动 $x^{2}$ 。

$- 2 x^{3} - 6 h x^{2} - 6 x h^{2} - 2 h^{3} + 4 x^{2} + 8 h x + 4 h^{2}$

解题步骤 3.2.2

移动 $x$ 。

$- 2 x^{3} - 6 h x^{2} - 6 h^{2} x - 2 h^{3} + 4 x^{2} + 8 h x + 4 h^{2}$

解题步骤 3.2.3

移动 $4 x^{2}$ 。

$- 2 x^{3} - 6 h x^{2} - 6 h^{2} x - 2 h^{3} + 8 h x + 4 h^{2} + 4 x^{2}$

解题步骤 3.2.4

移动 $8 h x$ 。

$- 2 x^{3} - 6 h x^{2} - 6 h^{2} x - 2 h^{3} + 4 h^{2} + 8 h x + 4 x^{2}$

解题步骤 3.2.5

移动 $- 2 x^{3}$ 。

$- 6 h x^{2} - 6 h^{2} x - 2 h^{3} - 2 x^{3} + 4 h^{2} + 8 h x + 4 x^{2}$

解题步骤 3.2.6

移动 $- 6 h x^{2}$ 。

$- 6 h^{2} x - 2 h^{3} - 6 h x^{2} - 2 x^{3} + 4 h^{2} + 8 h x + 4 x^{2}$

解题步骤 3.2.7

将 $- 6 h^{2} x$ 和 $- 2 h^{3}$ 重新排序。

$- 2 h^{3} - 6 h^{2} x - 6 h x^{2} - 2 x^{3} + 4 h^{2} + 8 h x + 4 x^{2}$

解题步骤 3.3

求定义的补集。

$f (x + h) = - 2 h^{3} - 6 h^{2} x - 6 h x^{2} - 2 x^{3} + 4 h^{2} + 8 h x + 4 x^{2}$

$f (x) = - 2 x^{3} + 4 x^{2}$

$f (x + h) = - 2 h^{3} - 6 h^{2} x - 6 h x^{2} - 2 x^{3} + 4 h^{2} + 8 h x + 4 x^{2}$

$f (x) = - 2 x^{3} + 4 x^{2}$

解题步骤 4

插入分量。

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{- 2 h^{3} - 6 h^{2} x - 6 h x^{2} - 2 x^{3} + 4 h^{2} + 8 h x + 4 x^{2} - (- 2 x^{3} + 4 x^{2})}{h}$

解题步骤 5

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.1

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.1.1

运用分配律。

$\frac{- 2 h^{3} - 6 h^{2} x - 6 h x^{2} - 2 x^{3} + 4 h^{2} + 8 h x + 4 x^{2} - (- 2 x^{3}) - (4 x^{2})}{h}$

解题步骤 5.1.2

将 $- 2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{- 2 h^{3} - 6 h^{2} x - 6 h x^{2} - 2 x^{3} + 4 h^{2} + 8 h x + 4 x^{2} + 2 x^{3} - (4 x^{2})}{h}$

解题步骤 5.1.3

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{- 2 h^{3} - 6 h^{2} x - 6 h x^{2} - 2 x^{3} + 4 h^{2} + 8 h x + 4 x^{2} + 2 x^{3} - 4 x^{2}}{h}$

解题步骤 5.1.4

将 $- 2 x^{3}$ 和 $2 x^{3}$ 相加。

$\frac{- 2 h^{3} - 6 h^{2} x - 6 h x^{2} + 4 h^{2} + 8 h x + 4 x^{2} + 0 - 4 x^{2}}{h}$

解题步骤 5.1.5

将 $- 2 h^{3}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{- 2 h^{3} - 6 h^{2} x - 6 h x^{2} + 4 h^{2} + 8 h x + 4 x^{2} - 4 x^{2}}{h}$

解题步骤 5.1.6

从 $4 x^{2}$ 中减去 $4 x^{2}$ 。

$\frac{- 2 h^{3} - 6 h^{2} x - 6 h x^{2} + 4 h^{2} + 8 h x + 0}{h}$

解题步骤 5.1.7

将 $- 2 h^{3} - 6 h^{2} x - 6 h x^{2} + 4 h^{2} + 8 h x$ 和 $0$ 相加。

$\frac{- 2 h^{3} - 6 h^{2} x - 6 h x^{2} + 4 h^{2} + 8 h x}{h}$

解题步骤 5.1.8

从 $- 2 h^{3} - 6 h^{2} x - 6 h x^{2} + 4 h^{2} + 8 h x$ 中分解出因数 $2 h$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.1.8.1

从 $- 2 h^{3}$ 中分解出因数 $2 h$ 。

$\frac{2 h (- h^{2}) - 6 h^{2} x - 6 h x^{2} + 4 h^{2} + 8 h x}{h}$

解题步骤 5.1.8.2

从 $- 6 h^{2} x$ 中分解出因数 $2 h$ 。

$\frac{2 h (- h^{2}) + 2 h (- 3 h x) - 6 h x^{2} + 4 h^{2} + 8 h x}{h}$

解题步骤 5.1.8.3

从 $- 6 h x^{2}$ 中分解出因数 $2 h$ 。

$\frac{2 h (- h^{2}) + 2 h (- 3 h x) + 2 h (- 3 x^{2}) + 4 h^{2} + 8 h x}{h}$

解题步骤 5.1.8.4

从 $4 h^{2}$ 中分解出因数 $2 h$ 。

$\frac{2 h (- h^{2}) + 2 h (- 3 h x) + 2 h (- 3 x^{2}) + 2 h (2 h) + 8 h x}{h}$

解题步骤 5.1.8.5

从 $8 h x$ 中分解出因数 $2 h$ 。

$\frac{2 h (- h^{2}) + 2 h (- 3 h x) + 2 h (- 3 x^{2}) + 2 h (2 h) + 2 h (4 x)}{h}$

解题步骤 5.1.8.6

从 $2 h (- h^{2}) + 2 h (- 3 h x)$ 中分解出因数 $2 h$ 。

$\frac{2 h (- h^{2} - 3 h x) + 2 h (- 3 x^{2}) + 2 h (2 h) + 2 h (4 x)}{h}$

解题步骤 5.1.8.7

从 $2 h (- h^{2} - 3 h x) + 2 h (- 3 x^{2})$ 中分解出因数 $2 h$ 。

$\frac{2 h (- h^{2} - 3 h x - 3 x^{2}) + 2 h (2 h) + 2 h (4 x)}{h}$

解题步骤 5.1.8.8

从 $2 h (- h^{2} - 3 h x - 3 x^{2}) + 2 h (2 h)$ 中分解出因数 $2 h$ 。

$\frac{2 h (- h^{2} - 3 h x - 3 x^{2} + 2 h) + 2 h (4 x)}{h}$

解题步骤 5.1.8.9

从 $2 h (- h^{2} - 3 h x - 3 x^{2} + 2 h) + 2 h (4 x)$ 中分解出因数 $2 h$ 。

$\frac{2 h (- h^{2} - 3 h x - 3 x^{2} + 2 h + 4 x)}{h}$

解题步骤 5.2

化简项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.1

约去 $h$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 h (- h^{2} - 3 h x - 3 x^{2} + 2 h + 4 x)}{h}$

解题步骤 5.2.1.2

用 $2 (- h^{2} - 3 h x - 3 x^{2} + 2 h + 4 x)$ 除以 $1$ 。

$2 (- h^{2} - 3 h x - 3 x^{2} + 2 h + 4 x)$

解题步骤 5.2.2

运用分配律。

$2 (- h^{2}) + 2 (- 3 h x) + 2 (- 3 x^{2}) + 2 (2 h) + 2 (4 x)$

解题步骤 5.3

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.3.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$- 2 h^{2} + 2 (- 3 h x) + 2 (- 3 x^{2}) + 2 (2 h) + 2 (4 x)$

解题步骤 5.3.2

将 $- 3$ 乘以 $2$ 。

$- 2 h^{2} - 6 (h x) + 2 (- 3 x^{2}) + 2 (2 h) + 2 (4 x)$

解题步骤 5.3.3

将 $- 3$ 乘以 $2$ 。

$- 2 h^{2} - 6 (h x) - 6 x^{2} + 2 (2 h) + 2 (4 x)$

解题步骤 5.3.4

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$- 2 h^{2} - 6 (h x) - 6 x^{2} + 4 h + 2 (4 x)$

解题步骤 5.3.5

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$- 2 h^{2} - 6 (h x) - 6 x^{2} + 4 h + 8 x$

解题步骤 5.4

移动 $h$ 。

$- 2 h^{2} - 6 x h - 6 x^{2} + 4 h + 8 x$

解题步骤 5.5

移动 $4 h$ 。

$- 2 h^{2} - 6 x h - 6 x^{2} + 8 x + 4 h$

解题步骤 5.6

移动 $- 2 h^{2}$ 。

$- 6 x h - 6 x^{2} - 2 h^{2} + 8 x + 4 h$

解题步骤 5.7

将 $- 6 x h$ 和 $- 6 x^{2}$ 重新排序。

$- 6 x^{2} - 6 x h - 2 h^{2} + 8 x + 4 h$

解题步骤 6

初级微积分 示例

初级微积分示例