初级微积分示例

$g (t) = \frac{t}{\sqrt{9 + t^{2}}}$ , $[4, 9]$

解题步骤 1

将 $g (t) = \frac{t}{\sqrt{9 + t^{2}}}$ 写为等式。

$y = \frac{t}{\sqrt{9 + t^{2}}}$

解题步骤 2

运用平均变化率公式代入。

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解题步骤 2.1

函数的平均变化率可通过计算两点的 $y$ 的变化值除以两点的 $t$ 变化值来求得。

$\frac{f (9) - f (4)}{(9) - (4)}$

解题步骤 2.2

代入 $f (9)$ 和 $f (4)$ 的方程 $y = \frac{t}{\sqrt{9 + t^{2}}}$ 中，用对应的 $t$ 值替换函数中的 $t$ 。

$\frac{(\frac{9}{\sqrt{9 + {(9)}^{2}}}) - (\frac{4}{\sqrt{9 + {(4)}^{2}}})}{(9) - (4)}$

解题步骤 3

化简表达式。

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解题步骤 3.1

将分数的分子和分母乘以 $\sqrt{9 + 9^{2}} \sqrt{9 + 4^{2}}$ 。

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解题步骤 3.1.1

将 $\frac{\frac{9}{\sqrt{9 + 9^{2}}} - \frac{4}{\sqrt{9 + 4^{2}}}}{9 - (4)}$ 乘以 $\frac{\sqrt{9 + 9^{2}} \sqrt{9 + 4^{2}}}{\sqrt{9 + 9^{2}} \sqrt{9 + 4^{2}}}$ 。

$\frac{\sqrt{9 + 9^{2}} \sqrt{9 + 4^{2}}}{\sqrt{9 + 9^{2}} \sqrt{9 + 4^{2}}} \cdot \frac{\frac{9}{\sqrt{9 + 9^{2}}} - \frac{4}{\sqrt{9 + 4^{2}}}}{9 - (4)}$

解题步骤 3.1.2

合并。

$\frac{\sqrt{9 + 9^{2}} \sqrt{9 + 4^{2}} (\frac{9}{\sqrt{9 + 9^{2}}} - \frac{4}{\sqrt{9 + 4^{2}}})}{\sqrt{9 + 9^{2}} \sqrt{9 + 4^{2}} (9 - (4))}$

解题步骤 3.2

运用分配律。

$\frac{\sqrt{9 + 9^{2}} \sqrt{9 + 4^{2}} \frac{9}{\sqrt{9 + 9^{2}}} + \sqrt{9 + 9^{2}} \sqrt{9 + 4^{2}} (- \frac{4}{\sqrt{9 + 4^{2}}})}{\sqrt{9 + 9^{2}} \sqrt{9 + 4^{2}} \cdot 9 + \sqrt{9 + 9^{2}} \sqrt{9 + 4^{2}} (- (4))}$

解题步骤 3.3

通过相约进行化简。

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解题步骤 3.3.1

约去 $\sqrt{9 + 9^{2}}$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.1.1

从 $\sqrt{9 + 9^{2}} \sqrt{9 + 4^{2}}$ 中分解出因数 $\sqrt{9 + 9^{2}}$ 。

$\frac{\sqrt{9 + 9^{2}} (\sqrt{9 + 4^{2}}) \frac{9}{\sqrt{9 + 9^{2}}} + \sqrt{9 + 9^{2}} \sqrt{9 + 4^{2}} (- \frac{4}{\sqrt{9 + 4^{2}}})}{\sqrt{9 + 9^{2}} \sqrt{9 + 4^{2}} \cdot 9 + \sqrt{9 + 9^{2}} \sqrt{9 + 4^{2}} (- (4))}$

解题步骤 3.3.1.2

约去公因数。

解题步骤 3.3.1.3

重写表达式。

$\frac{\sqrt{9 + 4^{2}} \cdot 9 + \sqrt{9 + 9^{2}} \sqrt{9 + 4^{2}} (- \frac{4}{\sqrt{9 + 4^{2}}})}{\sqrt{9 + 9^{2}} \sqrt{9 + 4^{2}} \cdot 9 + \sqrt{9 + 9^{2}} \sqrt{9 + 4^{2}} (- (4))}$

解题步骤 3.3.2

约去 $\sqrt{9 + 4^{2}}$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.2.1

将 $- \frac{4}{\sqrt{9 + 4^{2}}}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{\sqrt{9 + 4^{2}} \cdot 9 + \sqrt{9 + 9^{2}} \sqrt{9 + 4^{2}} \frac{- 4}{\sqrt{9 + 4^{2}}}}{\sqrt{9 + 9^{2}} \sqrt{9 + 4^{2}} \cdot 9 + \sqrt{9 + 9^{2}} \sqrt{9 + 4^{2}} (- (4))}$

解题步骤 3.3.2.2

从 $\sqrt{9 + 9^{2}} \sqrt{9 + 4^{2}}$ 中分解出因数 $\sqrt{9 + 4^{2}}$ 。

$\frac{\sqrt{9 + 4^{2}} \cdot 9 + \sqrt{9 + 4^{2}} \sqrt{9 + 9^{2}} \frac{- 4}{\sqrt{9 + 4^{2}}}}{\sqrt{9 + 9^{2}} \sqrt{9 + 4^{2}} \cdot 9 + \sqrt{9 + 9^{2}} \sqrt{9 + 4^{2}} (- (4))}$

解题步骤 3.3.2.3

约去公因数。

$\frac{\sqrt{9 + 4^{2}} \cdot 9 + \sqrt{9 + 4^{2}} \sqrt{9 + 9^{2}} \frac{- 4}{\sqrt{9 + 4^{2}}}}{\sqrt{9 + 9^{2}} \sqrt{9 + 4^{2}} \cdot 9 + \sqrt{9 + 9^{2}} \sqrt{9 + 4^{2}} (- (4))}$

解题步骤 3.3.2.4

重写表达式。

$\frac{\sqrt{9 + 4^{2}} \cdot 9 + \sqrt{9 + 9^{2}} \cdot - 4}{\sqrt{9 + 9^{2}} \sqrt{9 + 4^{2}} \cdot 9 + \sqrt{9 + 9^{2}} \sqrt{9 + 4^{2}} (- (4))}$

解题步骤 3.4

化简分子。

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解题步骤 3.4.1

对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{\sqrt{9 + 16} \cdot 9 + \sqrt{9 + 9^{2}} \cdot - 4}{\sqrt{9 + 9^{2}} \sqrt{9 + 4^{2}} \cdot 9 + \sqrt{9 + 9^{2}} \sqrt{9 + 4^{2}} (- (4))}$

解题步骤 3.4.2

将 $9$ 和 $16$ 相加。

$\frac{\sqrt{25} \cdot 9 + \sqrt{9 + 9^{2}} \cdot - 4}{\sqrt{9 + 9^{2}} \sqrt{9 + 4^{2}} \cdot 9 + \sqrt{9 + 9^{2}} \sqrt{9 + 4^{2}} (- (4))}$

解题步骤 3.4.3

将 $25$ 重写为 $5^{2}$ 。

$\frac{\sqrt{5^{2}} \cdot 9 + \sqrt{9 + 9^{2}} \cdot - 4}{\sqrt{9 + 9^{2}} \sqrt{9 + 4^{2}} \cdot 9 + \sqrt{9 + 9^{2}} \sqrt{9 + 4^{2}} (- (4))}$

解题步骤 3.4.4

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\frac{5 \cdot 9 + \sqrt{9 + 9^{2}} \cdot - 4}{\sqrt{9 + 9^{2}} \sqrt{9 + 4^{2}} \cdot 9 + \sqrt{9 + 9^{2}} \sqrt{9 + 4^{2}} (- (4))}$

解题步骤 3.4.5

将 $5$ 乘以 $9$ 。

$\frac{45 + \sqrt{9 + 9^{2}} \cdot - 4}{\sqrt{9 + 9^{2}} \sqrt{9 + 4^{2}} \cdot 9 + \sqrt{9 + 9^{2}} \sqrt{9 + 4^{2}} (- (4))}$

解题步骤 3.4.6

对 $9$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{45 + \sqrt{9 + 81} \cdot - 4}{\sqrt{9 + 9^{2}} \sqrt{9 + 4^{2}} \cdot 9 + \sqrt{9 + 9^{2}} \sqrt{9 + 4^{2}} (- (4))}$

解题步骤 3.4.7

将 $9$ 和 $81$ 相加。

$\frac{45 + \sqrt{90} \cdot - 4}{\sqrt{9 + 9^{2}} \sqrt{9 + 4^{2}} \cdot 9 + \sqrt{9 + 9^{2}} \sqrt{9 + 4^{2}} (- (4))}$

解题步骤 3.4.8

将 $90$ 重写为 $3^{2} \cdot 10$ 。

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解题步骤 3.4.8.1

从 $90$ 中分解出因数 $9$ 。

$\frac{45 + \sqrt{9 (10)} \cdot - 4}{\sqrt{9 + 9^{2}} \sqrt{9 + 4^{2}} \cdot 9 + \sqrt{9 + 9^{2}} \sqrt{9 + 4^{2}} (- (4))}$

解题步骤 3.4.8.2

将 $9$ 重写为 $3^{2}$ 。

$\frac{45 + \sqrt{3^{2} \cdot 10} \cdot - 4}{\sqrt{9 + 9^{2}} \sqrt{9 + 4^{2}} \cdot 9 + \sqrt{9 + 9^{2}} \sqrt{9 + 4^{2}} (- (4))}$

解题步骤 3.4.9

从根式下提出各项。

$\frac{45 + 3 \sqrt{10} \cdot - 4}{\sqrt{9 + 9^{2}} \sqrt{9 + 4^{2}} \cdot 9 + \sqrt{9 + 9^{2}} \sqrt{9 + 4^{2}} (- (4))}$

解题步骤 3.4.10

将 $- 4$ 乘以 $3$ 。

$\frac{45 - 12 \sqrt{10}}{\sqrt{9 + 9^{2}} \sqrt{9 + 4^{2}} \cdot 9 + \sqrt{9 + 9^{2}} \sqrt{9 + 4^{2}} (- (4))}$

解题步骤 3.5

化简分母。

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解题步骤 3.5.1

使用根数乘积法则进行合并。

$\frac{45 - 12 \sqrt{10}}{\sqrt{(9 + 9^{2}) (9 + 4^{2})} \cdot 9 + \sqrt{9 + 9^{2}} \sqrt{9 + 4^{2}} (- (4))}$

解题步骤 3.5.2

对 $9$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{45 - 12 \sqrt{10}}{\sqrt{(9 + 81) (9 + 4^{2})} \cdot 9 + \sqrt{9 + 9^{2}} \sqrt{9 + 4^{2}} (- (4))}$

解题步骤 3.5.3

将 $9$ 和 $81$ 相加。

$\frac{45 - 12 \sqrt{10}}{\sqrt{90 (9 + 4^{2})} \cdot 9 + \sqrt{9 + 9^{2}} \sqrt{9 + 4^{2}} (- (4))}$

解题步骤 3.5.4

对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{45 - 12 \sqrt{10}}{\sqrt{90 (9 + 16)} \cdot 9 + \sqrt{9 + 9^{2}} \sqrt{9 + 4^{2}} (- (4))}$

解题步骤 3.5.5

将 $9$ 和 $16$ 相加。

$\frac{45 - 12 \sqrt{10}}{\sqrt{90 \cdot 25} \cdot 9 + \sqrt{9 + 9^{2}} \sqrt{9 + 4^{2}} (- (4))}$

解题步骤 3.5.6

将 $90$ 乘以 $25$ 。

$\frac{45 - 12 \sqrt{10}}{\sqrt{2250} \cdot 9 + \sqrt{9 + 9^{2}} \sqrt{9 + 4^{2}} (- (4))}$

解题步骤 3.5.7

将 $2250$ 重写为 $15^{2} \cdot 10$ 。

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解题步骤 3.5.7.1

从 $2250$ 中分解出因数 $225$ 。

$\frac{45 - 12 \sqrt{10}}{\sqrt{225 (10)} \cdot 9 + \sqrt{9 + 9^{2}} \sqrt{9 + 4^{2}} (- (4))}$

解题步骤 3.5.7.2

将 $225$ 重写为 $15^{2}$ 。

$\frac{45 - 12 \sqrt{10}}{\sqrt{15^{2} \cdot 10} \cdot 9 + \sqrt{9 + 9^{2}} \sqrt{9 + 4^{2}} (- (4))}$

解题步骤 3.5.8

从根式下提出各项。

$\frac{45 - 12 \sqrt{10}}{15 \sqrt{10} \cdot 9 + \sqrt{9 + 9^{2}} \sqrt{9 + 4^{2}} (- (4))}$

解题步骤 3.5.9

将 $9$ 乘以 $15$ 。

$\frac{45 - 12 \sqrt{10}}{135 \sqrt{10} + \sqrt{9 + 9^{2}} \sqrt{9 + 4^{2}} (- (4))}$

解题步骤 3.5.10

使用根数乘积法则进行合并。

$\frac{45 - 12 \sqrt{10}}{135 \sqrt{10} + \sqrt{(9 + 9^{2}) (9 + 4^{2})} (- (4))}$

解题步骤 3.5.11

对 $9$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{45 - 12 \sqrt{10}}{135 \sqrt{10} + \sqrt{(9 + 81) (9 + 4^{2})} (- (4))}$

解题步骤 3.5.12

将 $9$ 和 $81$ 相加。

$\frac{45 - 12 \sqrt{10}}{135 \sqrt{10} + \sqrt{90 (9 + 4^{2})} (- (4))}$

解题步骤 3.5.13

对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{45 - 12 \sqrt{10}}{135 \sqrt{10} + \sqrt{90 (9 + 16)} (- (4))}$

解题步骤 3.5.14

将 $9$ 和 $16$ 相加。

$\frac{45 - 12 \sqrt{10}}{135 \sqrt{10} + \sqrt{90 \cdot 25} (- (4))}$

解题步骤 3.5.15

将 $90$ 乘以 $25$ 。

$\frac{45 - 12 \sqrt{10}}{135 \sqrt{10} + \sqrt{2250} (- (4))}$

解题步骤 3.5.16

将 $2250$ 重写为 $15^{2} \cdot 10$ 。

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解题步骤 3.5.16.1

从 $2250$ 中分解出因数 $225$ 。

$\frac{45 - 12 \sqrt{10}}{135 \sqrt{10} + \sqrt{225 (10)} (- (4))}$

解题步骤 3.5.16.2

将 $225$ 重写为 $15^{2}$ 。

$\frac{45 - 12 \sqrt{10}}{135 \sqrt{10} + \sqrt{15^{2} \cdot 10} (- (4))}$

解题步骤 3.5.17

从根式下提出各项。

$\frac{45 - 12 \sqrt{10}}{135 \sqrt{10} + 15 \sqrt{10} (- (4))}$

解题步骤 3.5.18

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$\frac{45 - 12 \sqrt{10}}{135 \sqrt{10} + 15 \sqrt{10} \cdot - 4}$

解题步骤 3.5.19

将 $- 4$ 乘以 $15$ 。

$\frac{45 - 12 \sqrt{10}}{135 \sqrt{10} - 60 \sqrt{10}}$

解题步骤 3.5.20

从 $135 \sqrt{10}$ 中减去 $60 \sqrt{10}$ 。

$\frac{45 - 12 \sqrt{10}}{75 \sqrt{10}}$

解题步骤 3.6

约去 $45 - 12 \sqrt{10}$ 和 $75$ 的公因数。

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解题步骤 3.6.1

从 $45$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 (15) - 12 \sqrt{10}}{75 \sqrt{10}}$

解题步骤 3.6.2

从 $- 12 \sqrt{10}$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 (15) + 3 (- 4 \sqrt{10})}{75 \sqrt{10}}$

解题步骤 3.6.3

从 $3 (15) + 3 (- 4 \sqrt{10})$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 (15 - 4 \sqrt{10})}{75 \sqrt{10}}$

解题步骤 3.6.4

约去公因数。

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解题步骤 3.6.4.1

从 $75 \sqrt{10}$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 (15 - 4 \sqrt{10})}{3 (25 \sqrt{10})}$

解题步骤 3.6.4.2

约去公因数。

$\frac{3 (15 - 4 \sqrt{10})}{3 (25 \sqrt{10})}$

解题步骤 3.6.4.3

重写表达式。

$\frac{15 - 4 \sqrt{10}}{25 \sqrt{10}}$

解题步骤 3.7

将 $\frac{15 - 4 \sqrt{10}}{25 \sqrt{10}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}$ 。

$\frac{15 - 4 \sqrt{10}}{25 \sqrt{10}} \cdot \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}$

解题步骤 3.8

合并和化简分母。

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解题步骤 3.8.1

将 $\frac{15 - 4 \sqrt{10}}{25 \sqrt{10}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}$ 。

$\frac{(15 - 4 \sqrt{10}) \sqrt{10}}{25 \sqrt{10} \sqrt{10}}$

解题步骤 3.8.2

移动 $\sqrt{10}$ 。

$\frac{(15 - 4 \sqrt{10}) \sqrt{10}}{25 (\sqrt{10} \sqrt{10})}$

解题步骤 3.8.3

对 $\sqrt{10}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{(15 - 4 \sqrt{10}) \sqrt{10}}{25 ({\sqrt{10}}^{1} \sqrt{10})}$

解题步骤 3.8.4

对 $\sqrt{10}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{(15 - 4 \sqrt{10}) \sqrt{10}}{25 ({\sqrt{10}}^{1} {\sqrt{10}}^{1})}$

解题步骤 3.8.5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{(15 - 4 \sqrt{10}) \sqrt{10}}{25 {\sqrt{10}}^{1 + 1}}$

解题步骤 3.8.6

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{(15 - 4 \sqrt{10}) \sqrt{10}}{25 {\sqrt{10}}^{2}}$

解题步骤 3.8.7

将 ${\sqrt{10}}^{2}$ 重写为 $10$ 。

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解题步骤 3.8.7.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{10}$ 重写成 $10^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{(15 - 4 \sqrt{10}) \sqrt{10}}{25 {(10^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 3.8.7.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{(15 - 4 \sqrt{10}) \sqrt{10}}{25 \cdot 10^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 3.8.7.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{(15 - 4 \sqrt{10}) \sqrt{10}}{25 \cdot 10^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 3.8.7.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.8.7.4.1

约去公因数。

$\frac{(15 - 4 \sqrt{10}) \sqrt{10}}{25 \cdot 10^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 3.8.7.4.2

重写表达式。

$\frac{(15 - 4 \sqrt{10}) \sqrt{10}}{25 \cdot 10^{1}}$

解题步骤 3.8.7.5

计算指数。

$\frac{(15 - 4 \sqrt{10}) \sqrt{10}}{25 \cdot 10}$

解题步骤 3.9

将 $25$ 乘以 $10$ 。

$\frac{(15 - 4 \sqrt{10}) \sqrt{10}}{250}$

解题步骤 3.10

运用分配律。

$\frac{15 \sqrt{10} - 4 \sqrt{10} \sqrt{10}}{250}$

解题步骤 3.11

乘以 $- 4 \sqrt{10} \sqrt{10}$ 。

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解题步骤 3.11.1

对 $\sqrt{10}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{15 \sqrt{10} - 4 ({\sqrt{10}}^{1} \sqrt{10})}{250}$

解题步骤 3.11.2

对 $\sqrt{10}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{15 \sqrt{10} - 4 ({\sqrt{10}}^{1} {\sqrt{10}}^{1})}{250}$

解题步骤 3.11.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{15 \sqrt{10} - 4 {\sqrt{10}}^{1 + 1}}{250}$

解题步骤 3.11.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{15 \sqrt{10} - 4 {\sqrt{10}}^{2}}{250}$

解题步骤 3.12

化简每一项。

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解题步骤 3.12.1

将 ${\sqrt{10}}^{2}$ 重写为 $10$ 。

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解题步骤 3.12.1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{10}$ 重写成 $10^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{15 \sqrt{10} - 4 {(10^{\frac{1}{2}})}^{2}}{250}$

解题步骤 3.12.1.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{15 \sqrt{10} - 4 \cdot 10^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{250}$

解题步骤 3.12.1.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{15 \sqrt{10} - 4 \cdot 10^{\frac{2}{2}}}{250}$

解题步骤 3.12.1.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.12.1.4.1

约去公因数。

$\frac{15 \sqrt{10} - 4 \cdot 10^{\frac{2}{2}}}{250}$

解题步骤 3.12.1.4.2

重写表达式。

$\frac{15 \sqrt{10} - 4 \cdot 10^{1}}{250}$

解题步骤 3.12.1.5

计算指数。

$\frac{15 \sqrt{10} - 4 \cdot 10}{250}$

解题步骤 3.12.2

将 $- 4$ 乘以 $10$ 。

$\frac{15 \sqrt{10} - 40}{250}$

解题步骤 3.13

约去 $15 \sqrt{10} - 40$ 和 $250$ 的公因数。

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解题步骤 3.13.1

从 $15 \sqrt{10}$ 中分解出因数 $5$ 。

$\frac{5 (3 \sqrt{10}) - 40}{250}$

解题步骤 3.13.2

从 $- 40$ 中分解出因数 $5$ 。

$\frac{5 (3 \sqrt{10}) + 5 (- 8)}{250}$

解题步骤 3.13.3

从 $5 (3 \sqrt{10}) + 5 (- 8)$ 中分解出因数 $5$ 。

$\frac{5 (3 \sqrt{10} - 8)}{250}$

解题步骤 3.13.4

约去公因数。

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解题步骤 3.13.4.1

从 $250$ 中分解出因数 $5$ 。

$\frac{5 (3 \sqrt{10} - 8)}{5 (50)}$

解题步骤 3.13.4.2

约去公因数。

$\frac{5 (3 \sqrt{10} - 8)}{5 \cdot 50}$

解题步骤 3.13.4.3

重写表达式。

$\frac{3 \sqrt{10} - 8}{50}$

解题步骤 4

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{3 \sqrt{10} - 8}{50}$

小数形式：

$0.02973665 \dots$

初级微积分 示例

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