初级微积分示例

$2 x^{3}$

解题步骤 1

将 $2 x^{3}$ 书写为一个函数。

$f (x) = 2 x^{3}$

解题步骤 2

考虑差商公式。

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

解题步骤 3

求定义的补集。

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解题步骤 3.1

计算函数在 $x = x + h$ 处的值。

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解题步骤 3.1.1

使用表达式中的 $x + h$ 替换变量 $x$ 。

$f (x + h) = 2 {(x + h)}^{3}$

解题步骤 3.1.2

化简结果。

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解题步骤 3.1.2.1

使用二项式定理。

$f (x + h) = 2 (x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3})$

解题步骤 3.1.2.2

运用分配律。

$f (x + h) = 2 x^{3} + 2 (3 x^{2} h) + 2 (3 x h^{2}) + 2 h^{3}$

解题步骤 3.1.2.3

化简。

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解题步骤 3.1.2.3.1

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$f (x + h) = 2 x^{3} + 6 (x^{2} h) + 2 (3 x h^{2}) + 2 h^{3}$

解题步骤 3.1.2.3.2

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$f (x + h) = 2 x^{3} + 6 (x^{2} h) + 6 (x h^{2}) + 2 h^{3}$

解题步骤 3.1.2.4

去掉圆括号。

$f (x + h) = 2 x^{3} + 6 x^{2} h + 6 x h^{2} + 2 h^{3}$

解题步骤 3.1.2.5

最终答案为 $2 x^{3} + 6 x^{2} h + 6 x h^{2} + 2 h^{3}$ 。

$2 x^{3} + 6 x^{2} h + 6 x h^{2} + 2 h^{3}$

解题步骤 3.2

重新排序。

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解题步骤 3.2.1

移动 $x^{2}$ 。

$2 x^{3} + 6 h x^{2} + 6 x h^{2} + 2 h^{3}$

解题步骤 3.2.2

移动 $x$ 。

$2 x^{3} + 6 h x^{2} + 6 h^{2} x + 2 h^{3}$

解题步骤 3.2.3

移动 $2 x^{3}$ 。

$6 h x^{2} + 6 h^{2} x + 2 h^{3} + 2 x^{3}$

解题步骤 3.2.4

移动 $6 h x^{2}$ 。

$6 h^{2} x + 2 h^{3} + 6 h x^{2} + 2 x^{3}$

解题步骤 3.2.5

将 $6 h^{2} x$ 和 $2 h^{3}$ 重新排序。

$2 h^{3} + 6 h^{2} x + 6 h x^{2} + 2 x^{3}$

解题步骤 3.3

求定义的补集。

$f (x + h) = 2 h^{3} + 6 h^{2} x + 6 h x^{2} + 2 x^{3}$

$f (x) = 2 x^{3}$

$f (x + h) = 2 h^{3} + 6 h^{2} x + 6 h x^{2} + 2 x^{3}$

$f (x) = 2 x^{3}$

解题步骤 4

插入分量。

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{2 h^{3} + 6 h^{2} x + 6 h x^{2} + 2 x^{3} - (2 x^{3})}{h}$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

化简分子。

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解题步骤 5.1.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{2 h^{3} + 6 h^{2} x + 6 h x^{2} + 2 x^{3} - 2 x^{3}}{h}$

解题步骤 5.1.2

从 $2 x^{3}$ 中减去 $2 x^{3}$ 。

$\frac{2 h^{3} + 6 h^{2} x + 6 h x^{2} + 0}{h}$

解题步骤 5.1.3

将 $2 h^{3} + 6 h^{2} x + 6 h x^{2}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{2 h^{3} + 6 h^{2} x + 6 h x^{2}}{h}$

解题步骤 5.1.4

从 $2 h^{3} + 6 h^{2} x + 6 h x^{2}$ 中分解出因数 $2 h$ 。

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解题步骤 5.1.4.1

从 $2 h^{3}$ 中分解出因数 $2 h$ 。

$\frac{2 h \cdot h^{2} + 6 h^{2} x + 6 h x^{2}}{h}$

解题步骤 5.1.4.2

从 $6 h^{2} x$ 中分解出因数 $2 h$ 。

$\frac{2 h \cdot h^{2} + 2 h (3 h x) + 6 h x^{2}}{h}$

解题步骤 5.1.4.3

从 $6 h x^{2}$ 中分解出因数 $2 h$ 。

$\frac{2 h \cdot h^{2} + 2 h (3 h x) + 2 h (3 x^{2})}{h}$

解题步骤 5.1.4.4

从 $2 h \cdot h^{2} + 2 h (3 h x)$ 中分解出因数 $2 h$ 。

$\frac{2 h (h^{2} + 3 h x) + 2 h (3 x^{2})}{h}$

解题步骤 5.1.4.5

从 $2 h (h^{2} + 3 h x) + 2 h (3 x^{2})$ 中分解出因数 $2 h$ 。

$\frac{2 h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2})}{h}$

解题步骤 5.2

化简项。

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解题步骤 5.2.1

约去 $h$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2})}{h}$

解题步骤 5.2.1.2

用 $2 (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2})$ 除以 $1$ 。

$2 (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2})$

解题步骤 5.2.2

运用分配律。

$2 h^{2} + 2 (3 h x) + 2 (3 x^{2})$

解题步骤 5.3

化简。

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解题步骤 5.3.1

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$2 h^{2} + 6 (h x) + 2 (3 x^{2})$

解题步骤 5.3.2

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$2 h^{2} + 6 (h x) + 6 x^{2}$

解题步骤 5.4

移动 $h$ 。

$2 h^{2} + 6 x h + 6 x^{2}$

解题步骤 5.5

移动 $2 h^{2}$ 。

$6 x h + 6 x^{2} + 2 h^{2}$

解题步骤 5.6

将 $6 x h$ 和 $6 x^{2}$ 重新排序。

$6 x^{2} + 6 x h + 2 h^{2}$

解题步骤 6

初级微积分 示例

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