初级微积分示例

$f (t) = t^{3} - 12 t^{2} + 45 t$ ; $0 \leq t \leq 7$

解题步骤 1

将 $f (t) = t^{3} - 12 t^{2} + 45 t$ 写为等式。

$y = t^{3} - 12 t^{2} + 45 t$

解题步骤 2

运用平均变化率公式代入。

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解题步骤 2.1

函数的平均变化率可通过计算两点的 $y$ 的变化值除以两点的 $t$ 变化值来求得。

$\frac{f (7) - f (0)}{(7) - (0)}$

解题步骤 2.2

代入 $f (7)$ 和 $f (0)$ 的方程 $y = t^{3} - 12 t^{2} + 45 t$ 中，用对应的 $t$ 值替换函数中的 $t$ 。

$\frac{({(7)}^{3} - 12 {(7)}^{2} + 45 (7)) - ({(0)}^{3} - 12 {(0)}^{2} + 45 (0))}{(7) - (0)}$

解题步骤 3

化简表达式。

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解题步骤 3.1

化简分子。

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解题步骤 3.1.1

对 $7$ 进行 $3$ 次方运算。

$\frac{343 - 12 \cdot 7^{2} + 45 (7) - (0^{3} - 12 \cdot 0^{2} + 45 (0))}{7 - (0)}$

解题步骤 3.1.2

对 $7$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{343 - 12 \cdot 49 + 45 (7) - (0^{3} - 12 \cdot 0^{2} + 45 (0))}{7 - (0)}$

解题步骤 3.1.3

将 $- 12$ 乘以 $49$ 。

$\frac{343 - 588 + 45 (7) - (0^{3} - 12 \cdot 0^{2} + 45 (0))}{7 - (0)}$

解题步骤 3.1.4

将 $45$ 乘以 $7$ 。

$\frac{343 - 588 + 315 - (0^{3} - 12 \cdot 0^{2} + 45 (0))}{7 - (0)}$

解题步骤 3.1.5

化简每一项。

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解题步骤 3.1.5.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$\frac{343 - 588 + 315 - (0 - 12 \cdot 0^{2} + 45 (0))}{7 - (0)}$

解题步骤 3.1.5.2

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$\frac{343 - 588 + 315 - (0 - 12 \cdot 0 + 45 (0))}{7 - (0)}$

解题步骤 3.1.5.3

将 $- 12$ 乘以 $0$ 。

$\frac{343 - 588 + 315 - (0 + 0 + 45 (0))}{7 - (0)}$

解题步骤 3.1.5.4

将 $45$ 乘以 $0$ 。

$\frac{343 - 588 + 315 - (0 + 0 + 0)}{7 - (0)}$

解题步骤 3.1.6

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$\frac{343 - 588 + 315 - (0 + 0)}{7 - (0)}$

解题步骤 3.1.7

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$\frac{343 - 588 + 315 - 0}{7 - (0)}$

解题步骤 3.1.8

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$\frac{343 - 588 + 315 + 0}{7 - (0)}$

解题步骤 3.1.9

将 $343 - 588 + 315$ 和 $0$ 相加。

$\frac{343 - 588 + 315}{7 - (0)}$

解题步骤 3.1.10

从 $343$ 中减去 $588$ 。

$\frac{- 245 + 315}{7 - (0)}$

解题步骤 3.1.11

将 $- 245$ 和 $315$ 相加。

$\frac{70}{7 - (0)}$

解题步骤 3.2

化简分母。

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解题步骤 3.2.1

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$\frac{70}{7 + 0}$

解题步骤 3.2.2

将 $7$ 和 $0$ 相加。

$\frac{70}{7}$

解题步骤 3.3

用 $70$ 除以 $7$ 。

$10$

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