初级微积分示例

$f (x) = 3 x \ln (x)$ ; $[1, e^{2}]$

解题步骤 1

将 $f (x) = 3 x \ln (x)$ 写为等式。

$y = 3 x \ln (x)$

解题步骤 2

运用平均变化率公式代入。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

函数的平均变化率可通过计算两点的 $y$ 的变化值除以两点的 $x$ 变化值来求得。

$\frac{f (e^{2}) - f (1)}{(e^{2}) - (1)}$

解题步骤 2.2

代入 $f (e^{2})$ 和 $f (1)$ 的方程 $y = 3 x \ln (x)$ 中，用对应的 $x$ 值替换函数中的 $x$ 。

$\frac{(3 (e^{2}) \ln (e^{2})) - (3 (1) \ln (1))}{(e^{2}) - (1)}$

解题步骤 3

化简表达式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1.1

使用对数规则把 $2$ 移到指数外部。

$\frac{3 e^{2} (2 \ln (e)) - 1 \cdot 3 \cdot 1 \ln (1)}{e^{2} - (1)}$

解题步骤 3.1.2

$e$ 的自然对数为 $1$ 。

$\frac{3 e^{2} (2 \cdot 1) - 1 \cdot 3 \cdot 1 \ln (1)}{e^{2} - (1)}$

解题步骤 3.1.3

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{3 e^{2} \cdot 2 - 1 \cdot 3 \cdot 1 \ln (1)}{e^{2} - (1)}$

解题步骤 3.1.4

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$\frac{6 e^{2} - 1 \cdot 3 \cdot 1 \ln (1)}{e^{2} - (1)}$

解题步骤 3.1.5

乘以 $- 1 \cdot 3 \cdot 1$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1.5.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$\frac{6 e^{2} - 3 \cdot 1 \ln (1)}{e^{2} - (1)}$

解题步骤 3.1.5.2

将 $- 3$ 乘以 $1$ 。

$\frac{6 e^{2} - 3 \ln (1)}{e^{2} - (1)}$

解题步骤 3.1.6

$1$ 的自然对数为 $0$ 。

$\frac{6 e^{2} - 3 \cdot 0}{e^{2} - (1)}$

解题步骤 3.1.7

将 $- 3$ 乘以 $0$ 。

$\frac{6 e^{2} + 0}{e^{2} - (1)}$

解题步骤 3.1.8

将 $6 e^{2}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{6 e^{2}}{e^{2} - (1)}$

解题步骤 3.2

化简分母。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.2.1

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$\frac{6 e^{2}}{e^{2} - 1^{2}}$

解题步骤 3.2.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = e$ 和 $b = 1$ 。

$\frac{6 e^{2}}{(e + 1) (e - 1)}$

初级微积分 示例

初级微积分示例