初级微积分示例

$p (t) = \frac{(t^{2} - 4) (t + 1)}{t^{2} + 3}$ on $[- 3, 1]$

解题步骤 1

将 $p (t) = \frac{(t^{2} - 4) (t + 1)}{t^{2} + 3}$ 写为等式。

$y = \frac{(t^{2} - 4) (t + 1)}{t^{2} + 3}$

解题步骤 2

运用平均变化率公式代入。

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解题步骤 2.1

函数的平均变化率可通过计算两点的 $y$ 的变化值除以两点的 $t$ 变化值来求得。

$\frac{f (1) - f (- 3)}{(1) - (- 3)}$

解题步骤 2.2

代入 $f (1)$ 和 $f (- 3)$ 的方程 $y = \frac{(t^{2} - 4) (t + 1)}{t^{2} + 3}$ 中，用对应的 $t$ 值替换函数中的 $t$ 。

$\frac{(\frac{({(1)}^{2} - 4) ((1) + 1)}{{(1)}^{2} + 3}) - (\frac{({(- 3)}^{2} - 4) ((- 3) + 1)}{{(- 3)}^{2} + 3})}{(1) - (- 3)}$

解题步骤 3

化简表达式。

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解题步骤 3.1

将分数的分子和分母乘以 $(1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3)$ 。

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解题步骤 3.1.1

将 $\frac{\frac{(1^{2} - 4) (1 + 1)}{1^{2} + 3} - \frac{({(- 3)}^{2} - 4) (- 3 + 1)}{{(- 3)}^{2} + 3}}{1 - (- 3)}$ 乘以 $\frac{(1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3)}{(1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3)}$ 。

$\frac{(1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3)}{(1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3)} \cdot \frac{\frac{(1^{2} - 4) (1 + 1)}{1^{2} + 3} - \frac{({(- 3)}^{2} - 4) (- 3 + 1)}{{(- 3)}^{2} + 3}}{1 - (- 3)}$

解题步骤 3.1.2

合并。

$\frac{(1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) (\frac{(1^{2} - 4) (1 + 1)}{1^{2} + 3} - \frac{({(- 3)}^{2} - 4) (- 3 + 1)}{{(- 3)}^{2} + 3})}{(1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) (1 - (- 3))}$

解题步骤 3.2

运用分配律。

$\frac{(1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) \frac{(1^{2} - 4) (1 + 1)}{1^{2} + 3} + (1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) (- \frac{({(- 3)}^{2} - 4) (- 3 + 1)}{{(- 3)}^{2} + 3})}{(1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) \cdot 1 + (1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) (- (- 3))}$

解题步骤 3.3

通过相约进行化简。

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解题步骤 3.3.1

约去 $1^{2} + 3$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.1.1

约去公因数。

解题步骤 3.3.1.2

重写表达式。

$\frac{({(- 3)}^{2} + 3) ((1^{2} - 4) (1 + 1)) + (1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) (- \frac{({(- 3)}^{2} - 4) (- 3 + 1)}{{(- 3)}^{2} + 3})}{(1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) \cdot 1 + (1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) (- (- 3))}$

解题步骤 3.3.2

约去 ${(- 3)}^{2} + 3$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.2.1

将 $- \frac{({(- 3)}^{2} - 4) (- 3 + 1)}{{(- 3)}^{2} + 3}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{({(- 3)}^{2} + 3) ((1^{2} - 4) (1 + 1)) + (1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) \frac{- ({(- 3)}^{2} - 4) (- 3 + 1)}{{(- 3)}^{2} + 3}}{(1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) \cdot 1 + (1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) (- (- 3))}$

解题步骤 3.3.2.2

从 $(1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3)$ 中分解出因数 ${(- 3)}^{2} + 3$ 。

$\frac{({(- 3)}^{2} + 3) ((1^{2} - 4) (1 + 1)) + ({(- 3)}^{2} + 3) (1^{2} + 3) \frac{- ({(- 3)}^{2} - 4) (- 3 + 1)}{{(- 3)}^{2} + 3}}{(1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) \cdot 1 + (1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) (- (- 3))}$

解题步骤 3.3.2.3

约去公因数。

解题步骤 3.3.2.4

重写表达式。

$\frac{({(- 3)}^{2} + 3) ((1^{2} - 4) (1 + 1)) + (1^{2} + 3) (- ({(- 3)}^{2} - 4) (- 3 + 1))}{(1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) \cdot 1 + (1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) (- (- 3))}$

解题步骤 3.4

化简分子。

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解题步骤 3.4.1

对 $- 3$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{(9 + 3) (1^{2} - 4) (1 + 1) + (1^{2} + 3) (- ({(- 3)}^{2} - 4) (- 3 + 1))}{(1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) \cdot 1 + (1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) (- (- 3))}$

解题步骤 3.4.2

将 $9$ 和 $3$ 相加。

$\frac{12 (1^{2} - 4) (1 + 1) + (1^{2} + 3) (- ({(- 3)}^{2} - 4) (- 3 + 1))}{(1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) \cdot 1 + (1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) (- (- 3))}$

解题步骤 3.4.3

一的任意次幂都为一。

$\frac{12 (1 - 4) (1 + 1) + (1^{2} + 3) (- ({(- 3)}^{2} - 4) (- 3 + 1))}{(1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) \cdot 1 + (1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) (- (- 3))}$

解题步骤 3.4.4

从 $1$ 中减去 $4$ 。

$\frac{12 \cdot - 3 (1 + 1) + (1^{2} + 3) (- ({(- 3)}^{2} - 4) (- 3 + 1))}{(1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) \cdot 1 + (1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) (- (- 3))}$

解题步骤 3.4.5

将 $12$ 乘以 $- 3$ 。

$\frac{- 36 (1 + 1) + (1^{2} + 3) (- ({(- 3)}^{2} - 4) (- 3 + 1))}{(1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) \cdot 1 + (1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) (- (- 3))}$

解题步骤 3.4.6

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{- 36 \cdot 2 + (1^{2} + 3) (- ({(- 3)}^{2} - 4) (- 3 + 1))}{(1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) \cdot 1 + (1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) (- (- 3))}$

解题步骤 3.4.7

将 $- 36$ 乘以 $2$ 。

$\frac{- 72 + (1^{2} + 3) (- ({(- 3)}^{2} - 4) (- 3 + 1))}{(1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) \cdot 1 + (1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) (- (- 3))}$

解题步骤 3.4.8

一的任意次幂都为一。

$\frac{- 72 + (1 + 3) (- ({(- 3)}^{2} - 4) (- 3 + 1))}{(1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) \cdot 1 + (1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) (- (- 3))}$

解题步骤 3.4.9

将 $1$ 和 $3$ 相加。

$\frac{- 72 + 4 (- ({(- 3)}^{2} - 4) (- 3 + 1))}{(1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) \cdot 1 + (1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) (- (- 3))}$

解题步骤 3.4.10

对 $- 3$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{- 72 + 4 (- (9 - 4) (- 3 + 1))}{(1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) \cdot 1 + (1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) (- (- 3))}$

解题步骤 3.4.11

从 $9$ 中减去 $4$ 。

$\frac{- 72 + 4 (- 1 \cdot 5 (- 3 + 1))}{(1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) \cdot 1 + (1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) (- (- 3))}$

解题步骤 3.4.12

将 $- 1$ 乘以 $5$ 。

$\frac{- 72 + 4 (- 5 (- 3 + 1))}{(1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) \cdot 1 + (1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) (- (- 3))}$

解题步骤 3.4.13

将 $- 3$ 和 $1$ 相加。

$\frac{- 72 + 4 (- 5 \cdot - 2)}{(1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) \cdot 1 + (1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) (- (- 3))}$

解题步骤 3.4.14

乘以 $4 (- 5 \cdot - 2)$ 。

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解题步骤 3.4.14.1

将 $- 5$ 乘以 $- 2$ 。

$\frac{- 72 + 4 \cdot 10}{(1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) \cdot 1 + (1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) (- (- 3))}$

解题步骤 3.4.14.2

将 $4$ 乘以 $10$ 。

$\frac{- 72 + 40}{(1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) \cdot 1 + (1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) (- (- 3))}$

解题步骤 3.4.15

将 $- 72$ 和 $40$ 相加。

$\frac{- 32}{(1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) \cdot 1 + (1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) (- (- 3))}$

解题步骤 3.5

化简分母。

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解题步骤 3.5.1

一的任意次幂都为一。

$\frac{- 32}{(1 + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) \cdot 1 + (1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) (- (- 3))}$

解题步骤 3.5.2

将 $1$ 和 $3$ 相加。

$\frac{- 32}{4 ({(- 3)}^{2} + 3) \cdot 1 + (1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) (- (- 3))}$

解题步骤 3.5.3

对 $- 3$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{- 32}{4 (9 + 3) \cdot 1 + (1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) (- (- 3))}$

解题步骤 3.5.4

将 $9$ 和 $3$ 相加。

$\frac{- 32}{4 \cdot 12 \cdot 1 + (1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) (- (- 3))}$

解题步骤 3.5.5

乘以 $4 \cdot 12 \cdot 1$ 。

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解题步骤 3.5.5.1

将 $4$ 乘以 $12$ 。

$\frac{- 32}{48 \cdot 1 + (1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) (- (- 3))}$

解题步骤 3.5.5.2

将 $48$ 乘以 $1$ 。

$\frac{- 32}{48 + (1^{2} + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) (- (- 3))}$

解题步骤 3.5.6

一的任意次幂都为一。

$\frac{- 32}{48 + (1 + 3) ({(- 3)}^{2} + 3) (- (- 3))}$

解题步骤 3.5.7

将 $1$ 和 $3$ 相加。

$\frac{- 32}{48 + 4 ({(- 3)}^{2} + 3) (- (- 3))}$

解题步骤 3.5.8

对 $- 3$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{- 32}{48 + 4 (9 + 3) (- (- 3))}$

解题步骤 3.5.9

将 $9$ 和 $3$ 相加。

$\frac{- 32}{48 + 4 \cdot 12 (- (- 3))}$

解题步骤 3.5.10

乘以 $4 \cdot 12 (- (- 3))$ 。

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解题步骤 3.5.10.1

将 $4$ 乘以 $12$ 。

$\frac{- 32}{48 + 48 (- (- 3))}$

解题步骤 3.5.10.2

将 $- 1$ 乘以 $- 3$ 。

$\frac{- 32}{48 + 48 \cdot 3}$

解题步骤 3.5.10.3

将 $48$ 乘以 $3$ 。

$\frac{- 32}{48 + 144}$

解题步骤 3.5.11

将 $48$ 和 $144$ 相加。

$\frac{- 32}{192}$

解题步骤 3.6

通过约去公因数来化简表达式。

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解题步骤 3.6.1

约去 $- 32$ 和 $192$ 的公因数。

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解题步骤 3.6.1.1

从 $- 32$ 中分解出因数 $32$ 。

$\frac{32 (- 1)}{192}$

解题步骤 3.6.1.2

约去公因数。

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解题步骤 3.6.1.2.1

从 $192$ 中分解出因数 $32$ 。

$\frac{32 \cdot - 1}{32 \cdot 6}$

解题步骤 3.6.1.2.2

约去公因数。

$\frac{32 \cdot - 1}{32 \cdot 6}$

解题步骤 3.6.1.2.3

重写表达式。

$\frac{- 1}{6}$

解题步骤 3.6.2

将负号移到分数的前面。

$- \frac{1}{6}$

初级微积分 示例

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