初级微积分示例

$f (x) = x^{4} - 2 x^{3}$

解题步骤 1

考虑差商公式。

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

解题步骤 2

求定义的补集。

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解题步骤 2.1

计算函数在 $x = x + h$ 处的值。

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解题步骤 2.1.1

使用表达式中的 $x + h$ 替换变量 $x$ 。

$f (x + h) = {(x + h)}^{4} - 2 {(x + h)}^{3}$

解题步骤 2.1.2

化简结果。

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解题步骤 2.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.2.1.1

使用二项式定理。

$f (x + h) = x^{4} + 4 x^{3} h + 6 x^{2} h^{2} + 4 x h^{3} + h^{4} - 2 {(x + h)}^{3}$

解题步骤 2.1.2.1.2

使用二项式定理。

$f (x + h) = x^{4} + 4 x^{3} h + 6 x^{2} h^{2} + 4 x h^{3} + h^{4} - 2 (x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3})$

解题步骤 2.1.2.1.3

运用分配律。

$f (x + h) = x^{4} + 4 x^{3} h + 6 x^{2} h^{2} + 4 x h^{3} + h^{4} - 2 x^{3} - 2 (3 x^{2} h) - 2 (3 x h^{2}) - 2 h^{3}$

解题步骤 2.1.2.1.4

化简。

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解题步骤 2.1.2.1.4.1

将 $3$ 乘以 $- 2$ 。

$f (x + h) = x^{4} + 4 x^{3} h + 6 x^{2} h^{2} + 4 x h^{3} + h^{4} - 2 x^{3} - 6 (x^{2} h) - 2 (3 x h^{2}) - 2 h^{3}$

解题步骤 2.1.2.1.4.2

将 $3$ 乘以 $- 2$ 。

$f (x + h) = x^{4} + 4 x^{3} h + 6 x^{2} h^{2} + 4 x h^{3} + h^{4} - 2 x^{3} - 6 (x^{2} h) - 6 (x h^{2}) - 2 h^{3}$

解题步骤 2.1.2.1.5

去掉圆括号。

$f (x + h) = x^{4} + 4 x^{3} h + 6 x^{2} h^{2} + 4 x h^{3} + h^{4} - 2 x^{3} - 6 x^{2} h - 6 x h^{2} - 2 h^{3}$

解题步骤 2.1.2.2

最终答案为 $x^{4} + 4 x^{3} h + 6 x^{2} h^{2} + 4 x h^{3} + h^{4} - 2 x^{3} - 6 x^{2} h - 6 x h^{2} - 2 h^{3}$ 。

$x^{4} + 4 x^{3} h + 6 x^{2} h^{2} + 4 x h^{3} + h^{4} - 2 x^{3} - 6 x^{2} h - 6 x h^{2} - 2 h^{3}$

解题步骤 2.2

重新排序。

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解题步骤 2.2.1

移动 $x^{3}$ 。

$x^{4} + 4 h x^{3} + 6 x^{2} h^{2} + 4 x h^{3} + h^{4} - 2 x^{3} - 6 x^{2} h - 6 x h^{2} - 2 h^{3}$

解题步骤 2.2.2

移动 $x^{2}$ 。

$x^{4} + 4 h x^{3} + 6 h^{2} x^{2} + 4 x h^{3} + h^{4} - 2 x^{3} - 6 x^{2} h - 6 x h^{2} - 2 h^{3}$

解题步骤 2.2.3

移动 $x$ 。

$x^{4} + 4 h x^{3} + 6 h^{2} x^{2} + 4 h^{3} x + h^{4} - 2 x^{3} - 6 x^{2} h - 6 x h^{2} - 2 h^{3}$

解题步骤 2.2.4

移动 $x^{2}$ 。

$x^{4} + 4 h x^{3} + 6 h^{2} x^{2} + 4 h^{3} x + h^{4} - 2 x^{3} - 6 h x^{2} - 6 x h^{2} - 2 h^{3}$

解题步骤 2.2.5

移动 $x$ 。

$x^{4} + 4 h x^{3} + 6 h^{2} x^{2} + 4 h^{3} x + h^{4} - 2 x^{3} - 6 h x^{2} - 6 h^{2} x - 2 h^{3}$

解题步骤 2.2.6

移动 $- 2 x^{3}$ 。

$x^{4} + 4 h x^{3} + 6 h^{2} x^{2} + 4 h^{3} x + h^{4} - 6 h x^{2} - 6 h^{2} x - 2 h^{3} - 2 x^{3}$

解题步骤 2.2.7

移动 $- 6 h x^{2}$ 。

$x^{4} + 4 h x^{3} + 6 h^{2} x^{2} + 4 h^{3} x + h^{4} - 6 h^{2} x - 2 h^{3} - 6 h x^{2} - 2 x^{3}$

解题步骤 2.2.8

移动 $- 6 h^{2} x$ 。

$x^{4} + 4 h x^{3} + 6 h^{2} x^{2} + 4 h^{3} x + h^{4} - 2 h^{3} - 6 h^{2} x - 6 h x^{2} - 2 x^{3}$

解题步骤 2.2.9

移动 $x^{4}$ 。

$4 h x^{3} + 6 h^{2} x^{2} + 4 h^{3} x + h^{4} + x^{4} - 2 h^{3} - 6 h^{2} x - 6 h x^{2} - 2 x^{3}$

解题步骤 2.2.10

移动 $4 h x^{3}$ 。

$6 h^{2} x^{2} + 4 h^{3} x + h^{4} + 4 h x^{3} + x^{4} - 2 h^{3} - 6 h^{2} x - 6 h x^{2} - 2 x^{3}$

解题步骤 2.2.11

移动 $6 h^{2} x^{2}$ 。

$4 h^{3} x + h^{4} + 6 h^{2} x^{2} + 4 h x^{3} + x^{4} - 2 h^{3} - 6 h^{2} x - 6 h x^{2} - 2 x^{3}$

解题步骤 2.2.12

将 $4 h^{3} x$ 和 $h^{4}$ 重新排序。

$h^{4} + 4 h^{3} x + 6 h^{2} x^{2} + 4 h x^{3} + x^{4} - 2 h^{3} - 6 h^{2} x - 6 h x^{2} - 2 x^{3}$

解题步骤 2.3

求定义的补集。

$f (x + h) = h^{4} + 4 h^{3} x + 6 h^{2} x^{2} + 4 h x^{3} + x^{4} - 2 h^{3} - 6 h^{2} x - 6 h x^{2} - 2 x^{3}$

$f (x) = x^{4} - 2 x^{3}$

$f (x + h) = h^{4} + 4 h^{3} x + 6 h^{2} x^{2} + 4 h x^{3} + x^{4} - 2 h^{3} - 6 h^{2} x - 6 h x^{2} - 2 x^{3}$

$f (x) = x^{4} - 2 x^{3}$

解题步骤 3

插入分量。

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{h^{4} + 4 h^{3} x + 6 h^{2} x^{2} + 4 h x^{3} + x^{4} - 2 h^{3} - 6 h^{2} x - 6 h x^{2} - 2 x^{3} - (x^{4} - 2 x^{3})}{h}$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

化简分子。

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解题步骤 4.1.1

运用分配律。

$\frac{h^{4} + 4 h^{3} x + 6 h^{2} x^{2} + 4 h x^{3} + x^{4} - 2 h^{3} - 6 h^{2} x - 6 h x^{2} - 2 x^{3} - x^{4} - (- 2 x^{3})}{h}$

解题步骤 4.1.2

将 $- 2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{h^{4} + 4 h^{3} x + 6 h^{2} x^{2} + 4 h x^{3} + x^{4} - 2 h^{3} - 6 h^{2} x - 6 h x^{2} - 2 x^{3} - x^{4} + 2 x^{3}}{h}$

解题步骤 4.1.3

从 $x^{4}$ 中减去 $x^{4}$ 。

$\frac{h^{4} + 4 h^{3} x + 6 h^{2} x^{2} + 4 h x^{3} - 2 h^{3} - 6 h^{2} x - 6 h x^{2} - 2 x^{3} + 0 + 2 x^{3}}{h}$

解题步骤 4.1.4

将 $h^{4}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{h^{4} + 4 h^{3} x + 6 h^{2} x^{2} + 4 h x^{3} - 2 h^{3} - 6 h^{2} x - 6 h x^{2} - 2 x^{3} + 2 x^{3}}{h}$

解题步骤 4.1.5

将 $- 2 x^{3}$ 和 $2 x^{3}$ 相加。

$\frac{h^{4} + 4 h^{3} x + 6 h^{2} x^{2} + 4 h x^{3} - 2 h^{3} - 6 h^{2} x - 6 h x^{2} + 0}{h}$

解题步骤 4.1.6

将 $h^{4} + 4 h^{3} x + 6 h^{2} x^{2} + 4 h x^{3} - 2 h^{3} - 6 h^{2} x - 6 h x^{2}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{h^{4} + 4 h^{3} x + 6 h^{2} x^{2} + 4 h x^{3} - 2 h^{3} - 6 h^{2} x - 6 h x^{2}}{h}$

解题步骤 4.1.7

从 $h^{4} + 4 h^{3} x + 6 h^{2} x^{2} + 4 h x^{3} - 2 h^{3} - 6 h^{2} x - 6 h x^{2}$ 中分解出因数 $h$ 。

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解题步骤 4.1.7.1

从 $h^{4}$ 中分解出因数 $h$ 。

$\frac{h \cdot h^{3} + 4 h^{3} x + 6 h^{2} x^{2} + 4 h x^{3} - 2 h^{3} - 6 h^{2} x - 6 h x^{2}}{h}$

解题步骤 4.1.7.2

从 $4 h^{3} x$ 中分解出因数 $h$ 。

$\frac{h (h^{3}) + h (4 h^{2} x) + 6 h^{2} x^{2} + 4 h x^{3} - 2 h^{3} - 6 h^{2} x - 6 h x^{2}}{h}$

解题步骤 4.1.7.3

从 $6 h^{2} x^{2}$ 中分解出因数 $h$ 。

$\frac{h (h^{3}) + h (4 h^{2} x) + h (6 h x^{2}) + 4 h x^{3} - 2 h^{3} - 6 h^{2} x - 6 h x^{2}}{h}$

解题步骤 4.1.7.4

从 $4 h x^{3}$ 中分解出因数 $h$ 。

$\frac{h (h^{3}) + h (4 h^{2} x) + h (6 h x^{2}) + h (4 x^{3}) - 2 h^{3} - 6 h^{2} x - 6 h x^{2}}{h}$

解题步骤 4.1.7.5

从 $- 2 h^{3}$ 中分解出因数 $h$ 。

$\frac{h (h^{3}) + h (4 h^{2} x) + h (6 h x^{2}) + h (4 x^{3}) + h (- 2 h^{2}) - 6 h^{2} x - 6 h x^{2}}{h}$

解题步骤 4.1.7.6

从 $- 6 h^{2} x$ 中分解出因数 $h$ 。

$\frac{h (h^{3}) + h (4 h^{2} x) + h (6 h x^{2}) + h (4 x^{3}) + h (- 2 h^{2}) + h (- 6 h x) - 6 h x^{2}}{h}$

解题步骤 4.1.7.7

从 $- 6 h x^{2}$ 中分解出因数 $h$ 。

$\frac{h (h^{3}) + h (4 h^{2} x) + h (6 h x^{2}) + h (4 x^{3}) + h (- 2 h^{2}) + h (- 6 h x) + h (- 6 x^{2})}{h}$

解题步骤 4.1.7.8

从 $h (h^{3}) + h (4 h^{2} x)$ 中分解出因数 $h$ 。

$\frac{h (h^{3} + 4 h^{2} x) + h (6 h x^{2}) + h (4 x^{3}) + h (- 2 h^{2}) + h (- 6 h x) + h (- 6 x^{2})}{h}$

解题步骤 4.1.7.9

从 $h (h^{3} + 4 h^{2} x) + h (6 h x^{2})$ 中分解出因数 $h$ 。

$\frac{h (h^{3} + 4 h^{2} x + 6 h x^{2}) + h (4 x^{3}) + h (- 2 h^{2}) + h (- 6 h x) + h (- 6 x^{2})}{h}$

解题步骤 4.1.7.10

从 $h (h^{3} + 4 h^{2} x + 6 h x^{2}) + h (4 x^{3})$ 中分解出因数 $h$ 。

$\frac{h (h^{3} + 4 h^{2} x + 6 h x^{2} + 4 x^{3}) + h (- 2 h^{2}) + h (- 6 h x) + h (- 6 x^{2})}{h}$

解题步骤 4.1.7.11

从 $h (h^{3} + 4 h^{2} x + 6 h x^{2} + 4 x^{3}) + h (- 2 h^{2})$ 中分解出因数 $h$ 。

$\frac{h (h^{3} + 4 h^{2} x + 6 h x^{2} + 4 x^{3} - 2 h^{2}) + h (- 6 h x) + h (- 6 x^{2})}{h}$

解题步骤 4.1.7.12

从 $h (h^{3} + 4 h^{2} x + 6 h x^{2} + 4 x^{3} - 2 h^{2}) + h (- 6 h x)$ 中分解出因数 $h$ 。

$\frac{h (h^{3} + 4 h^{2} x + 6 h x^{2} + 4 x^{3} - 2 h^{2} - 6 h x) + h (- 6 x^{2})}{h}$

解题步骤 4.1.7.13

从 $h (h^{3} + 4 h^{2} x + 6 h x^{2} + 4 x^{3} - 2 h^{2} - 6 h x) + h (- 6 x^{2})$ 中分解出因数 $h$ 。

$\frac{h (h^{3} + 4 h^{2} x + 6 h x^{2} + 4 x^{3} - 2 h^{2} - 6 h x - 6 x^{2})}{h}$

解题步骤 4.2

通过约去公因数来化简表达式。

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解题步骤 4.2.1

约去 $h$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.1.1

约去公因数。

$\frac{h (h^{3} + 4 h^{2} x + 6 h x^{2} + 4 x^{3} - 2 h^{2} - 6 h x - 6 x^{2})}{h}$

解题步骤 4.2.1.2

用 $h^{3} + 4 h^{2} x + 6 h x^{2} + 4 x^{3} - 2 h^{2} - 6 h x - 6 x^{2}$ 除以 $1$ 。

$h^{3} + 4 h^{2} x + 6 h x^{2} + 4 x^{3} - 2 h^{2} - 6 h x - 6 x^{2}$

解题步骤 4.2.2

化简表达式。

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解题步骤 4.2.2.1

移动 $h^{2}$ 。

$h^{3} + 4 x h^{2} + 6 h x^{2} + 4 x^{3} - 2 h^{2} - 6 h x - 6 x^{2}$

解题步骤 4.2.2.2

移动 $h$ 。

$h^{3} + 4 x h^{2} + 6 x^{2} h + 4 x^{3} - 2 h^{2} - 6 h x - 6 x^{2}$

解题步骤 4.2.2.3

移动 $h$ 。

$h^{3} + 4 x h^{2} + 6 x^{2} h + 4 x^{3} - 2 h^{2} - 6 x h - 6 x^{2}$

解题步骤 4.2.2.4

移动 $- 2 h^{2}$ 。

$h^{3} + 4 x h^{2} + 6 x^{2} h + 4 x^{3} - 6 x h - 6 x^{2} - 2 h^{2}$

解题步骤 4.2.2.5

移动 $- 6 x h$ 。

$h^{3} + 4 x h^{2} + 6 x^{2} h + 4 x^{3} - 6 x^{2} - 6 x h - 2 h^{2}$

解题步骤 4.2.2.6

移动 $h^{3}$ 。

$4 x h^{2} + 6 x^{2} h + 4 x^{3} + h^{3} - 6 x^{2} - 6 x h - 2 h^{2}$

解题步骤 4.2.2.7

移动 $4 x h^{2}$ 。

$6 x^{2} h + 4 x^{3} + 4 x h^{2} + h^{3} - 6 x^{2} - 6 x h - 2 h^{2}$

解题步骤 4.2.2.8

将 $6 x^{2} h$ 和 $4 x^{3}$ 重新排序。

$4 x^{3} + 6 x^{2} h + 4 x h^{2} + h^{3} - 6 x^{2} - 6 x h - 2 h^{2}$

解题步骤 5

初级微积分 示例

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