初级微积分示例

$f (x) = 4 e^{x}$ , $[- 2, 2]$

解题步骤 1

将 $f (x) = 4 e^{x}$ 写为等式。

$y = 4 e^{x}$

解题步骤 2

运用平均变化率公式代入。

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解题步骤 2.1

函数的平均变化率可通过计算两点的 $y$ 的变化值除以两点的 $x$ 变化值来求得。

$\frac{f (2) - f (- 2)}{(2) - (- 2)}$

解题步骤 2.2

代入 $f (2)$ 和 $f (- 2)$ 的方程 $y = 4 e^{x}$ 中，用对应的 $x$ 值替换函数中的 $x$ 。

$\frac{(4 e^{2}) - (4 e^{- 2})}{(2) - (- 2)}$

解题步骤 3

化简表达式。

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解题步骤 3.1

化简分子。

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解题步骤 3.1.1

将 $4 e^{2}$ 重写为 ${(2 e)}^{2}$ 。

$\frac{{(2 e)}^{2} - 1 \cdot 4 e^{- 2}}{2 - (- 2)}$

解题步骤 3.1.2

将 $4 e^{- 2}$ 重写为 ${(2 e^{- 1})}^{2}$ 。

$\frac{{(2 e)}^{2} - {(2 e^{- 1})}^{2}}{2 - (- 2)}$

解题步骤 3.1.3

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = 2 e$ 和 $b = 2 e^{- 1}$ 。

$\frac{(2 e + 2 e^{- 1}) (2 e - (2 e^{- 1}))}{2 - (- 2)}$

解题步骤 3.1.4

化简。

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解题步骤 3.1.4.1

从 $2 e + 2 e^{- 1}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (e + e^{- 1}) (2 e - (2 e^{- 1}))}{2 - (- 2)}$

解题步骤 3.1.4.2

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$\frac{2 (e + \frac{1}{e}) (2 e - (2 e^{- 1}))}{2 - (- 2)}$

解题步骤 3.1.4.3

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{2 (e + \frac{1}{e}) (2 e - 2 e^{- 1})}{2 - (- 2)}$

解题步骤 3.1.5

要将 $e$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{e}{e}$ 。

$\frac{2 (\frac{e e}{e} + \frac{1}{e}) (2 e - 2 e^{- 1})}{2 - (- 2)}$

解题步骤 3.1.6

在公分母上合并分子。

$\frac{2 \frac{e e + 1}{e} (2 e - 2 e^{- 1})}{2 - (- 2)}$

解题步骤 3.1.7

乘以 $e e$ 。

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解题步骤 3.1.7.1

对 $e$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{2 \frac{e^{1} e + 1}{e} (2 e - 2 e^{- 1})}{2 - (- 2)}$

解题步骤 3.1.7.2

对 $e$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{2 \frac{e^{1} e^{1} + 1}{e} (2 e - 2 e^{- 1})}{2 - (- 2)}$

解题步骤 3.1.7.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{2 \frac{e^{1 + 1} + 1}{e} (2 e - 2 e^{- 1})}{2 - (- 2)}$

解题步骤 3.1.7.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{2 \frac{e^{2} + 1}{e} (2 e - 2 e^{- 1})}{2 - (- 2)}$

解题步骤 3.1.8

化简每一项。

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解题步骤 3.1.8.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$\frac{2 \frac{e^{2} + 1}{e} (2 e - 2 \frac{1}{e})}{2 - (- 2)}$

解题步骤 3.1.8.2

组合 $- 2$ 和 $\frac{1}{e}$ 。

$\frac{2 \frac{e^{2} + 1}{e} (2 e + \frac{- 2}{e})}{2 - (- 2)}$

解题步骤 3.1.8.3

将负号移到分数的前面。

$\frac{2 \frac{e^{2} + 1}{e} (2 e - \frac{2}{e})}{2 - (- 2)}$

解题步骤 3.1.9

要将 $2 e$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{e}{e}$ 。

$\frac{2 \frac{e^{2} + 1}{e} (\frac{2 e e}{e} - \frac{2}{e})}{2 - (- 2)}$

解题步骤 3.1.10

在公分母上合并分子。

$\frac{2 \frac{e^{2} + 1}{e} \frac{2 e e - 2}{e}}{2 - (- 2)}$

解题步骤 3.1.11

乘以 $2 e e$ 。

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解题步骤 3.1.11.1

对 $e$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{2 \frac{e^{2} + 1}{e} \frac{2 (e^{1} e) - 2}{e}}{2 - (- 2)}$

解题步骤 3.1.11.2

对 $e$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{2 \frac{e^{2} + 1}{e} \frac{2 (e^{1} e^{1}) - 2}{e}}{2 - (- 2)}$

解题步骤 3.1.11.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{2 \frac{e^{2} + 1}{e} \frac{2 e^{1 + 1} - 2}{e}}{2 - (- 2)}$

解题步骤 3.1.11.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{2 \frac{e^{2} + 1}{e} \frac{2 e^{2} - 2}{e}}{2 - (- 2)}$

解题步骤 3.1.12

合并指数。

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解题步骤 3.1.12.1

组合 $2$ 和 $\frac{e^{2} + 1}{e}$ 。

$\frac{\frac{2 (e^{2} + 1)}{e} \cdot \frac{2 e^{2} - 2}{e}}{2 - (- 2)}$

解题步骤 3.1.12.2

将 $\frac{2 (e^{2} + 1)}{e}$ 乘以 $\frac{2 e^{2} - 2}{e}$ 。

$\frac{\frac{2 (e^{2} + 1) (2 e^{2} - 2)}{e e}}{2 - (- 2)}$

解题步骤 3.1.12.3

对 $e$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\frac{2 (e^{2} + 1) (2 e^{2} - 2)}{e^{1} e}}{2 - (- 2)}$

解题步骤 3.1.12.4

对 $e$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\frac{2 (e^{2} + 1) (2 e^{2} - 2)}{e^{1} e^{1}}}{2 - (- 2)}$

解题步骤 3.1.12.5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{\frac{2 (e^{2} + 1) (2 e^{2} - 2)}{e^{1 + 1}}}{2 - (- 2)}$

解题步骤 3.1.12.6

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{\frac{2 (e^{2} + 1) (2 e^{2} - 2)}{e^{2}}}{2 - (- 2)}$

解题步骤 3.2

化简分母。

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解题步骤 3.2.1

将 $- 1$ 乘以 $- 2$ 。

$\frac{\frac{2 (e^{2} + 1) (2 e^{2} - 2)}{e^{2}}}{2 + 2}$

解题步骤 3.2.2

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$\frac{\frac{2 (e^{2} + 1) (2 e^{2} - 2)}{e^{2}}}{4}$

解题步骤 3.3

将分子乘以分母的倒数。

$\frac{2 (e^{2} + 1) (2 e^{2} - 2)}{e^{2}} \cdot \frac{1}{4}$

解题步骤 3.4

化简项。

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解题步骤 3.4.1

合并。

$\frac{2 (e^{2} + 1) (2 e^{2} - 2) \cdot 1}{e^{2} \cdot 4}$

解题步骤 3.4.2

约去 $2$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 3.4.2.1

从 $2 (e^{2} + 1) (2 e^{2} - 2) \cdot 1$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (((e^{2} + 1) (2 e^{2} - 2)) \cdot 1)}{e^{2} \cdot 4}$

解题步骤 3.4.2.2

约去公因数。

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解题步骤 3.4.2.2.1

从 $e^{2} \cdot 4$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (((e^{2} + 1) (2 e^{2} - 2)) \cdot 1)}{2 (e^{2} \cdot 2)}$

解题步骤 3.4.2.2.2

约去公因数。

$\frac{2 (((e^{2} + 1) (2 e^{2} - 2)) \cdot 1)}{2 (e^{2} \cdot 2)}$

解题步骤 3.4.2.2.3

重写表达式。

$\frac{((e^{2} + 1) (2 e^{2} - 2)) \cdot 1}{e^{2} \cdot 2}$

解题步骤 3.4.3

约去 $2 e^{2} - 2$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.4.3.1

从 $((e^{2} + 1) (2 e^{2} - 2)) \cdot 1$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (((e^{2} + 1) (e^{2} - 1)) \cdot 1)}{e^{2} \cdot 2}$

解题步骤 3.4.3.2

约去公因数。

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解题步骤 3.4.3.2.1

从 $e^{2} \cdot 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (((e^{2} + 1) (e^{2} - 1)) \cdot 1)}{2 \cdot e^{2}}$

解题步骤 3.4.3.2.2

约去公因数。

$\frac{2 (((e^{2} + 1) (e^{2} - 1)) \cdot 1)}{2 \cdot e^{2}}$

解题步骤 3.4.3.2.3

重写表达式。

$\frac{((e^{2} + 1) (e^{2} - 1)) \cdot 1}{e^{2}}$

解题步骤 3.4.4

将 $e^{2} + 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{(e^{2} + 1) (e^{2} - 1)}{e^{2}}$

解题步骤 3.5

化简分子。

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解题步骤 3.5.1

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$\frac{(e^{2} + 1) (e^{2} - 1^{2})}{e^{2}}$

解题步骤 3.5.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = e$ 和 $b = 1$ 。

$\frac{(e^{2} + 1) (e + 1) (e - 1)}{e^{2}}$

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