初级微积分示例

$f (t) = t^{- 3}$ ;, $(\frac{1}{2}, 8)$

解题步骤 1

将 $f (t) = t^{- 3}$ 写为等式。

$y = t^{- 3}$

解题步骤 2

运用平均变化率公式代入。

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解题步骤 2.1

函数的平均变化率可通过计算两点的 $y$ 的变化值除以两点的 $t$ 变化值来求得。

$\frac{f (8) - f (\frac{1}{2})}{(8) - (\frac{1}{2})}$

解题步骤 2.2

代入 $f (8)$ 和 $f (\frac{1}{2})$ 的方程 $y = t^{- 3}$ 中，用对应的 $t$ 值替换函数中的 $t$ 。

$\frac{({(8)}^{- 3}) - ({(\frac{1}{2})}^{- 3})}{(8) - (\frac{1}{2})}$

解题步骤 3

化简表达式。

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解题步骤 3.1

将分数的分子和分母乘以 $2$ 。

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解题步骤 3.1.1

将 $\frac{8^{- 3} - {(\frac{1}{2})}^{- 3}}{8 - \frac{1}{2}}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{2}{2} \cdot \frac{8^{- 3} - {(\frac{1}{2})}^{- 3}}{8 - \frac{1}{2}}$

解题步骤 3.1.2

合并。

$\frac{2 (8^{- 3} - {(\frac{1}{2})}^{- 3})}{2 (8 - \frac{1}{2})}$

解题步骤 3.2

运用分配律。

$\frac{2 \cdot 8^{- 3} + 2 (- {(\frac{1}{2})}^{- 3})}{2 \cdot 8 + 2 (- \frac{1}{2})}$

解题步骤 3.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.1

将 $- \frac{1}{2}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{2 \cdot 8^{- 3} + 2 (- {(\frac{1}{2})}^{- 3})}{2 \cdot 8 + 2 (\frac{- 1}{2})}$

解题步骤 3.3.2

约去公因数。

$\frac{2 \cdot 8^{- 3} + 2 (- {(\frac{1}{2})}^{- 3})}{2 \cdot 8 + 2 (\frac{- 1}{2})}$

解题步骤 3.3.3

重写表达式。

$\frac{2 \cdot 8^{- 3} + 2 (- {(\frac{1}{2})}^{- 3})}{2 \cdot 8 - 1}$

解题步骤 3.4

化简分子。

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解题步骤 3.4.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$\frac{2 \cdot \frac{1}{8^{3}} + 2 (- {(\frac{1}{2})}^{- 3})}{2 \cdot 8 - 1}$

解题步骤 3.4.2

对 $8$ 进行 $3$ 次方运算。

$\frac{2 \cdot \frac{1}{512} + 2 (- {(\frac{1}{2})}^{- 3})}{2 \cdot 8 - 1}$

解题步骤 3.4.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.4.3.1

从 $512$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 \cdot \frac{1}{2 (256)} + 2 (- {(\frac{1}{2})}^{- 3})}{2 \cdot 8 - 1}$

解题步骤 3.4.3.2

约去公因数。

$\frac{2 \cdot \frac{1}{2 \cdot 256} + 2 (- {(\frac{1}{2})}^{- 3})}{2 \cdot 8 - 1}$

解题步骤 3.4.3.3

重写表达式。

$\frac{\frac{1}{256} + 2 (- {(\frac{1}{2})}^{- 3})}{2 \cdot 8 - 1}$

解题步骤 3.4.4

通过将底数重写为其倒数的方式改变指数的符号。

$\frac{\frac{1}{256} + 2 (- 2^{3})}{2 \cdot 8 - 1}$

解题步骤 3.4.5

通过指数相加将 $2$ 乘以 $2^{3}$ 。

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解题步骤 3.4.5.1

移动 $2^{3}$ 。

$\frac{\frac{1}{256} + 2^{3} \cdot 2 \cdot - 1}{2 \cdot 8 - 1}$

解题步骤 3.4.5.2

将 $2^{3}$ 乘以 $2$ 。

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解题步骤 3.4.5.2.1

对 $2$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\frac{1}{256} + 2^{3} \cdot 2^{1} \cdot - 1}{2 \cdot 8 - 1}$

解题步骤 3.4.5.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{\frac{1}{256} + 2^{3 + 1} \cdot - 1}{2 \cdot 8 - 1}$

解题步骤 3.4.5.3

将 $3$ 和 $1$ 相加。

$\frac{\frac{1}{256} + 2^{4} \cdot - 1}{2 \cdot 8 - 1}$

解题步骤 3.4.6

对 $2$ 进行 $4$ 次方运算。

$\frac{\frac{1}{256} + 16 \cdot - 1}{2 \cdot 8 - 1}$

解题步骤 3.4.7

将 $16$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{\frac{1}{256} - 16}{2 \cdot 8 - 1}$

解题步骤 3.4.8

要将 $- 16$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{256}{256}$ 。

$\frac{\frac{1}{256} - 16 \cdot \frac{256}{256}}{2 \cdot 8 - 1}$

解题步骤 3.4.9

组合 $- 16$ 和 $\frac{256}{256}$ 。

$\frac{\frac{1}{256} + \frac{- 16 \cdot 256}{256}}{2 \cdot 8 - 1}$

解题步骤 3.4.10

在公分母上合并分子。

$\frac{\frac{1 - 16 \cdot 256}{256}}{2 \cdot 8 - 1}$

解题步骤 3.4.11

化简分子。

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解题步骤 3.4.11.1

将 $- 16$ 乘以 $256$ 。

$\frac{\frac{1 - 4096}{256}}{2 \cdot 8 - 1}$

解题步骤 3.4.11.2

从 $1$ 中减去 $4096$ 。

$\frac{\frac{- 4095}{256}}{2 \cdot 8 - 1}$

解题步骤 3.4.12

将负号移到分数的前面。

$\frac{- \frac{4095}{256}}{2 \cdot 8 - 1}$

解题步骤 3.5

化简分母。

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解题步骤 3.5.1

将 $2$ 乘以 $8$ 。

$\frac{- \frac{4095}{256}}{16 - 1}$

解题步骤 3.5.2

从 $16$ 中减去 $1$ 。

$\frac{- \frac{4095}{256}}{15}$

解题步骤 3.6

将分子乘以分母的倒数。

$- \frac{4095}{256} \cdot \frac{1}{15}$

解题步骤 3.7

约去 $15$ 的公因数。

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解题步骤 3.7.1

将 $- \frac{4095}{256}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{- 4095}{256} \cdot \frac{1}{15}$

解题步骤 3.7.2

从 $- 4095$ 中分解出因数 $15$ 。

$\frac{15 (- 273)}{256} \cdot \frac{1}{15}$

解题步骤 3.7.3

约去公因数。

$\frac{15 \cdot - 273}{256} \cdot \frac{1}{15}$

解题步骤 3.7.4

重写表达式。

$\frac{- 273}{256}$

解题步骤 3.8

将负号移到分数的前面。

$- \frac{273}{256}$

初级微积分 示例

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