初级微积分示例

$f (x) = \frac{3}{x^{3}}$

解题步骤 1

考虑差商公式。

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

解题步骤 2

求定义的补集。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

计算函数在 $x = x + h$ 处的值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1.1

使用表达式中的 $x + h$ 替换变量 $x$ 。

$f (x + h) = \frac{3}{{(x + h)}^{3}}$

解题步骤 2.1.2

最终答案为 $\frac{3}{{(x + h)}^{3}}$ 。

$\frac{3}{{(x + h)}^{3}}$

解题步骤 2.2

求定义的补集。

$f (x + h) = \frac{3}{{(x + h)}^{3}}$

$f (x) = \frac{3}{x^{3}}$

$f (x + h) = \frac{3}{{(x + h)}^{3}}$

$f (x) = \frac{3}{x^{3}}$

解题步骤 3

插入分量。

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{\frac{3}{{(x + h)}^{3}} - (\frac{3}{x^{3}})}{h}$

解题步骤 4

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.1

要将 $\frac{3}{{(x + h)}^{3}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x^{3}}{x^{3}}$ 。

$\frac{\frac{3}{{(x + h)}^{3}} \cdot \frac{x^{3}}{x^{3}} - \frac{3}{x^{3}}}{h}$

解题步骤 4.1.2

要将 $- \frac{3}{x^{3}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{{(x + h)}^{3}}{{(x + h)}^{3}}$ 。

$\frac{\frac{3}{{(x + h)}^{3}} \cdot \frac{x^{3}}{x^{3}} - \frac{3}{x^{3}} \cdot \frac{{(x + h)}^{3}}{{(x + h)}^{3}}}{h}$

解题步骤 4.1.3

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 ${(x + h)}^{3} x^{3}$ 的形式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.3.1

将 $\frac{3}{{(x + h)}^{3}}$ 乘以 $\frac{x^{3}}{x^{3}}$ 。

$\frac{\frac{3 x^{3}}{{(x + h)}^{3} x^{3}} - \frac{3}{x^{3}} \cdot \frac{{(x + h)}^{3}}{{(x + h)}^{3}}}{h}$

解题步骤 4.1.3.2

将 $\frac{3}{x^{3}}$ 乘以 $\frac{{(x + h)}^{3}}{{(x + h)}^{3}}$ 。

$\frac{\frac{3 x^{3}}{{(x + h)}^{3} x^{3}} - \frac{3 {(x + h)}^{3}}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

解题步骤 4.1.3.3

重新排序 ${(x + h)}^{3} x^{3}$ 的因式。

$\frac{\frac{3 x^{3}}{x^{3} {(x + h)}^{3}} - \frac{3 {(x + h)}^{3}}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

解题步骤 4.1.4

在公分母上合并分子。

$\frac{\frac{3 x^{3} - 3 {(x + h)}^{3}}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

解题步骤 4.1.5

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.5.1

从 $3 x^{3} - 3 {(x + h)}^{3}$ 中分解出因数 $3$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.5.1.1

从 $3 x^{3}$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{\frac{3 (x^{3}) - 3 {(x + h)}^{3}}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

解题步骤 4.1.5.1.2

从 $- 3 {(x + h)}^{3}$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{\frac{3 (x^{3}) + 3 (- {(x + h)}^{3})}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

解题步骤 4.1.5.1.3

从 $3 (x^{3}) + 3 (- {(x + h)}^{3})$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{\frac{3 (x^{3} - {(x + h)}^{3})}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

解题步骤 4.1.5.2

因为两项都是完全立方数，所以使用立方差公式 $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = x + h$ 。

$\frac{\frac{3 ((x - (x + h)) (x^{2} + x (x + h) + {(x + h)}^{2}))}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

解题步骤 4.1.5.3

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.5.3.1

运用分配律。

$\frac{\frac{3 ((x - x - h) (x^{2} + x (x + h) + {(x + h)}^{2}))}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

解题步骤 4.1.5.3.2

从 $x$ 中减去 $x$ 。

$\frac{\frac{3 ((0 - h) (x^{2} + x (x + h) + {(x + h)}^{2}))}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

解题步骤 4.1.5.3.3

从 $0$ 中减去 $h$ 。

$\frac{\frac{3 (- h (x^{2} + x (x + h) + {(x + h)}^{2}))}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

解题步骤 4.1.5.3.4

运用分配律。

$\frac{\frac{3 (- h (x^{2} + x \cdot x + x h + {(x + h)}^{2}))}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

解题步骤 4.1.5.3.5

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{\frac{3 (- h (x^{2} + x^{2} + x h + {(x + h)}^{2}))}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

解题步骤 4.1.5.3.6

将 ${(x + h)}^{2}$ 重写为 $(x + h) (x + h)$ 。

$\frac{\frac{3 (- h (x^{2} + x^{2} + x h + (x + h) (x + h)))}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

解题步骤 4.1.5.3.7

使用 FOIL 方法展开 $(x + h) (x + h)$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.5.3.7.1

运用分配律。

$\frac{\frac{3 (- h (x^{2} + x^{2} + x (h) + x (x + h) + h (x + h)))}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

解题步骤 4.1.5.3.7.2

运用分配律。

$\frac{\frac{3 (- h (x^{2} + x^{2} + x (h) + x \cdot x + x (h) + h (x + h)))}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

解题步骤 4.1.5.3.7.3

运用分配律。

$\frac{\frac{3 (- h (x^{2} + x^{2} + x h + x \cdot x + x h + h x + h \cdot h))}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

解题步骤 4.1.5.3.8

化简并合并同类项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.5.3.8.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.5.3.8.1.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{\frac{3 (- h (x^{2} + x^{2} + x h + x^{2} + x h + h x + h \cdot h))}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

解题步骤 4.1.5.3.8.1.2

将 $h$ 乘以 $h$ 。

$\frac{\frac{3 (- h (x^{2} + x^{2} + x h + x^{2} + x h + h x + h^{2}))}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

解题步骤 4.1.5.3.8.2

将 $x h$ 和 $h x$ 相加。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.5.3.8.2.1

将 $h$ 和 $x$ 重新排序。

$\frac{\frac{3 (- h (x^{2} + x^{2} + x h + x^{2} + x h + x h + h^{2}))}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

解题步骤 4.1.5.3.8.2.2

将 $x h$ 和 $x h$ 相加。

$\frac{\frac{3 (- h (x^{2} + x^{2} + x h + x^{2} + 2 x h + h^{2}))}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

解题步骤 4.1.5.3.9

将 $x^{2}$ 和 $x^{2}$ 相加。

$\frac{\frac{3 (- h (2 x^{2} + x h + x^{2} + 2 x h + h^{2}))}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

解题步骤 4.1.5.3.10

将 $2 x^{2}$ 和 $x^{2}$ 相加。

$\frac{\frac{3 (- h (3 x^{2} + x h + 2 x h + h^{2}))}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

解题步骤 4.1.5.3.11

将 $x h$ 和 $2 x h$ 相加。

$\frac{\frac{3 (- h (3 x^{2} + 3 x h + h^{2}))}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

$\frac{\frac{3 \cdot - 1 h (3 x^{2} + 3 x h + h^{2})}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

解题步骤 4.1.5.4

合并指数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.5.4.1

提取负因数。

$\frac{\frac{- (3 h (3 x^{2} + 3 x h + h^{2}))}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

解题步骤 4.1.5.4.2

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{\frac{- 3 (h (3 x^{2} + 3 x h + h^{2}))}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

$\frac{\frac{- 3 h (3 x^{2} + 3 x h + h^{2})}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

解题步骤 4.1.6

将负号移到分数的前面。

$\frac{- \frac{3 h (3 x^{2} + 3 x h + h^{2})}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

解题步骤 4.2

将分子乘以分母的倒数。

$- \frac{3 h (3 x^{2} + 3 x h + h^{2})}{x^{3} {(x + h)}^{3}} \cdot \frac{1}{h}$

解题步骤 4.3

约去 $h$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.1

将 $- \frac{3 h (3 x^{2} + 3 x h + h^{2})}{x^{3} {(x + h)}^{3}}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{- 3 h (3 x^{2} + 3 x h + h^{2})}{x^{3} {(x + h)}^{3}} \cdot \frac{1}{h}$

解题步骤 4.3.2

从 $- 3 h (3 x^{2} + 3 x h + h^{2})$ 中分解出因数 $h$ 。

$\frac{h (- 3 (3 x^{2} + 3 x h + h^{2}))}{x^{3} {(x + h)}^{3}} \cdot \frac{1}{h}$

解题步骤 4.3.3

约去公因数。

$\frac{h (- 3 (3 x^{2} + 3 x h + h^{2}))}{x^{3} {(x + h)}^{3}} \cdot \frac{1}{h}$

解题步骤 4.3.4

重写表达式。

$\frac{- 3 (3 x^{2} + 3 x h + h^{2})}{x^{3} {(x + h)}^{3}}$

解题步骤 4.4

将负号移到分数的前面。

$- \frac{3 (3 x^{2} + 3 x h + h^{2})}{x^{3} {(x + h)}^{3}}$

解题步骤 5

初级微积分 示例

初级微积分示例