初级微积分示例

$B (t) = 8500 \cdot {(\frac{8}{27})}^{\frac{t}{3}}$

解题步骤 1

考虑差商公式。

$\frac{f (t + h) - f t}{h}$

解题步骤 2

求定义的补集。

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解题步骤 2.1

计算函数在 $x = t + h$ 处的值。

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解题步骤 2.1.1

使用表达式中的 $t + h$ 替换变量 $t$ 。

$B (t + h) = 8500 \cdot {(\frac{8}{27})}^{\frac{t + h}{3}}$

解题步骤 2.1.2

化简结果。

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解题步骤 2.1.2.1

对 $\frac{8}{27}$ 运用乘积法则。

$B (t + h) = 8500 \cdot \frac{8^{\frac{t + h}{3}}}{27^{\frac{t + h}{3}}}$

解题步骤 2.1.2.2

组合 $8500$ 和 $\frac{8^{\frac{t + h}{3}}}{27^{\frac{t + h}{3}}}$ 。

$B (t + h) = \frac{8500 \cdot 8^{\frac{t + h}{3}}}{27^{\frac{t + h}{3}}}$

解题步骤 2.1.2.3

最终答案为 $\frac{8500 \cdot 8^{\frac{t + h}{3}}}{27^{\frac{t + h}{3}}}$ 。

$\frac{8500 \cdot 8^{\frac{t + h}{3}}}{27^{\frac{t + h}{3}}}$

解题步骤 2.2

求定义的补集。

$B (t + h) = \frac{8500 \cdot 8^{\frac{t + h}{3}}}{27^{\frac{t + h}{3}}}$

$B (t) = \frac{8500 \cdot 8^{\frac{t}{3}}}{27^{\frac{t}{3}}}$

$B (t + h) = \frac{8500 \cdot 8^{\frac{t + h}{3}}}{27^{\frac{t + h}{3}}}$

$B (t) = \frac{8500 \cdot 8^{\frac{t}{3}}}{27^{\frac{t}{3}}}$

解题步骤 3

插入分量。

$\frac{B (t + h) - B t}{h} = \frac{\frac{8500 \cdot 8^{\frac{t + h}{3}}}{27^{\frac{t + h}{3}}} - (\frac{8500 \cdot 8^{\frac{t}{3}}}{27^{\frac{t}{3}}})}{h}$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

化简分子。

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解题步骤 4.1.1

要将 $\frac{8500 \cdot 8^{\frac{t + h}{3}}}{27^{\frac{t + h}{3}}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{27^{\frac{t}{3}}}{27^{\frac{t}{3}}}$ 。

$\frac{\frac{8500 \cdot 8^{\frac{t + h}{3}}}{27^{\frac{t + h}{3}}} \cdot \frac{27^{\frac{t}{3}}}{27^{\frac{t}{3}}} - \frac{8500 \cdot 8^{\frac{t}{3}}}{27^{\frac{t}{3}}}}{h}$

解题步骤 4.1.2

要将 $- \frac{8500 \cdot 8^{\frac{t}{3}}}{27^{\frac{t}{3}}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{27^{\frac{h}{3} + \frac{t}{3}}}{27^{\frac{h}{3} + \frac{t}{3}}}$ 。

$\frac{\frac{8500 \cdot 8^{\frac{t + h}{3}}}{27^{\frac{t + h}{3}}} \cdot \frac{27^{\frac{t}{3}}}{27^{\frac{t}{3}}} - \frac{8500 \cdot 8^{\frac{t}{3}}}{27^{\frac{t}{3}}} \cdot \frac{27^{\frac{h}{3} + \frac{t}{3}}}{27^{\frac{h}{3} + \frac{t}{3}}}}{h}$

解题步骤 4.1.3

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $27^{\frac{t + h}{3}} \cdot 27^{\frac{t}{3}}$ 的形式。

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解题步骤 4.1.3.1

将 $\frac{8500 \cdot 8^{\frac{t + h}{3}}}{27^{\frac{t + h}{3}}}$ 乘以 $\frac{27^{\frac{t}{3}}}{27^{\frac{t}{3}}}$ 。

$\frac{\frac{8500 \cdot 8^{\frac{t + h}{3}} \cdot 27^{\frac{t}{3}}}{27^{\frac{t + h}{3}} \cdot 27^{\frac{t}{3}}} - \frac{8500 \cdot 8^{\frac{t}{3}}}{27^{\frac{t}{3}}} \cdot \frac{27^{\frac{h}{3} + \frac{t}{3}}}{27^{\frac{h}{3} + \frac{t}{3}}}}{h}$

解题步骤 4.1.3.2

通过指数相加将 $27^{\frac{t + h}{3}}$ 乘以 $27^{\frac{t}{3}}$ 。

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解题步骤 4.1.3.2.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{\frac{8500 \cdot 8^{\frac{t + h}{3}} \cdot 27^{\frac{t}{3}}}{27^{\frac{t + h}{3} + \frac{t}{3}}} - \frac{8500 \cdot 8^{\frac{t}{3}}}{27^{\frac{t}{3}}} \cdot \frac{27^{\frac{h}{3} + \frac{t}{3}}}{27^{\frac{h}{3} + \frac{t}{3}}}}{h}$

解题步骤 4.1.3.2.2

在公分母上合并分子。

$\frac{\frac{8500 \cdot 8^{\frac{t + h}{3}} \cdot 27^{\frac{t}{3}}}{27^{\frac{t + h + t}{3}}} - \frac{8500 \cdot 8^{\frac{t}{3}}}{27^{\frac{t}{3}}} \cdot \frac{27^{\frac{h}{3} + \frac{t}{3}}}{27^{\frac{h}{3} + \frac{t}{3}}}}{h}$

解题步骤 4.1.3.2.3

将 $t$ 和 $t$ 相加。

$\frac{\frac{8500 \cdot 8^{\frac{t + h}{3}} \cdot 27^{\frac{t}{3}}}{27^{\frac{2 t + h}{3}}} - \frac{8500 \cdot 8^{\frac{t}{3}}}{27^{\frac{t}{3}}} \cdot \frac{27^{\frac{h}{3} + \frac{t}{3}}}{27^{\frac{h}{3} + \frac{t}{3}}}}{h}$

解题步骤 4.1.3.3

将 $\frac{8500 \cdot 8^{\frac{t}{3}}}{27^{\frac{t}{3}}}$ 乘以 $\frac{27^{\frac{h}{3} + \frac{t}{3}}}{27^{\frac{h}{3} + \frac{t}{3}}}$ 。

$\frac{\frac{8500 \cdot 8^{\frac{t + h}{3}} \cdot 27^{\frac{t}{3}}}{27^{\frac{2 t + h}{3}}} - \frac{8500 \cdot 8^{\frac{t}{3}} \cdot 27^{\frac{h}{3} + \frac{t}{3}}}{27^{\frac{t}{3}} \cdot 27^{\frac{h}{3} + \frac{t}{3}}}}{h}$

解题步骤 4.1.3.4

通过指数相加将 $27^{\frac{t}{3}}$ 乘以 $27^{\frac{h}{3} + \frac{t}{3}}$ 。

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解题步骤 4.1.3.4.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

解题步骤 4.1.3.4.2

在公分母上合并分子。

$\frac{\frac{8500 \cdot 8^{\frac{t + h}{3}} \cdot 27^{\frac{t}{3}}}{27^{\frac{2 t + h}{3}}} - \frac{8500 \cdot 8^{\frac{t}{3}} \cdot 27^{\frac{h}{3} + \frac{t}{3}}}{27^{\frac{t + h + t}{3}}}}{h}$

解题步骤 4.1.3.4.3

将 $t$ 和 $t$ 相加。

$\frac{\frac{8500 \cdot 8^{\frac{t + h}{3}} \cdot 27^{\frac{t}{3}}}{27^{\frac{2 t + h}{3}}} - \frac{8500 \cdot 8^{\frac{t}{3}} \cdot 27^{\frac{h}{3} + \frac{t}{3}}}{27^{\frac{2 t + h}{3}}}}{h}$

解题步骤 4.1.4

在公分母上合并分子。

$\frac{\frac{8500 \cdot 8^{\frac{t + h}{3}} \cdot 27^{\frac{t}{3}} - 8500 \cdot 8^{\frac{t}{3}} \cdot 27^{\frac{h}{3} + \frac{t}{3}}}{27^{\frac{2 t + h}{3}}}}{h}$

解题步骤 4.1.5

从 $8500 \cdot 8^{\frac{t + h}{3}} \cdot 27^{\frac{t}{3}} - 8500 \cdot 8^{\frac{t}{3}} \cdot 27^{\frac{h}{3} + \frac{t}{3}}$ 中分解出因数 $8500$ 。

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解题步骤 4.1.5.1

从 $8500 \cdot 8^{\frac{t + h}{3}} \cdot 27^{\frac{t}{3}}$ 中分解出因数 $8500$ 。

$\frac{\frac{8500 (8^{\frac{t + h}{3}} \cdot 27^{\frac{t}{3}}) - 8500 \cdot 8^{\frac{t}{3}} \cdot 27^{\frac{h}{3} + \frac{t}{3}}}{27^{\frac{2 t + h}{3}}}}{h}$

解题步骤 4.1.5.2

从 $- 8500 \cdot 8^{\frac{t}{3}} \cdot 27^{\frac{h}{3} + \frac{t}{3}}$ 中分解出因数 $8500$ 。

$\frac{\frac{8500 (8^{\frac{t + h}{3}} \cdot 27^{\frac{t}{3}}) + 8500 (- 8^{\frac{t}{3}} \cdot 27^{\frac{h}{3} + \frac{t}{3}})}{27^{\frac{2 t + h}{3}}}}{h}$

解题步骤 4.1.5.3

从 $8500 (8^{\frac{t + h}{3}} \cdot 27^{\frac{t}{3}}) + 8500 (- 8^{\frac{t}{3}} \cdot 27^{\frac{h}{3} + \frac{t}{3}})$ 中分解出因数 $8500$ 。

$\frac{\frac{8500 (8^{\frac{t + h}{3}} \cdot 27^{\frac{t}{3}} - 8^{\frac{t}{3}} \cdot 27^{\frac{h}{3} + \frac{t}{3}})}{27^{\frac{2 t + h}{3}}}}{h}$

解题步骤 4.1.6

化简分子。

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解题步骤 4.1.6.1

在公分母上合并分子。

$\frac{\frac{8500 (8^{\frac{t + h}{3}} \cdot 27^{\frac{t}{3}} - 8^{\frac{t}{3}} \cdot 27^{\frac{h + t}{3}})}{27^{\frac{2 t + h}{3}}}}{h}$

解题步骤 4.1.6.2

将 $h$ 和 $t$ 重新排序。

$\frac{\frac{8500 (8^{\frac{t + h}{3}} \cdot 27^{\frac{t}{3}} - 8^{\frac{t}{3}} \cdot 27^{\frac{t + h}{3}})}{27^{\frac{2 t + h}{3}}}}{h}$

解题步骤 4.2

将分子乘以分母的倒数。

$\frac{8500 (8^{\frac{t + h}{3}} \cdot 27^{\frac{t}{3}} - 8^{\frac{t}{3}} \cdot 27^{\frac{t + h}{3}})}{27^{\frac{2 t + h}{3}}} \cdot \frac{1}{h}$

解题步骤 4.3

合并。

$\frac{8500 (8^{\frac{t + h}{3}} \cdot 27^{\frac{t}{3}} - 8^{\frac{t}{3}} \cdot 27^{\frac{t + h}{3}}) \cdot 1}{27^{\frac{2 t + h}{3}} h}$

解题步骤 4.4

化简表达式。

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解题步骤 4.4.1

将 $8500$ 乘以 $1$ 。

$\frac{8500 (8^{\frac{t + h}{3}} \cdot 27^{\frac{t}{3}} - 8^{\frac{t}{3}} \cdot 27^{\frac{t + h}{3}})}{27^{\frac{2 t + h}{3}} h}$

解题步骤 4.4.2

将 $\frac{8500 (8^{\frac{t + h}{3}} \cdot 27^{\frac{t}{3}} - 8^{\frac{t}{3}} \cdot 27^{\frac{t + h}{3}})}{27^{\frac{2 t + h}{3}} h}$ 中的因式重新排序。

$\frac{8500 (8^{\frac{t + h}{3}} \cdot 27^{\frac{t}{3}} - 8^{\frac{t}{3}} \cdot 27^{\frac{t + h}{3}})}{h \cdot 27^{\frac{2 t + h}{3}}}$

解题步骤 5

初级微积分 示例

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