初级微积分示例

$f (x) = \frac{\sqrt{x^{2} - 1}}{x}$ , $1 \leq x \leq 3$

解题步骤 1

将 $f (x) = \frac{\sqrt{x^{2} - 1}}{x}$ 写为等式。

$y = \frac{\sqrt{x^{2} - 1}}{x}$

解题步骤 2

运用平均变化率公式代入。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

函数的平均变化率可通过计算两点的 $y$ 的变化值除以两点的 $x$ 变化值来求得。

$\frac{f (3) - f (1)}{(3) - (1)}$

解题步骤 2.2

代入 $f (3)$ 和 $f (1)$ 的方程 $y = \frac{\sqrt{x^{2} - 1}}{x}$ 中，用对应的 $x$ 值替换函数中的 $x$ 。

$\frac{(\frac{\sqrt{{(3)}^{2} - 1}}{3}) - (\frac{\sqrt{{(1)}^{2} - 1}}{1})}{(3) - (1)}$

解题步骤 3

化简表达式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1

用 $\sqrt{{(1)}^{2} - 1}$ 除以 $1$ 。

$\frac{\frac{\sqrt{{(3)}^{2} - 1}}{3} - \sqrt{{(1)}^{2} - 1}}{(3) - (1)}$

解题步骤 3.2

将分数的分子和分母乘以 $3$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.2.1

将 $\frac{\frac{\sqrt{3^{2} - 1}}{3} - \sqrt{1^{2} - 1}}{3 - (1)}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{3}{3} \cdot \frac{\frac{\sqrt{3^{2} - 1}}{3} - \sqrt{1^{2} - 1}}{3 - (1)}$

解题步骤 3.2.2

合并。

$\frac{3 (\frac{\sqrt{3^{2} - 1}}{3} - \sqrt{1^{2} - 1})}{3 (3 - (1))}$

解题步骤 3.3

运用分配律。

$\frac{3 \frac{\sqrt{3^{2} - 1}}{3} + 3 (- \sqrt{1^{2} - 1})}{3 \cdot 3 + 3 (- (1))}$

解题步骤 3.4

约去 $3$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.4.1

约去公因数。

$\frac{3 \frac{\sqrt{3^{2} - 1}}{3} + 3 (- \sqrt{1^{2} - 1})}{3 \cdot 3 + 3 (- (1))}$

解题步骤 3.4.2

重写表达式。

$\frac{\sqrt{3^{2} - 1} + 3 (- \sqrt{1^{2} - 1})}{3 \cdot 3 + 3 (- (1))}$

解题步骤 3.5

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.5.1

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{\sqrt{9 - 1} + 3 (- \sqrt{1^{2} - 1})}{3 \cdot 3 + 3 (- (1))}$

解题步骤 3.5.2

从 $9$ 中减去 $1$ 。

$\frac{\sqrt{8} + 3 (- \sqrt{1^{2} - 1})}{3 \cdot 3 + 3 (- (1))}$

解题步骤 3.5.3

将 $8$ 重写为 $2^{2} \cdot 2$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.5.3.1

从 $8$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{\sqrt{4 (2)} + 3 (- \sqrt{1^{2} - 1})}{3 \cdot 3 + 3 (- (1))}$

解题步骤 3.5.3.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$\frac{\sqrt{2^{2} \cdot 2} + 3 (- \sqrt{1^{2} - 1})}{3 \cdot 3 + 3 (- (1))}$

解题步骤 3.5.4

从根式下提出各项。

$\frac{2 \sqrt{2} + 3 (- \sqrt{1^{2} - 1})}{3 \cdot 3 + 3 (- (1))}$

解题步骤 3.5.5

一的任意次幂都为一。

$\frac{2 \sqrt{2} + 3 (- \sqrt{1 - 1})}{3 \cdot 3 + 3 (- (1))}$

解题步骤 3.5.6

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$\frac{2 \sqrt{2} + 3 (- \sqrt{0})}{3 \cdot 3 + 3 (- (1))}$

解题步骤 3.5.7

将 $0$ 重写为 $0^{2}$ 。

$\frac{2 \sqrt{2} + 3 (- \sqrt{0^{2}})}{3 \cdot 3 + 3 (- (1))}$

解题步骤 3.5.8

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\frac{2 \sqrt{2} + 3 (- 0)}{3 \cdot 3 + 3 (- (1))}$

解题步骤 3.5.9

乘以 $3 (- 0)$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.5.9.1

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$\frac{2 \sqrt{2} + 3 \cdot 0}{3 \cdot 3 + 3 (- (1))}$

解题步骤 3.5.9.2

将 $3$ 乘以 $0$ 。

$\frac{2 \sqrt{2} + 0}{3 \cdot 3 + 3 (- (1))}$

解题步骤 3.5.10

将 $2 \sqrt{2}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{2 \sqrt{2}}{3 \cdot 3 + 3 (- (1))}$

解题步骤 3.6

化简分母。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.6.1

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$\frac{2 \sqrt{2}}{9 + 3 (- (1))}$

解题步骤 3.6.2

乘以 $3 (- (1))$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.6.2.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{2 \sqrt{2}}{9 + 3 \cdot - 1}$

解题步骤 3.6.2.2

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{2 \sqrt{2}}{9 - 3}$

解题步骤 3.6.3

从 $9$ 中减去 $3$ 。

$\frac{2 \sqrt{2}}{6}$

解题步骤 3.7

约去 $2$ 和 $6$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.7.1

从 $2 \sqrt{2}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (\sqrt{2})}{6}$

解题步骤 3.7.2

约去公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.7.2.1

从 $6$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 \sqrt{2}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 3.7.2.2

约去公因数。

$\frac{2 \sqrt{2}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 3.7.2.3

重写表达式。

$\frac{\sqrt{2}}{3}$

解题步骤 4

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{\sqrt{2}}{3}$

小数形式：

$0.47140452 \dots$

初级微积分 示例

初级微积分示例