初级微积分示例

$y = {(x + 2)}^{2}$

解题步骤 1

将 $y = {(x + 2)}^{2}$ 书写为一个函数。

$f (x) = {(x + 2)}^{2}$

解题步骤 2

考虑差商公式。

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

解题步骤 3

求定义的补集。

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解题步骤 3.1

计算函数在 $x = x + h$ 处的值。

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解题步骤 3.1.1

使用表达式中的 $x + h$ 替换变量 $x$ 。

$f (x + h) = {((x + h) + 2)}^{2}$

解题步骤 3.1.2

化简结果。

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解题步骤 3.1.2.1

将 ${(x + h + 2)}^{2}$ 重写为 $(x + h + 2) (x + h + 2)$ 。

$f (x + h) = (x + h + 2) (x + h + 2)$

解题步骤 3.1.2.2

将第一个表达式中的每一项与第二个表达式中的每一项相乘来展开 $(x + h + 2) (x + h + 2)$ 。

$f (x + h) = x \cdot x + x h + x \cdot 2 + h x + h \cdot h + h \cdot 2 + 2 x + 2 h + 2 \cdot 2$

解题步骤 3.1.2.3

化简每一项。

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解题步骤 3.1.2.3.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$f (x + h) = x^{2} + x h + x \cdot 2 + h x + h \cdot h + h \cdot 2 + 2 x + 2 h + 2 \cdot 2$

解题步骤 3.1.2.3.2

将 $2$ 移到 $x$ 的左侧。

$f (x + h) = x^{2} + x h + 2 \cdot x + h x + h \cdot h + h \cdot 2 + 2 x + 2 h + 2 \cdot 2$

解题步骤 3.1.2.3.3

将 $h$ 乘以 $h$ 。

$f (x + h) = x^{2} + x h + 2 x + h x + h^{2} + h \cdot 2 + 2 x + 2 h + 2 \cdot 2$

解题步骤 3.1.2.3.4

将 $2$ 移到 $h$ 的左侧。

$f (x + h) = x^{2} + x h + 2 x + h x + h^{2} + 2 \cdot h + 2 x + 2 h + 2 \cdot 2$

解题步骤 3.1.2.3.5

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$f (x + h) = x^{2} + x h + 2 x + h x + h^{2} + 2 h + 2 x + 2 h + 4$

解题步骤 3.1.2.4

将 $x h$ 和 $h x$ 相加。

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解题步骤 3.1.2.4.1

将 $x$ 和 $h$ 重新排序。

$f (x + h) = x^{2} + h x + h x + 2 x + h^{2} + 2 h + 2 x + 2 h + 4$

解题步骤 3.1.2.4.2

将 $h x$ 和 $h x$ 相加。

$f (x + h) = x^{2} + 2 h x + 2 x + h^{2} + 2 h + 2 x + 2 h + 4$

解题步骤 3.1.2.5

将 $2 x$ 和 $2 x$ 相加。

$f (x + h) = x^{2} + 2 h x + h^{2} + 2 h + 4 x + 2 h + 4$

解题步骤 3.1.2.6

将 $2 h$ 和 $2 h$ 相加。

$f (x + h) = x^{2} + 2 h x + h^{2} + 4 h + 4 x + 4$

解题步骤 3.1.2.7

最终答案为 $x^{2} + 2 h x + h^{2} + 4 h + 4 x + 4$ 。

$x^{2} + 2 h x + h^{2} + 4 h + 4 x + 4$

解题步骤 3.2

重新排序。

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解题步骤 3.2.1

移动 $x^{2}$ 。

$2 h x + h^{2} + x^{2} + 4 h + 4 x + 4$

解题步骤 3.2.2

将 $2 h x$ 和 $h^{2}$ 重新排序。

$h^{2} + 2 h x + x^{2} + 4 h + 4 x + 4$

解题步骤 3.3

求定义的补集。

$f (x + h) = h^{2} + 2 h x + x^{2} + 4 h + 4 x + 4$

$f (x) = x^{2} + 4 x + 4$

$f (x + h) = h^{2} + 2 h x + x^{2} + 4 h + 4 x + 4$

$f (x) = x^{2} + 4 x + 4$

解题步骤 4

插入分量。

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{h^{2} + 2 h x + x^{2} + 4 h + 4 x + 4 - (x^{2} + 4 x + 4)}{h}$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

化简分子。

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解题步骤 5.1.1

运用分配律。

$\frac{h^{2} + 2 h x + x^{2} + 4 h + 4 x + 4 - x^{2} - (4 x) - 1 \cdot 4}{h}$

解题步骤 5.1.2

化简。

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解题步骤 5.1.2.1

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{h^{2} + 2 h x + x^{2} + 4 h + 4 x + 4 - x^{2} - 4 x - 1 \cdot 4}{h}$

解题步骤 5.1.2.2

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$\frac{h^{2} + 2 h x + x^{2} + 4 h + 4 x + 4 - x^{2} - 4 x - 4}{h}$

解题步骤 5.1.3

从 $x^{2}$ 中减去 $x^{2}$ 。

$\frac{h^{2} + 2 h x + 4 h + 4 x + 4 + 0 - 4 x - 4}{h}$

解题步骤 5.1.4

将 $h^{2}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{h^{2} + 2 h x + 4 h + 4 x + 4 - 4 x - 4}{h}$

解题步骤 5.1.5

从 $4 x$ 中减去 $4 x$ 。

$\frac{h^{2} + 2 h x + 4 h + 0 + 4 - 4}{h}$

解题步骤 5.1.6

将 $h^{2}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{h^{2} + 2 h x + 4 h + 4 - 4}{h}$

解题步骤 5.1.7

从 $4$ 中减去 $4$ 。

$\frac{h^{2} + 2 h x + 4 h + 0}{h}$

解题步骤 5.1.8

将 $h^{2} + 2 h x + 4 h$ 和 $0$ 相加。

$\frac{h^{2} + 2 h x + 4 h}{h}$

解题步骤 5.1.9

从 $h^{2} + 2 h x + 4 h$ 中分解出因数 $h$ 。

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解题步骤 5.1.9.1

从 $h^{2}$ 中分解出因数 $h$ 。

$\frac{h \cdot h + 2 h x + 4 h}{h}$

解题步骤 5.1.9.2

从 $2 h x$ 中分解出因数 $h$ 。

$\frac{h (h) + h (2 x) + 4 h}{h}$

解题步骤 5.1.9.3

从 $4 h$ 中分解出因数 $h$ 。

$\frac{h (h) + h (2 x) + h \cdot 4}{h}$

解题步骤 5.1.9.4

从 $h (h) + h (2 x)$ 中分解出因数 $h$ 。

$\frac{h (h + 2 x) + h \cdot 4}{h}$

解题步骤 5.1.9.5

从 $h (h + 2 x) + h \cdot 4$ 中分解出因数 $h$ 。

$\frac{h (h + 2 x + 4)}{h}$

解题步骤 5.2

通过约去公因数来化简表达式。

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解题步骤 5.2.1

约去 $h$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.1.1

约去公因数。

$\frac{h (h + 2 x + 4)}{h}$

解题步骤 5.2.1.2

用 $h + 2 x + 4$ 除以 $1$ 。

$h + 2 x + 4$

解题步骤 5.2.2

将 $h$ 和 $2 x$ 重新排序。

$2 x + h + 4$

解题步骤 6

初级微积分 示例

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