初级微积分示例

$f (x) = \frac{1}{x} - x^{2} - 2$ for $3 \leq x \leq 6$

解题步骤 1

将 $f (x) = \frac{1}{x} - x^{2} - 2$ 写为等式。

$y = \frac{1}{x} - x^{2} - 2$

解题步骤 2

运用平均变化率公式代入。

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解题步骤 2.1

函数的平均变化率可通过计算两点的 $y$ 的变化值除以两点的 $x$ 变化值来求得。

$\frac{f (6) - f (3)}{(6) - (3)}$

解题步骤 2.2

代入 $f (6)$ 和 $f (3)$ 的方程 $y = \frac{1}{x} - x^{2} - 2$ 中，用对应的 $x$ 值替换函数中的 $x$ 。

$\frac{(\frac{1}{6} - {(6)}^{2} - 2) - (\frac{1}{3} - {(3)}^{2} - 2)}{(6) - (3)}$

解题步骤 3

化简表达式。

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解题步骤 3.1

将分数的分子和分母乘以 $6$ 。

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解题步骤 3.1.1

将 $\frac{\frac{1}{6} - 6^{2} - 2 - (\frac{1}{3} - 3^{2} - 2)}{6 - (3)}$ 乘以 $\frac{6}{6}$ 。

$\frac{6}{6} \cdot \frac{\frac{1}{6} - 6^{2} - 2 - (\frac{1}{3} - 3^{2} - 2)}{6 - (3)}$

解题步骤 3.1.2

合并。

$\frac{6 (\frac{1}{6} - 6^{2} - 2 - (\frac{1}{3} - 3^{2} - 2))}{6 (6 - (3))}$

解题步骤 3.2

运用分配律。

$\frac{6 (\frac{1}{6}) + 6 (- 6^{2}) + 6 \cdot - 2 + 6 (- (\frac{1}{3} - 3^{2} - 2))}{6 \cdot 6 + 6 (- (3))}$

解题步骤 3.3

约去 $6$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.1

约去公因数。

$\frac{6 (\frac{1}{6}) + 6 (- 6^{2}) + 6 \cdot - 2 + 6 (- (\frac{1}{3} - 3^{2} - 2))}{6 \cdot 6 + 6 (- (3))}$

解题步骤 3.3.2

重写表达式。

$\frac{1 + 6 (- 6^{2}) + 6 \cdot - 2 + 6 (- (\frac{1}{3} - 3^{2} - 2))}{6 \cdot 6 + 6 (- (3))}$

解题步骤 3.4

化简分子。

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解题步骤 3.4.1

通过指数相加将 $6$ 乘以 $6^{2}$ 。

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解题步骤 3.4.1.1

移动 $6^{2}$ 。

$\frac{1 + 6^{2} \cdot 6 \cdot - 1 + 6 \cdot - 2 + 6 (- (\frac{1}{3} - 3^{2} - 2))}{6 \cdot 6 + 6 (- (3))}$

解题步骤 3.4.1.2

将 $6^{2}$ 乘以 $6$ 。

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解题步骤 3.4.1.2.1

对 $6$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{1 + 6^{2} \cdot 6^{1} \cdot - 1 + 6 \cdot - 2 + 6 (- (\frac{1}{3} - 3^{2} - 2))}{6 \cdot 6 + 6 (- (3))}$

解题步骤 3.4.1.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{1 + 6^{2 + 1} \cdot - 1 + 6 \cdot - 2 + 6 (- (\frac{1}{3} - 3^{2} - 2))}{6 \cdot 6 + 6 (- (3))}$

解题步骤 3.4.1.3

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$\frac{1 + 6^{3} \cdot - 1 + 6 \cdot - 2 + 6 (- (\frac{1}{3} - 3^{2} - 2))}{6 \cdot 6 + 6 (- (3))}$

解题步骤 3.4.2

对 $6$ 进行 $3$ 次方运算。

$\frac{1 + 216 \cdot - 1 + 6 \cdot - 2 + 6 (- (\frac{1}{3} - 3^{2} - 2))}{6 \cdot 6 + 6 (- (3))}$

解题步骤 3.4.3

将 $216$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{1 - 216 + 6 \cdot - 2 + 6 (- (\frac{1}{3} - 3^{2} - 2))}{6 \cdot 6 + 6 (- (3))}$

解题步骤 3.4.4

将 $6$ 乘以 $- 2$ 。

$\frac{1 - 216 - 12 + 6 (- (\frac{1}{3} - 3^{2} - 2))}{6 \cdot 6 + 6 (- (3))}$

解题步骤 3.4.5

化简每一项。

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解题步骤 3.4.5.1

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{1 - 216 - 12 + 6 (- (\frac{1}{3} - 1 \cdot 9 - 2))}{6 \cdot 6 + 6 (- (3))}$

解题步骤 3.4.5.2

将 $- 1$ 乘以 $9$ 。

$\frac{1 - 216 - 12 + 6 (- (\frac{1}{3} - 9 - 2))}{6 \cdot 6 + 6 (- (3))}$

解题步骤 3.4.6

求公分母。

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解题步骤 3.4.6.1

将 $- 9$ 写成分母为 $1$ 的分数。

$\frac{1 - 216 - 12 + 6 (- (\frac{1}{3} + \frac{- 9}{1} - 2))}{6 \cdot 6 + 6 (- (3))}$

解题步骤 3.4.6.2

将 $\frac{- 9}{1}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{1 - 216 - 12 + 6 (- (\frac{1}{3} + \frac{- 9}{1} \cdot \frac{3}{3} - 2))}{6 \cdot 6 + 6 (- (3))}$

解题步骤 3.4.6.3

将 $\frac{- 9}{1}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{1 - 216 - 12 + 6 (- (\frac{1}{3} + \frac{- 9 \cdot 3}{3} - 2))}{6 \cdot 6 + 6 (- (3))}$

解题步骤 3.4.6.4

将 $- 2$ 写成分母为 $1$ 的分数。

$\frac{1 - 216 - 12 + 6 (- (\frac{1}{3} + \frac{- 9 \cdot 3}{3} + \frac{- 2}{1}))}{6 \cdot 6 + 6 (- (3))}$

解题步骤 3.4.6.5

将 $\frac{- 2}{1}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{1 - 216 - 12 + 6 (- (\frac{1}{3} + \frac{- 9 \cdot 3}{3} + \frac{- 2}{1} \cdot \frac{3}{3}))}{6 \cdot 6 + 6 (- (3))}$

解题步骤 3.4.6.6

将 $\frac{- 2}{1}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{1 - 216 - 12 + 6 (- (\frac{1}{3} + \frac{- 9 \cdot 3}{3} + \frac{- 2 \cdot 3}{3}))}{6 \cdot 6 + 6 (- (3))}$

解题步骤 3.4.7

在公分母上合并分子。

$\frac{1 - 216 - 12 + 6 (- \frac{1 - 9 \cdot 3 - 2 \cdot 3}{3})}{6 \cdot 6 + 6 (- (3))}$

解题步骤 3.4.8

化简每一项。

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解题步骤 3.4.8.1

将 $- 9$ 乘以 $3$ 。

$\frac{1 - 216 - 12 + 6 (- \frac{1 - 27 - 2 \cdot 3}{3})}{6 \cdot 6 + 6 (- (3))}$

解题步骤 3.4.8.2

将 $- 2$ 乘以 $3$ 。

$\frac{1 - 216 - 12 + 6 (- \frac{1 - 27 - 6}{3})}{6 \cdot 6 + 6 (- (3))}$

解题步骤 3.4.9

从 $1$ 中减去 $27$ 。

$\frac{1 - 216 - 12 + 6 (- \frac{- 26 - 6}{3})}{6 \cdot 6 + 6 (- (3))}$

解题步骤 3.4.10

从 $- 26$ 中减去 $6$ 。

$\frac{1 - 216 - 12 + 6 (- \frac{- 32}{3})}{6 \cdot 6 + 6 (- (3))}$

解题步骤 3.4.11

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 3.4.11.1

将 $- \frac{- 32}{3}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{1 - 216 - 12 + 6 (\frac{32}{3})}{6 \cdot 6 + 6 (- (3))}$

解题步骤 3.4.11.2

从 $6$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{1 - 216 - 12 + 3 (2) \frac{32}{3}}{6 \cdot 6 + 6 (- (3))}$

解题步骤 3.4.11.3

约去公因数。

$\frac{1 - 216 - 12 + 3 \cdot 2 \frac{32}{3}}{6 \cdot 6 + 6 (- (3))}$

解题步骤 3.4.11.4

重写表达式。

$\frac{1 - 216 - 12 + 2 \cdot 32}{6 \cdot 6 + 6 (- (3))}$

解题步骤 3.4.12

将 $2$ 乘以 $32$ 。

$\frac{1 - 216 - 12 + 64}{6 \cdot 6 + 6 (- (3))}$

解题步骤 3.4.13

从 $1$ 中减去 $216$ 。

$\frac{- 215 - 12 + 64}{6 \cdot 6 + 6 (- (3))}$

解题步骤 3.4.14

从 $- 215$ 中减去 $12$ 。

$\frac{- 227 + 64}{6 \cdot 6 + 6 (- (3))}$

解题步骤 3.4.15

将 $- 227$ 和 $64$ 相加。

$\frac{- 163}{6 \cdot 6 + 6 (- (3))}$

解题步骤 3.5

化简分母。

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解题步骤 3.5.1

将 $6$ 乘以 $6$ 。

$\frac{- 163}{36 + 6 (- (3))}$

解题步骤 3.5.2

乘以 $6 (- (3))$ 。

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解题步骤 3.5.2.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$\frac{- 163}{36 + 6 \cdot - 3}$

解题步骤 3.5.2.2

将 $6$ 乘以 $- 3$ 。

$\frac{- 163}{36 - 18}$

解题步骤 3.5.3

从 $36$ 中减去 $18$ 。

$\frac{- 163}{18}$

解题步骤 3.6

将负号移到分数的前面。

$- \frac{163}{18}$

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