初级微积分示例

$f (x) = x^{2} - \frac{1}{x} - 3$ for $1 \leq x \leq 3$

解题步骤 1

将 $f (x) = x^{2} - \frac{1}{x} - 3$ 写为等式。

$y = x^{2} - \frac{1}{x} - 3$

解题步骤 2

运用平均变化率公式代入。

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解题步骤 2.1

函数的平均变化率可通过计算两点的 $y$ 的变化值除以两点的 $x$ 变化值来求得。

$\frac{f (3) - f (1)}{(3) - (1)}$

解题步骤 2.2

代入 $f (3)$ 和 $f (1)$ 的方程 $y = x^{2} - \frac{1}{x} - 3$ 中，用对应的 $x$ 值替换函数中的 $x$ 。

$\frac{({(3)}^{2} - \frac{1}{3} - 3) - ({(1)}^{2} - \frac{1}{1} - 3)}{(3) - (1)}$

解题步骤 3

化简表达式。

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解题步骤 3.1

约去 $1$ 的公因数。

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解题步骤 3.1.1

约去公因数。

$\frac{{(3)}^{2} - \frac{1}{3} - 3 - ({(1)}^{2} - \frac{1}{1} - 3)}{(3) - (1)}$

解题步骤 3.1.2

重写表达式。

$\frac{{(3)}^{2} - \frac{1}{3} - 3 - ({(1)}^{2} - 1 \cdot 1 - 3)}{(3) - (1)}$

解题步骤 3.2

将分数的分子和分母乘以 $3$ 。

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解题步骤 3.2.1

将 $\frac{3^{2} - \frac{1}{3} - 3 - (1^{2} - 1 \cdot 1 - 3)}{3 - (1)}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{3}{3} \cdot \frac{3^{2} - \frac{1}{3} - 3 - (1^{2} - 1 \cdot 1 - 3)}{3 - (1)}$

解题步骤 3.2.2

合并。

$\frac{3 (3^{2} - \frac{1}{3} - 3 - (1^{2} - 1 \cdot 1 - 3))}{3 (3 - (1))}$

解题步骤 3.3

运用分配律。

$\frac{3 \cdot 3^{2} + 3 (- \frac{1}{3}) + 3 \cdot - 3 + 3 (- (1^{2} - 1 \cdot 1 - 3))}{3 \cdot 3 + 3 (- (1))}$

解题步骤 3.4

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 3.4.1

将 $- \frac{1}{3}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{3 \cdot 3^{2} + 3 (\frac{- 1}{3}) + 3 \cdot - 3 + 3 (- (1^{2} - 1 \cdot 1 - 3))}{3 \cdot 3 + 3 (- (1))}$

解题步骤 3.4.2

约去公因数。

$\frac{3 \cdot 3^{2} + 3 (\frac{- 1}{3}) + 3 \cdot - 3 + 3 (- (1^{2} - 1 \cdot 1 - 3))}{3 \cdot 3 + 3 (- (1))}$

解题步骤 3.4.3

重写表达式。

$\frac{3 \cdot 3^{2} - 1 + 3 \cdot - 3 + 3 (- (1^{2} - 1 \cdot 1 - 3))}{3 \cdot 3 + 3 (- (1))}$

解题步骤 3.5

化简分子。

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解题步骤 3.5.1

通过指数相加将 $3$ 乘以 $3^{2}$ 。

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解题步骤 3.5.1.1

将 $3$ 乘以 $3^{2}$ 。

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解题步骤 3.5.1.1.1

对 $3$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{3^{1} \cdot 3^{2} - 1 + 3 \cdot - 3 + 3 (- (1^{2} - 1 \cdot 1 - 3))}{3 \cdot 3 + 3 (- (1))}$

解题步骤 3.5.1.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{3^{1 + 2} - 1 + 3 \cdot - 3 + 3 (- (1^{2} - 1 \cdot 1 - 3))}{3 \cdot 3 + 3 (- (1))}$

解题步骤 3.5.1.2

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{3^{3} - 1 + 3 \cdot - 3 + 3 (- (1^{2} - 1 \cdot 1 - 3))}{3 \cdot 3 + 3 (- (1))}$

解题步骤 3.5.2

对 $3$ 进行 $3$ 次方运算。

$\frac{27 - 1 + 3 \cdot - 3 + 3 (- (1^{2} - 1 \cdot 1 - 3))}{3 \cdot 3 + 3 (- (1))}$

解题步骤 3.5.3

将 $3$ 乘以 $- 3$ 。

$\frac{27 - 1 - 9 + 3 (- (1^{2} - 1 \cdot 1 - 3))}{3 \cdot 3 + 3 (- (1))}$

解题步骤 3.5.4

化简每一项。

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解题步骤 3.5.4.1

一的任意次幂都为一。

$\frac{27 - 1 - 9 + 3 (- (1 - 1 \cdot 1 - 3))}{3 \cdot 3 + 3 (- (1))}$

解题步骤 3.5.4.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{27 - 1 - 9 + 3 (- (1 - 1 - 3))}{3 \cdot 3 + 3 (- (1))}$

解题步骤 3.5.5

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$\frac{27 - 1 - 9 + 3 (- (0 - 3))}{3 \cdot 3 + 3 (- (1))}$

解题步骤 3.5.6

从 $0$ 中减去 $3$ 。

$\frac{27 - 1 - 9 + 3 (- - 3)}{3 \cdot 3 + 3 (- (1))}$

解题步骤 3.5.7

乘以 $3 (- - 3)$ 。

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解题步骤 3.5.7.1

将 $- 1$ 乘以 $- 3$ 。

$\frac{27 - 1 - 9 + 3 \cdot 3}{3 \cdot 3 + 3 (- (1))}$

解题步骤 3.5.7.2

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$\frac{27 - 1 - 9 + 9}{3 \cdot 3 + 3 (- (1))}$

解题步骤 3.5.8

从 $27$ 中减去 $1$ 。

$\frac{26 - 9 + 9}{3 \cdot 3 + 3 (- (1))}$

解题步骤 3.5.9

从 $26$ 中减去 $9$ 。

$\frac{17 + 9}{3 \cdot 3 + 3 (- (1))}$

解题步骤 3.5.10

将 $17$ 和 $9$ 相加。

$\frac{26}{3 \cdot 3 + 3 (- (1))}$

解题步骤 3.6

化简分母。

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解题步骤 3.6.1

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$\frac{26}{9 + 3 (- (1))}$

解题步骤 3.6.2

乘以 $3 (- (1))$ 。

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解题步骤 3.6.2.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{26}{9 + 3 \cdot - 1}$

解题步骤 3.6.2.2

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{26}{9 - 3}$

解题步骤 3.6.3

从 $9$ 中减去 $3$ 。

$\frac{26}{6}$

解题步骤 3.7

约去 $26$ 和 $6$ 的公因数。

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解题步骤 3.7.1

从 $26$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (13)}{6}$

解题步骤 3.7.2

约去公因数。

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解题步骤 3.7.2.1

从 $6$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 \cdot 13}{2 \cdot 3}$

解题步骤 3.7.2.2

约去公因数。

$\frac{2 \cdot 13}{2 \cdot 3}$

解题步骤 3.7.2.3

重写表达式。

$\frac{13}{3}$

初级微积分 示例

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