初级微积分示例

$f (x) = x^{2} - x - 1$ ; $[3, \frac{13}{4}]$

解题步骤 1

将 $f (x) = x^{2} - x - 1$ 写为等式。

$y = x^{2} - x - 1$

解题步骤 2

运用平均变化率公式代入。

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解题步骤 2.1

函数的平均变化率可通过计算两点的 $y$ 的变化值除以两点的 $x$ 变化值来求得。

$\frac{f (\frac{13}{4}) - f (3)}{(\frac{13}{4}) - (3)}$

解题步骤 2.2

代入 $f (\frac{13}{4})$ 和 $f (3)$ 的方程 $y = x^{2} - x - 1$ 中，用对应的 $x$ 值替换函数中的 $x$ 。

$\frac{({(\frac{13}{4})}^{2} - (\frac{13}{4}) - 1) - ({(3)}^{2} - (3) - 1)}{(\frac{13}{4}) - (3)}$

解题步骤 3

化简表达式。

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解题步骤 3.1

将分数的分子和分母乘以 $4$ 。

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解题步骤 3.1.1

将 $\frac{{(\frac{13}{4})}^{2} - \frac{13}{4} - 1 - (3^{2} - (3) - 1)}{\frac{13}{4} - (3)}$ 乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$\frac{4}{4} \cdot \frac{{(\frac{13}{4})}^{2} - \frac{13}{4} - 1 - (3^{2} - (3) - 1)}{\frac{13}{4} - (3)}$

解题步骤 3.1.2

合并。

$\frac{4 ({(\frac{13}{4})}^{2} - \frac{13}{4} - 1 - (3^{2} - (3) - 1))}{4 (\frac{13}{4} - (3))}$

解题步骤 3.2

运用分配律。

$\frac{4 {(\frac{13}{4})}^{2} + 4 (- \frac{13}{4}) + 4 \cdot - 1 + 4 (- (3^{2} - (3) - 1))}{4 (\frac{13}{4}) + 4 (- (3))}$

解题步骤 3.3

通过相约进行化简。

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解题步骤 3.3.1

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.1.1

将 $- \frac{13}{4}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{4 {(\frac{13}{4})}^{2} + 4 (\frac{- 13}{4}) + 4 \cdot - 1 + 4 (- (3^{2} - (3) - 1))}{4 (\frac{13}{4}) + 4 (- (3))}$

解题步骤 3.3.1.2

约去公因数。

$\frac{4 {(\frac{13}{4})}^{2} + 4 (\frac{- 13}{4}) + 4 \cdot - 1 + 4 (- (3^{2} - (3) - 1))}{4 (\frac{13}{4}) + 4 (- (3))}$

解题步骤 3.3.1.3

重写表达式。

$\frac{4 {(\frac{13}{4})}^{2} - 13 + 4 \cdot - 1 + 4 (- (3^{2} - (3) - 1))}{4 (\frac{13}{4}) + 4 (- (3))}$

解题步骤 3.3.2

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.2.1

约去公因数。

$\frac{4 {(\frac{13}{4})}^{2} - 13 + 4 \cdot - 1 + 4 (- (3^{2} - (3) - 1))}{4 (\frac{13}{4}) + 4 (- (3))}$

解题步骤 3.3.2.2

重写表达式。

$\frac{4 {(\frac{13}{4})}^{2} - 13 + 4 \cdot - 1 + 4 (- (3^{2} - (3) - 1))}{13 + 4 (- (3))}$

解题步骤 3.4

化简分子。

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解题步骤 3.4.1

对 $\frac{13}{4}$ 运用乘积法则。

$\frac{4 \frac{13^{2}}{4^{2}} - 13 + 4 \cdot - 1 + 4 (- (3^{2} - (3) - 1))}{13 + 4 (- (3))}$

解题步骤 3.4.2

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 3.4.2.1

从 $4^{2}$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{4 \frac{13^{2}}{4 \cdot 4} - 13 + 4 \cdot - 1 + 4 (- (3^{2} - (3) - 1))}{13 + 4 (- (3))}$

解题步骤 3.4.2.2

约去公因数。

$\frac{4 \frac{13^{2}}{4 \cdot 4} - 13 + 4 \cdot - 1 + 4 (- (3^{2} - (3) - 1))}{13 + 4 (- (3))}$

解题步骤 3.4.2.3

重写表达式。

$\frac{\frac{13^{2}}{4} - 13 + 4 \cdot - 1 + 4 (- (3^{2} - (3) - 1))}{13 + 4 (- (3))}$

解题步骤 3.4.3

对 $13$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{\frac{169}{4} - 13 + 4 \cdot - 1 + 4 (- (3^{2} - (3) - 1))}{13 + 4 (- (3))}$

解题步骤 3.4.4

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{\frac{169}{4} - 13 - 4 + 4 (- (3^{2} - (3) - 1))}{13 + 4 (- (3))}$

解题步骤 3.4.5

化简每一项。

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解题步骤 3.4.5.1

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{\frac{169}{4} - 13 - 4 + 4 (- (9 - (3) - 1))}{13 + 4 (- (3))}$

解题步骤 3.4.5.2

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$\frac{\frac{169}{4} - 13 - 4 + 4 (- (9 - 3 - 1))}{13 + 4 (- (3))}$

解题步骤 3.4.6

从 $9$ 中减去 $3$ 。

$\frac{\frac{169}{4} - 13 - 4 + 4 (- (6 - 1))}{13 + 4 (- (3))}$

解题步骤 3.4.7

从 $6$ 中减去 $1$ 。

$\frac{\frac{169}{4} - 13 - 4 + 4 (- 1 \cdot 5)}{13 + 4 (- (3))}$

解题步骤 3.4.8

乘以 $4 (- 1 \cdot 5)$ 。

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解题步骤 3.4.8.1

将 $- 1$ 乘以 $5$ 。

$\frac{\frac{169}{4} - 13 - 4 + 4 \cdot - 5}{13 + 4 (- (3))}$

解题步骤 3.4.8.2

将 $4$ 乘以 $- 5$ 。

$\frac{\frac{169}{4} - 13 - 4 - 20}{13 + 4 (- (3))}$

解题步骤 3.4.9

要将 $- 13$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$\frac{\frac{169}{4} - 13 \cdot \frac{4}{4} - 4 - 20}{13 + 4 (- (3))}$

解题步骤 3.4.10

组合 $- 13$ 和 $\frac{4}{4}$ 。

$\frac{\frac{169}{4} + \frac{- 13 \cdot 4}{4} - 4 - 20}{13 + 4 (- (3))}$

解题步骤 3.4.11

在公分母上合并分子。

$\frac{\frac{169 - 13 \cdot 4}{4} - 4 - 20}{13 + 4 (- (3))}$

解题步骤 3.4.12

化简分子。

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解题步骤 3.4.12.1

将 $- 13$ 乘以 $4$ 。

$\frac{\frac{169 - 52}{4} - 4 - 20}{13 + 4 (- (3))}$

解题步骤 3.4.12.2

从 $169$ 中减去 $52$ 。

$\frac{\frac{117}{4} - 4 - 20}{13 + 4 (- (3))}$

解题步骤 3.4.13

要将 $- 4$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$\frac{\frac{117}{4} - 4 \cdot \frac{4}{4} - 20}{13 + 4 (- (3))}$

解题步骤 3.4.14

组合 $- 4$ 和 $\frac{4}{4}$ 。

$\frac{\frac{117}{4} + \frac{- 4 \cdot 4}{4} - 20}{13 + 4 (- (3))}$

解题步骤 3.4.15

在公分母上合并分子。

$\frac{\frac{117 - 4 \cdot 4}{4} - 20}{13 + 4 (- (3))}$

解题步骤 3.4.16

化简分子。

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解题步骤 3.4.16.1

将 $- 4$ 乘以 $4$ 。

$\frac{\frac{117 - 16}{4} - 20}{13 + 4 (- (3))}$

解题步骤 3.4.16.2

从 $117$ 中减去 $16$ 。

$\frac{\frac{101}{4} - 20}{13 + 4 (- (3))}$

解题步骤 3.4.17

要将 $- 20$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$\frac{\frac{101}{4} - 20 \cdot \frac{4}{4}}{13 + 4 (- (3))}$

解题步骤 3.4.18

组合 $- 20$ 和 $\frac{4}{4}$ 。

$\frac{\frac{101}{4} + \frac{- 20 \cdot 4}{4}}{13 + 4 (- (3))}$

解题步骤 3.4.19

在公分母上合并分子。

$\frac{\frac{101 - 20 \cdot 4}{4}}{13 + 4 (- (3))}$

解题步骤 3.4.20

化简分子。

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解题步骤 3.4.20.1

将 $- 20$ 乘以 $4$ 。

$\frac{\frac{101 - 80}{4}}{13 + 4 (- (3))}$

解题步骤 3.4.20.2

从 $101$ 中减去 $80$ 。

$\frac{\frac{21}{4}}{13 + 4 (- (3))}$

解题步骤 3.5

化简分母。

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解题步骤 3.5.1

乘以 $4 (- (3))$ 。

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解题步骤 3.5.1.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$\frac{\frac{21}{4}}{13 + 4 \cdot - 3}$

解题步骤 3.5.1.2

将 $4$ 乘以 $- 3$ 。

$\frac{\frac{21}{4}}{13 - 12}$

解题步骤 3.5.2

从 $13$ 中减去 $12$ 。

$\frac{\frac{21}{4}}{1}$

解题步骤 3.6

用 $\frac{21}{4}$ 除以 $1$ 。

$\frac{21}{4}$

初级微积分 示例

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