初级微积分示例

$g (t) = t^{4} - t^{3} + t^{2}$

解题步骤 1

考虑差商公式。

$\frac{f (t + h) - f t}{h}$

解题步骤 2

求定义的补集。

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解题步骤 2.1

计算函数在 $x = t + h$ 处的值。

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解题步骤 2.1.1

使用表达式中的 $t + h$ 替换变量 $t$ 。

$g (t + h) = {(t + h)}^{4} - {(t + h)}^{3} + {(t + h)}^{2}$

解题步骤 2.1.2

化简结果。

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解题步骤 2.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.2.1.1

使用二项式定理。

$g (t + h) = t^{4} + 4 t^{3} h + 6 t^{2} h^{2} + 4 t h^{3} + h^{4} - {(t + h)}^{3} + {(t + h)}^{2}$

解题步骤 2.1.2.1.2

使用二项式定理。

$g (t + h) = t^{4} + 4 t^{3} h + 6 t^{2} h^{2} + 4 t h^{3} + h^{4} - (t^{3} + 3 t^{2} h + 3 t h^{2} + h^{3}) + {(t + h)}^{2}$

解题步骤 2.1.2.1.3

运用分配律。

$g (t + h) = t^{4} + 4 t^{3} h + 6 t^{2} h^{2} + 4 t h^{3} + h^{4} - t^{3} - (3 t^{2} h) - (3 t h^{2}) - h^{3} + {(t + h)}^{2}$

解题步骤 2.1.2.1.4

化简。

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解题步骤 2.1.2.1.4.1

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$g (t + h) = t^{4} + 4 t^{3} h + 6 t^{2} h^{2} + 4 t h^{3} + h^{4} - t^{3} - 3 (t^{2} h) - (3 t h^{2}) - h^{3} + {(t + h)}^{2}$

解题步骤 2.1.2.1.4.2

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$g (t + h) = t^{4} + 4 t^{3} h + 6 t^{2} h^{2} + 4 t h^{3} + h^{4} - t^{3} - 3 (t^{2} h) - 3 (t h^{2}) - h^{3} + {(t + h)}^{2}$

解题步骤 2.1.2.1.5

去掉圆括号。

$g (t + h) = t^{4} + 4 t^{3} h + 6 t^{2} h^{2} + 4 t h^{3} + h^{4} - t^{3} - 3 t^{2} h - 3 t h^{2} - h^{3} + {(t + h)}^{2}$

解题步骤 2.1.2.1.6

将 ${(t + h)}^{2}$ 重写为 $(t + h) (t + h)$ 。

$g (t + h) = t^{4} + 4 t^{3} h + 6 t^{2} h^{2} + 4 t h^{3} + h^{4} - t^{3} - 3 t^{2} h - 3 t h^{2} - h^{3} + (t + h) (t + h)$

解题步骤 2.1.2.1.7

使用 FOIL 方法展开 $(t + h) (t + h)$ 。

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解题步骤 2.1.2.1.7.1

运用分配律。

$g (t + h) = t^{4} + 4 t^{3} h + 6 t^{2} h^{2} + 4 t h^{3} + h^{4} - t^{3} - 3 t^{2} h - 3 t h^{2} - h^{3} + t (t + h) + h (t + h)$

解题步骤 2.1.2.1.7.2

运用分配律。

$g (t + h) = t^{4} + 4 t^{3} h + 6 t^{2} h^{2} + 4 t h^{3} + h^{4} - t^{3} - 3 t^{2} h - 3 t h^{2} - h^{3} + t \cdot t + t h + h (t + h)$

解题步骤 2.1.2.1.7.3

运用分配律。

$g (t + h) = t^{4} + 4 t^{3} h + 6 t^{2} h^{2} + 4 t h^{3} + h^{4} - t^{3} - 3 t^{2} h - 3 t h^{2} - h^{3} + t \cdot t + t h + h t + h \cdot h$

解题步骤 2.1.2.1.8

化简并合并同类项。

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解题步骤 2.1.2.1.8.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.2.1.8.1.1

将 $t$ 乘以 $t$ 。

$g (t + h) = t^{4} + 4 t^{3} h + 6 t^{2} h^{2} + 4 t h^{3} + h^{4} - t^{3} - 3 t^{2} h - 3 t h^{2} - h^{3} + t^{2} + t h + h t + h \cdot h$

解题步骤 2.1.2.1.8.1.2

将 $h$ 乘以 $h$ 。

$g (t + h) = t^{4} + 4 t^{3} h + 6 t^{2} h^{2} + 4 t h^{3} + h^{4} - t^{3} - 3 t^{2} h - 3 t h^{2} - h^{3} + t^{2} + t h + h t + h^{2}$

解题步骤 2.1.2.1.8.2

将 $t h$ 和 $h t$ 相加。

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解题步骤 2.1.2.1.8.2.1

将 $t$ 和 $h$ 重新排序。

$g (t + h) = t^{4} + 4 t^{3} h + 6 t^{2} h^{2} + 4 t h^{3} + h^{4} - t^{3} - 3 t^{2} h - 3 t h^{2} - h^{3} + t^{2} + h t + h t + h^{2}$

解题步骤 2.1.2.1.8.2.2

将 $h t$ 和 $h t$ 相加。

$g (t + h) = t^{4} + 4 t^{3} h + 6 t^{2} h^{2} + 4 t h^{3} + h^{4} - t^{3} - 3 t^{2} h - 3 t h^{2} - h^{3} + t^{2} + 2 h t + h^{2}$

解题步骤 2.1.2.2

最终答案为 $t^{4} + 4 t^{3} h + 6 t^{2} h^{2} + 4 t h^{3} + h^{4} - t^{3} - 3 t^{2} h - 3 t h^{2} - h^{3} + t^{2} + 2 h t + h^{2}$ 。

$t^{4} + 4 t^{3} h + 6 t^{2} h^{2} + 4 t h^{3} + h^{4} - t^{3} - 3 t^{2} h - 3 t h^{2} - h^{3} + t^{2} + 2 h t + h^{2}$

解题步骤 2.2

重新排序。

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解题步骤 2.2.1

移动 $t^{3}$ 。

$t^{4} + 4 h t^{3} + 6 t^{2} h^{2} + 4 t h^{3} + h^{4} - t^{3} - 3 t^{2} h - 3 t h^{2} - h^{3} + t^{2} + 2 h t + h^{2}$

解题步骤 2.2.2

移动 $t^{2}$ 。

$t^{4} + 4 h t^{3} + 6 h^{2} t^{2} + 4 t h^{3} + h^{4} - t^{3} - 3 t^{2} h - 3 t h^{2} - h^{3} + t^{2} + 2 h t + h^{2}$

解题步骤 2.2.3

移动 $t$ 。

$t^{4} + 4 h t^{3} + 6 h^{2} t^{2} + 4 h^{3} t + h^{4} - t^{3} - 3 t^{2} h - 3 t h^{2} - h^{3} + t^{2} + 2 h t + h^{2}$

解题步骤 2.2.4

移动 $t^{2}$ 。

$t^{4} + 4 h t^{3} + 6 h^{2} t^{2} + 4 h^{3} t + h^{4} - t^{3} - 3 h t^{2} - 3 t h^{2} - h^{3} + t^{2} + 2 h t + h^{2}$

解题步骤 2.2.5

移动 $t$ 。

$t^{4} + 4 h t^{3} + 6 h^{2} t^{2} + 4 h^{3} t + h^{4} - t^{3} - 3 h t^{2} - 3 h^{2} t - h^{3} + t^{2} + 2 h t + h^{2}$

解题步骤 2.2.6

移动 $t^{2}$ 。

$t^{4} + 4 h t^{3} + 6 h^{2} t^{2} + 4 h^{3} t + h^{4} - t^{3} - 3 h t^{2} - 3 h^{2} t - h^{3} + 2 h t + h^{2} + t^{2}$

解题步骤 2.2.7

移动 $2 h t$ 。

$t^{4} + 4 h t^{3} + 6 h^{2} t^{2} + 4 h^{3} t + h^{4} - t^{3} - 3 h t^{2} - 3 h^{2} t - h^{3} + h^{2} + 2 h t + t^{2}$

解题步骤 2.2.8

移动 $- t^{3}$ 。

$t^{4} + 4 h t^{3} + 6 h^{2} t^{2} + 4 h^{3} t + h^{4} - 3 h t^{2} - 3 h^{2} t - h^{3} - t^{3} + h^{2} + 2 h t + t^{2}$

解题步骤 2.2.9

移动 $- 3 h t^{2}$ 。

$t^{4} + 4 h t^{3} + 6 h^{2} t^{2} + 4 h^{3} t + h^{4} - 3 h^{2} t - h^{3} - 3 h t^{2} - t^{3} + h^{2} + 2 h t + t^{2}$

解题步骤 2.2.10

移动 $- 3 h^{2} t$ 。

$t^{4} + 4 h t^{3} + 6 h^{2} t^{2} + 4 h^{3} t + h^{4} - h^{3} - 3 h^{2} t - 3 h t^{2} - t^{3} + h^{2} + 2 h t + t^{2}$

解题步骤 2.2.11

移动 $t^{4}$ 。

$4 h t^{3} + 6 h^{2} t^{2} + 4 h^{3} t + h^{4} + t^{4} - h^{3} - 3 h^{2} t - 3 h t^{2} - t^{3} + h^{2} + 2 h t + t^{2}$

解题步骤 2.2.12

移动 $4 h t^{3}$ 。

$6 h^{2} t^{2} + 4 h^{3} t + h^{4} + 4 h t^{3} + t^{4} - h^{3} - 3 h^{2} t - 3 h t^{2} - t^{3} + h^{2} + 2 h t + t^{2}$

解题步骤 2.2.13

移动 $6 h^{2} t^{2}$ 。

$4 h^{3} t + h^{4} + 6 h^{2} t^{2} + 4 h t^{3} + t^{4} - h^{3} - 3 h^{2} t - 3 h t^{2} - t^{3} + h^{2} + 2 h t + t^{2}$

解题步骤 2.2.14

将 $4 h^{3} t$ 和 $h^{4}$ 重新排序。

$h^{4} + 4 h^{3} t + 6 h^{2} t^{2} + 4 h t^{3} + t^{4} - h^{3} - 3 h^{2} t - 3 h t^{2} - t^{3} + h^{2} + 2 h t + t^{2}$

解题步骤 2.3

求定义的补集。

$g (t + h) = h^{4} + 4 h^{3} t + 6 h^{2} t^{2} + 4 h t^{3} + t^{4} - h^{3} - 3 h^{2} t - 3 h t^{2} - t^{3} + h^{2} + 2 h t + t^{2}$

$g (t) = t^{4} - t^{3} + t^{2}$

$g (t + h) = h^{4} + 4 h^{3} t + 6 h^{2} t^{2} + 4 h t^{3} + t^{4} - h^{3} - 3 h^{2} t - 3 h t^{2} - t^{3} + h^{2} + 2 h t + t^{2}$

$g (t) = t^{4} - t^{3} + t^{2}$

解题步骤 3

插入分量。

$\frac{g (t + h) - g t}{h} = \frac{h^{4} + 4 h^{3} t + 6 h^{2} t^{2} + 4 h t^{3} + t^{4} - h^{3} - 3 h^{2} t - 3 h t^{2} - t^{3} + h^{2} + 2 h t + t^{2} - (t^{4} - t^{3} + t^{2})}{h}$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

化简分子。

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解题步骤 4.1.1

运用分配律。

$\frac{h^{4} + 4 h^{3} t + 6 h^{2} t^{2} + 4 h t^{3} + t^{4} - h^{3} - 3 h^{2} t - 3 h t^{2} - t^{3} + h^{2} + 2 h t + t^{2} - t^{4} - - t^{3} - t^{2}}{h}$

解题步骤 4.1.2

乘以 $- - t^{3}$ 。

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解题步骤 4.1.2.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{h^{4} + 4 h^{3} t + 6 h^{2} t^{2} + 4 h t^{3} + t^{4} - h^{3} - 3 h^{2} t - 3 h t^{2} - t^{3} + h^{2} + 2 h t + t^{2} - t^{4} + 1 t^{3} - t^{2}}{h}$

解题步骤 4.1.2.2

将 $t^{3}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{h^{4} + 4 h^{3} t + 6 h^{2} t^{2} + 4 h t^{3} + t^{4} - h^{3} - 3 h^{2} t - 3 h t^{2} - t^{3} + h^{2} + 2 h t + t^{2} - t^{4} + t^{3} - t^{2}}{h}$

解题步骤 4.1.3

从 $t^{4}$ 中减去 $t^{4}$ 。

$\frac{h^{4} + 4 h^{3} t + 6 h^{2} t^{2} + 4 h t^{3} - h^{3} - 3 h^{2} t - 3 h t^{2} - t^{3} + h^{2} + 2 h t + t^{2} + 0 + t^{3} - t^{2}}{h}$

解题步骤 4.1.4

将 $h^{4}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{h^{4} + 4 h^{3} t + 6 h^{2} t^{2} + 4 h t^{3} - h^{3} - 3 h^{2} t - 3 h t^{2} - t^{3} + h^{2} + 2 h t + t^{2} + t^{3} - t^{2}}{h}$

解题步骤 4.1.5

将 $- t^{3}$ 和 $t^{3}$ 相加。

$\frac{h^{4} + 4 h^{3} t + 6 h^{2} t^{2} + 4 h t^{3} - h^{3} - 3 h^{2} t - 3 h t^{2} + h^{2} + 2 h t + t^{2} + 0 - t^{2}}{h}$

解题步骤 4.1.6

将 $h^{4}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{h^{4} + 4 h^{3} t + 6 h^{2} t^{2} + 4 h t^{3} - h^{3} - 3 h^{2} t - 3 h t^{2} + h^{2} + 2 h t + t^{2} - t^{2}}{h}$

解题步骤 4.1.7

从 $t^{2}$ 中减去 $t^{2}$ 。

$\frac{h^{4} + 4 h^{3} t + 6 h^{2} t^{2} + 4 h t^{3} - h^{3} - 3 h^{2} t - 3 h t^{2} + h^{2} + 2 h t + 0}{h}$

解题步骤 4.1.8

将 $h^{4} + 4 h^{3} t + 6 h^{2} t^{2} + 4 h t^{3} - h^{3} - 3 h^{2} t - 3 h t^{2} + h^{2} + 2 h t$ 和 $0$ 相加。

$\frac{h^{4} + 4 h^{3} t + 6 h^{2} t^{2} + 4 h t^{3} - h^{3} - 3 h^{2} t - 3 h t^{2} + h^{2} + 2 h t}{h}$

解题步骤 4.1.9

从 $h^{4} + 4 h^{3} t + 6 h^{2} t^{2} + 4 h t^{3} - h^{3} - 3 h^{2} t - 3 h t^{2} + h^{2} + 2 h t$ 中分解出因数 $h$ 。

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解题步骤 4.1.9.1

从 $h^{4}$ 中分解出因数 $h$ 。

$\frac{h \cdot h^{3} + 4 h^{3} t + 6 h^{2} t^{2} + 4 h t^{3} - h^{3} - 3 h^{2} t - 3 h t^{2} + h^{2} + 2 h t}{h}$

解题步骤 4.1.9.2

从 $4 h^{3} t$ 中分解出因数 $h$ 。

$\frac{h (h^{3}) + h (4 h^{2} t) + 6 h^{2} t^{2} + 4 h t^{3} - h^{3} - 3 h^{2} t - 3 h t^{2} + h^{2} + 2 h t}{h}$

解题步骤 4.1.9.3

从 $6 h^{2} t^{2}$ 中分解出因数 $h$ 。

$\frac{h (h^{3}) + h (4 h^{2} t) + h (6 h t^{2}) + 4 h t^{3} - h^{3} - 3 h^{2} t - 3 h t^{2} + h^{2} + 2 h t}{h}$

解题步骤 4.1.9.4

从 $4 h t^{3}$ 中分解出因数 $h$ 。

$\frac{h (h^{3}) + h (4 h^{2} t) + h (6 h t^{2}) + h (4 t^{3}) - h^{3} - 3 h^{2} t - 3 h t^{2} + h^{2} + 2 h t}{h}$

解题步骤 4.1.9.5

从 $- h^{3}$ 中分解出因数 $h$ 。

$\frac{h (h^{3}) + h (4 h^{2} t) + h (6 h t^{2}) + h (4 t^{3}) + h (- h^{2}) - 3 h^{2} t - 3 h t^{2} + h^{2} + 2 h t}{h}$

解题步骤 4.1.9.6

从 $- 3 h^{2} t$ 中分解出因数 $h$ 。

$\frac{h (h^{3}) + h (4 h^{2} t) + h (6 h t^{2}) + h (4 t^{3}) + h (- h^{2}) + h (- 3 h t) - 3 h t^{2} + h^{2} + 2 h t}{h}$

解题步骤 4.1.9.7

从 $- 3 h t^{2}$ 中分解出因数 $h$ 。

$\frac{h (h^{3}) + h (4 h^{2} t) + h (6 h t^{2}) + h (4 t^{3}) + h (- h^{2}) + h (- 3 h t) + h (- 3 t^{2}) + h^{2} + 2 h t}{h}$

解题步骤 4.1.9.8

从 $h^{2}$ 中分解出因数 $h$ 。

$\frac{h (h^{3}) + h (4 h^{2} t) + h (6 h t^{2}) + h (4 t^{3}) + h (- h^{2}) + h (- 3 h t) + h (- 3 t^{2}) + h (h) + 2 h t}{h}$

解题步骤 4.1.9.9

从 $2 h t$ 中分解出因数 $h$ 。

$\frac{h (h^{3}) + h (4 h^{2} t) + h (6 h t^{2}) + h (4 t^{3}) + h (- h^{2}) + h (- 3 h t) + h (- 3 t^{2}) + h (h) + h (2 t)}{h}$

解题步骤 4.1.9.10

从 $h (h^{3}) + h (4 h^{2} t)$ 中分解出因数 $h$ 。

$\frac{h (h^{3} + 4 h^{2} t) + h (6 h t^{2}) + h (4 t^{3}) + h (- h^{2}) + h (- 3 h t) + h (- 3 t^{2}) + h (h) + h (2 t)}{h}$

解题步骤 4.1.9.11

从 $h (h^{3} + 4 h^{2} t) + h (6 h t^{2})$ 中分解出因数 $h$ 。

$\frac{h (h^{3} + 4 h^{2} t + 6 h t^{2}) + h (4 t^{3}) + h (- h^{2}) + h (- 3 h t) + h (- 3 t^{2}) + h (h) + h (2 t)}{h}$

解题步骤 4.1.9.12

从 $h (h^{3} + 4 h^{2} t + 6 h t^{2}) + h (4 t^{3})$ 中分解出因数 $h$ 。

$\frac{h (h^{3} + 4 h^{2} t + 6 h t^{2} + 4 t^{3}) + h (- h^{2}) + h (- 3 h t) + h (- 3 t^{2}) + h (h) + h (2 t)}{h}$

解题步骤 4.1.9.13

从 $h (h^{3} + 4 h^{2} t + 6 h t^{2} + 4 t^{3}) + h (- h^{2})$ 中分解出因数 $h$ 。

$\frac{h (h^{3} + 4 h^{2} t + 6 h t^{2} + 4 t^{3} - h^{2}) + h (- 3 h t) + h (- 3 t^{2}) + h (h) + h (2 t)}{h}$

解题步骤 4.1.9.14

从 $h (h^{3} + 4 h^{2} t + 6 h t^{2} + 4 t^{3} - h^{2}) + h (- 3 h t)$ 中分解出因数 $h$ 。

$\frac{h (h^{3} + 4 h^{2} t + 6 h t^{2} + 4 t^{3} - h^{2} - 3 h t) + h (- 3 t^{2}) + h (h) + h (2 t)}{h}$

解题步骤 4.1.9.15

从 $h (h^{3} + 4 h^{2} t + 6 h t^{2} + 4 t^{3} - h^{2} - 3 h t) + h (- 3 t^{2})$ 中分解出因数 $h$ 。

$\frac{h (h^{3} + 4 h^{2} t + 6 h t^{2} + 4 t^{3} - h^{2} - 3 h t - 3 t^{2}) + h (h) + h (2 t)}{h}$

解题步骤 4.1.9.16

从 $h (h^{3} + 4 h^{2} t + 6 h t^{2} + 4 t^{3} - h^{2} - 3 h t - 3 t^{2}) + h (h)$ 中分解出因数 $h$ 。

$\frac{h (h^{3} + 4 h^{2} t + 6 h t^{2} + 4 t^{3} - h^{2} - 3 h t - 3 t^{2} + h) + h (2 t)}{h}$

解题步骤 4.1.9.17

从 $h (h^{3} + 4 h^{2} t + 6 h t^{2} + 4 t^{3} - h^{2} - 3 h t - 3 t^{2} + h) + h (2 t)$ 中分解出因数 $h$ 。

$\frac{h (h^{3} + 4 h^{2} t + 6 h t^{2} + 4 t^{3} - h^{2} - 3 h t - 3 t^{2} + h + 2 t)}{h}$

解题步骤 4.2

通过约去公因数来化简表达式。

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解题步骤 4.2.1

约去 $h$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.1.1

约去公因数。

$\frac{h (h^{3} + 4 h^{2} t + 6 h t^{2} + 4 t^{3} - h^{2} - 3 h t - 3 t^{2} + h + 2 t)}{h}$

解题步骤 4.2.1.2

用 $h^{3} + 4 h^{2} t + 6 h t^{2} + 4 t^{3} - h^{2} - 3 h t - 3 t^{2} + h + 2 t$ 除以 $1$ 。

$h^{3} + 4 h^{2} t + 6 h t^{2} + 4 t^{3} - h^{2} - 3 h t - 3 t^{2} + h + 2 t$

解题步骤 4.2.2

化简表达式。

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解题步骤 4.2.2.1

移动 $h^{2}$ 。

$h^{3} + 4 t h^{2} + 6 h t^{2} + 4 t^{3} - h^{2} - 3 h t - 3 t^{2} + h + 2 t$

解题步骤 4.2.2.2

移动 $h$ 。

$h^{3} + 4 t h^{2} + 6 t^{2} h + 4 t^{3} - h^{2} - 3 h t - 3 t^{2} + h + 2 t$

解题步骤 4.2.2.3

移动 $h$ 。

$h^{3} + 4 t h^{2} + 6 t^{2} h + 4 t^{3} - h^{2} - 3 t h - 3 t^{2} + h + 2 t$

解题步骤 4.2.2.4

移动 $h$ 。

$h^{3} + 4 t h^{2} + 6 t^{2} h + 4 t^{3} - h^{2} - 3 t h - 3 t^{2} + 2 t + h$

解题步骤 4.2.2.5

移动 $- h^{2}$ 。

$h^{3} + 4 t h^{2} + 6 t^{2} h + 4 t^{3} - 3 t h - 3 t^{2} - h^{2} + 2 t + h$

解题步骤 4.2.2.6

移动 $- 3 t h$ 。

$h^{3} + 4 t h^{2} + 6 t^{2} h + 4 t^{3} - 3 t^{2} - 3 t h - h^{2} + 2 t + h$

解题步骤 4.2.2.7

移动 $h^{3}$ 。

$4 t h^{2} + 6 t^{2} h + 4 t^{3} + h^{3} - 3 t^{2} - 3 t h - h^{2} + 2 t + h$

解题步骤 4.2.2.8

移动 $4 t h^{2}$ 。

$6 t^{2} h + 4 t^{3} + 4 t h^{2} + h^{3} - 3 t^{2} - 3 t h - h^{2} + 2 t + h$

解题步骤 4.2.2.9

将 $6 t^{2} h$ 和 $4 t^{3}$ 重新排序。

$4 t^{3} + 6 t^{2} h + 4 t h^{2} + h^{3} - 3 t^{2} - 3 t h - h^{2} + 2 t + h$

解题步骤 5

初级微积分 示例

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