初级微积分示例

$f (x) = \frac{x - 1}{x + 3}$

解题步骤 1

考虑差商公式。

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

解题步骤 2

求定义的补集。

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解题步骤 2.1

计算函数在 $x = x + h$ 处的值。

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解题步骤 2.1.1

使用表达式中的 $x + h$ 替换变量 $x$ 。

$f (x + h) = \frac{(x + h) - 1}{(x + h) + 3}$

解题步骤 2.1.2

化简结果。

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解题步骤 2.1.2.1

去掉圆括号。

$f (x + h) = \frac{x + h - 1}{x + h + 3}$

解题步骤 2.1.2.2

最终答案为 $\frac{x + h - 1}{x + h + 3}$ 。

$\frac{x + h - 1}{x + h + 3}$

解题步骤 2.2

求定义的补集。

$f (x + h) = \frac{x + h - 1}{x + h + 3}$

$f (x) = \frac{x - 1}{x + 3}$

$f (x + h) = \frac{x + h - 1}{x + h + 3}$

$f (x) = \frac{x - 1}{x + 3}$

解题步骤 3

插入分量。

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{\frac{x + h - 1}{x + h + 3} - (\frac{x - 1}{x + 3})}{h}$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

化简分子。

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解题步骤 4.1.1

要将 $\frac{x + h - 1}{x + h + 3}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x + 3}{x + 3}$ 。

$\frac{\frac{x + h - 1}{x + h + 3} \cdot \frac{x + 3}{x + 3} - \frac{x - 1}{x + 3}}{h}$

解题步骤 4.1.2

要将 $- \frac{x - 1}{x + 3}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x + h + 3}{x + h + 3}$ 。

$\frac{\frac{x + h - 1}{x + h + 3} \cdot \frac{x + 3}{x + 3} - \frac{x - 1}{x + 3} \cdot \frac{x + h + 3}{x + h + 3}}{h}$

解题步骤 4.1.3

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $(x + h + 3) (x + 3)$ 的形式。

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解题步骤 4.1.3.1

将 $\frac{x + h - 1}{x + h + 3}$ 乘以 $\frac{x + 3}{x + 3}$ 。

$\frac{\frac{(x + h - 1) (x + 3)}{(x + h + 3) (x + 3)} - \frac{x - 1}{x + 3} \cdot \frac{x + h + 3}{x + h + 3}}{h}$

解题步骤 4.1.3.2

将 $\frac{x - 1}{x + 3}$ 乘以 $\frac{x + h + 3}{x + h + 3}$ 。

$\frac{\frac{(x + h - 1) (x + 3)}{(x + h + 3) (x + 3)} - \frac{(x - 1) (x + h + 3)}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

解题步骤 4.1.3.3

重新排序 $(x + h + 3) (x + 3)$ 的因式。

$\frac{\frac{(x + h - 1) (x + 3)}{(x + 3) (x + h + 3)} - \frac{(x - 1) (x + h + 3)}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

解题步骤 4.1.4

在公分母上合并分子。

$\frac{\frac{(x + h - 1) (x + 3) - (x - 1) (x + h + 3)}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

解题步骤 4.1.5

以因式分解的形式重写 $\frac{(x + h - 1) (x + 3) - (x - 1) (x + h + 3)}{(x + 3) (x + h + 3)}$ 。

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解题步骤 4.1.5.1

将第一个表达式中的每一项与第二个表达式中的每一项相乘来展开 $(x + h - 1) (x + 3)$ 。

$\frac{\frac{x \cdot x + x \cdot 3 + h x + h \cdot 3 - 1 x - 1 \cdot 3 - (x - 1) (x + h + 3)}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.2

化简每一项。

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解题步骤 4.1.5.2.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{\frac{x^{2} + x \cdot 3 + h x + h \cdot 3 - 1 x - 1 \cdot 3 - (x - 1) (x + h + 3)}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.2.2

将 $3$ 移到 $x$ 的左侧。

$\frac{\frac{x^{2} + 3 \cdot x + h x + h \cdot 3 - 1 x - 1 \cdot 3 - (x - 1) (x + h + 3)}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.2.3

将 $3$ 移到 $h$ 的左侧。

$\frac{\frac{x^{2} + 3 x + h x + 3 \cdot h - 1 x - 1 \cdot 3 - (x - 1) (x + h + 3)}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.2.4

将 $- 1 x$ 重写为 $- x$ 。

$\frac{\frac{x^{2} + 3 x + h x + 3 h - x - 1 \cdot 3 - (x - 1) (x + h + 3)}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.2.5

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$\frac{\frac{x^{2} + 3 x + h x + 3 h - x - 3 - (x - 1) (x + h + 3)}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.3

从 $3 x$ 中减去 $x$ 。

$\frac{\frac{x^{2} + 2 x + h x + 3 h - 3 - (x - 1) (x + h + 3)}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.4

运用分配律。

$\frac{\frac{x^{2} + 2 x + h x + 3 h - 3 + (- x - - 1) (x + h + 3)}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.5

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{\frac{x^{2} + 2 x + h x + 3 h - 3 + (- x + 1) (x + h + 3)}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.6

将第一个表达式中的每一项与第二个表达式中的每一项相乘来展开 $(- x + 1) (x + h + 3)$ 。

$\frac{\frac{x^{2} + 2 x + h x + 3 h - 3 - x \cdot x - x h - x \cdot 3 + 1 x + 1 h + 1 \cdot 3}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.7

化简每一项。

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解题步骤 4.1.5.7.1

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 4.1.5.7.1.1

移动 $x$ 。

$\frac{\frac{x^{2} + 2 x + h x + 3 h - 3 - (x \cdot x) - x h - x \cdot 3 + 1 x + 1 h + 1 \cdot 3}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.7.1.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{\frac{x^{2} + 2 x + h x + 3 h - 3 - x^{2} - x h - x \cdot 3 + 1 x + 1 h + 1 \cdot 3}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.7.2

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{\frac{x^{2} + 2 x + h x + 3 h - 3 - x^{2} - x h - 3 x + 1 x + 1 h + 1 \cdot 3}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.7.3

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\frac{x^{2} + 2 x + h x + 3 h - 3 - x^{2} - x h - 3 x + x + 1 h + 1 \cdot 3}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.7.4

将 $h$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\frac{x^{2} + 2 x + h x + 3 h - 3 - x^{2} - x h - 3 x + x + h + 1 \cdot 3}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.7.5

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\frac{x^{2} + 2 x + h x + 3 h - 3 - x^{2} - x h - 3 x + x + h + 3}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.8

将 $- 3 x$ 和 $x$ 相加。

$\frac{\frac{x^{2} + 2 x + h x + 3 h - 3 - x^{2} - x h - 2 x + h + 3}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.9

从 $x^{2}$ 中减去 $x^{2}$ 。

$\frac{\frac{2 x + h x + 3 h - 3 + 0 - x h - 2 x + h + 3}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.10

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$\frac{\frac{2 x + h x + 3 h - 3 - x h - 2 x + h + 3}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.11

从 $2 x$ 中减去 $2 x$ 。

$\frac{\frac{h x + 3 h - 3 - x h + 0 + h + 3}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.12

从 $h x$ 中减去 $x h$ 。

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解题步骤 4.1.5.12.1

将 $h$ 和 $x$ 重新排序。

$\frac{\frac{3 h - 3 + x h - x h + 0 + h + 3}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.12.2

从 $x h$ 中减去 $x h$ 。

$\frac{\frac{3 h - 3 + 0 + 0 + h + 3}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.13

将 $3 h$ 和 $0$ 相加。

$\frac{\frac{3 h - 3 + 0 + h + 3}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.14

将 $3 h$ 和 $0$ 相加。

$\frac{\frac{3 h - 3 + h + 3}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.15

将 $3 h$ 和 $h$ 相加。

$\frac{\frac{4 h - 3 + 3}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.16

将 $- 3$ 和 $3$ 相加。

$\frac{\frac{4 h + 0}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.17

将 $4 h$ 和 $0$ 相加。

$\frac{\frac{4 h}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

解题步骤 4.2

将分子乘以分母的倒数。

$\frac{4 h}{(x + 3) (x + h + 3)} \cdot \frac{1}{h}$

解题步骤 4.3

约去 $h$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.1

从 $4 h$ 中分解出因数 $h$ 。

$\frac{h \cdot 4}{(x + 3) (x + h + 3)} \cdot \frac{1}{h}$

解题步骤 4.3.2

约去公因数。

$\frac{h \cdot 4}{(x + 3) (x + h + 3)} \cdot \frac{1}{h}$

解题步骤 4.3.3

重写表达式。

$\frac{4}{(x + 3) (x + h + 3)}$

解题步骤 5

初级微积分 示例

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