初级微积分示例

$f (x) = \sqrt{x + 5}$ ; $[- 1, 7]$

解题步骤 1

将 $f (x) = \sqrt{x + 5}$ 写为等式。

$y = \sqrt{x + 5}$

解题步骤 2

运用平均变化率公式代入。

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解题步骤 2.1

函数的平均变化率可通过计算两点的 $y$ 的变化值除以两点的 $x$ 变化值来求得。

$\frac{f (7) - f (- 1)}{(7) - (- 1)}$

解题步骤 2.2

代入 $f (7)$ 和 $f (- 1)$ 的方程 $y = \sqrt{x + 5}$ 中，用对应的 $x$ 值替换函数中的 $x$ 。

$\frac{(\sqrt{(7) + 5}) - (\sqrt{(- 1) + 5})}{(7) - (- 1)}$

解题步骤 3

化简表达式。

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解题步骤 3.1

化简分子。

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解题步骤 3.1.1

将 $7$ 和 $5$ 相加。

$\frac{\sqrt{12} - \sqrt{- 1 + 5}}{7 - (- 1)}$

解题步骤 3.1.2

将 $12$ 重写为 $2^{2} \cdot 3$ 。

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解题步骤 3.1.2.1

从 $12$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{\sqrt{4 (3)} - \sqrt{- 1 + 5}}{7 - (- 1)}$

解题步骤 3.1.2.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$\frac{\sqrt{2^{2} \cdot 3} - \sqrt{- 1 + 5}}{7 - (- 1)}$

解题步骤 3.1.3

从根式下提出各项。

$\frac{2 \sqrt{3} - \sqrt{- 1 + 5}}{7 - (- 1)}$

解题步骤 3.1.4

将 $- 1$ 和 $5$ 相加。

$\frac{2 \sqrt{3} - \sqrt{4}}{7 - (- 1)}$

解题步骤 3.1.5

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$\frac{2 \sqrt{3} - \sqrt{2^{2}}}{7 - (- 1)}$

解题步骤 3.1.6

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\frac{2 \sqrt{3} - 1 \cdot 2}{7 - (- 1)}$

解题步骤 3.1.7

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{2 \sqrt{3} - 2}{7 - (- 1)}$

解题步骤 3.2

化简分母。

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解题步骤 3.2.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{2 \sqrt{3} - 2}{7 + 1}$

解题步骤 3.2.2

将 $7$ 和 $1$ 相加。

$\frac{2 \sqrt{3} - 2}{8}$

解题步骤 3.3

约去 $2 \sqrt{3} - 2$ 和 $8$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.1

从 $2 \sqrt{3}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (\sqrt{3}) - 2}{8}$

解题步骤 3.3.2

从 $- 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (\sqrt{3}) + 2 (- 1)}{8}$

解题步骤 3.3.3

从 $2 (\sqrt{3}) + 2 (- 1)$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (\sqrt{3} - 1)}{8}$

解题步骤 3.3.4

约去公因数。

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解题步骤 3.3.4.1

从 $8$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (\sqrt{3} - 1)}{2 (4)}$

解题步骤 3.3.4.2

约去公因数。

$\frac{2 (\sqrt{3} - 1)}{2 \cdot 4}$

解题步骤 3.3.4.3

重写表达式。

$\frac{\sqrt{3} - 1}{4}$

解题步骤 4

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{\sqrt{3} - 1}{4}$

小数形式：

$0.18301270 \dots$

初级微积分 示例

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