初级微积分示例

$f (x) = \frac{- 1}{x^{2} - 36}$

解题步骤 1

考虑差商公式。

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

解题步骤 2

求定义的补集。

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解题步骤 2.1

计算函数在 $x = x + h$ 处的值。

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解题步骤 2.1.1

使用表达式中的 $x + h$ 替换变量 $x$ 。

$f (x + h) = \frac{- 1}{{(x + h)}^{2} - 36}$

解题步骤 2.1.2

化简结果。

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解题步骤 2.1.2.1

化简分母。

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解题步骤 2.1.2.1.1

将 $36$ 重写为 $6^{2}$ 。

$f (x + h) = \frac{- 1}{{(x + h)}^{2} - 6^{2}}$

解题步骤 2.1.2.1.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = x + h$ 和 $b = 6$ 。

$f (x + h) = \frac{- 1}{(x + h + 6) (x + h - 6)}$

解题步骤 2.1.2.2

将负号移到分数的前面。

$f (x + h) = - \frac{1}{(x + h + 6) (x + h - 6)}$

解题步骤 2.1.2.3

最终答案为 $- \frac{1}{(x + h + 6) (x + h - 6)}$ 。

$- \frac{1}{(x + h + 6) (x + h - 6)}$

解题步骤 2.2

求定义的补集。

$f (x + h) = - \frac{1}{(x + h + 6) (x + h - 6)}$

$f (x) = - \frac{1}{(x + 6) (x - 6)}$

$f (x + h) = - \frac{1}{(x + h + 6) (x + h - 6)}$

$f (x) = - \frac{1}{(x + 6) (x - 6)}$

解题步骤 3

插入分量。

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{- \frac{1}{(x + h + 6) (x + h - 6)} - (- \frac{1}{(x + 6) (x - 6)})}{h}$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

化简分子。

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解题步骤 4.1.1

乘以 $- - \frac{1}{(x + 6) (x - 6)}$ 。

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解题步骤 4.1.1.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{- \frac{1}{(x + h + 6) (x + h - 6)} + 1 \frac{1}{(x + 6) (x - 6)}}{h}$

解题步骤 4.1.1.2

将 $\frac{1}{(x + 6) (x - 6)}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{- \frac{1}{(x + h + 6) (x + h - 6)} + \frac{1}{(x + 6) (x - 6)}}{h}$

解题步骤 4.1.2

要将 $- \frac{1}{(x + h + 6) (x + h - 6)}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{(x + 6) (x - 6)}{(x + 6) (x - 6)}$ 。

$\frac{- \frac{1}{(x + h + 6) (x + h - 6)} \cdot \frac{(x + 6) (x - 6)}{(x + 6) (x - 6)} + \frac{1}{(x + 6) (x - 6)}}{h}$

解题步骤 4.1.3

要将 $\frac{1}{(x + 6) (x - 6)}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{(x + h + 6) (x + h - 6)}{(x + h + 6) (x + h - 6)}$ 。

$\frac{- \frac{1}{(x + h + 6) (x + h - 6)} \cdot \frac{(x + 6) (x - 6)}{(x + 6) (x - 6)} + \frac{1}{(x + 6) (x - 6)} \cdot \frac{(x + h + 6) (x + h - 6)}{(x + h + 6) (x + h - 6)}}{h}$

解题步骤 4.1.4

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $(x + h + 6) (x + h - 6) (x + 6) (x - 6)$ 的形式。

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解题步骤 4.1.4.1

将 $\frac{1}{(x + h + 6) (x + h - 6)}$ 乘以 $\frac{(x + 6) (x - 6)}{(x + 6) (x - 6)}$ 。

$\frac{- \frac{(x + 6) (x - 6)}{(x + h + 6) (x + h - 6) ((x + 6) (x - 6))} + \frac{1}{(x + 6) (x - 6)} \cdot \frac{(x + h + 6) (x + h - 6)}{(x + h + 6) (x + h - 6)}}{h}$

解题步骤 4.1.4.2

将 $\frac{1}{(x + 6) (x - 6)}$ 乘以 $\frac{(x + h + 6) (x + h - 6)}{(x + h + 6) (x + h - 6)}$ 。

$\frac{- \frac{(x + 6) (x - 6)}{(x + h + 6) (x + h - 6) ((x + 6) (x - 6))} + \frac{(x + h + 6) (x + h - 6)}{(x + 6) (x - 6) ((x + h + 6) (x + h - 6))}}{h}$

解题步骤 4.1.4.3

重新排序 $(x + h + 6) (x + h - 6) ((x + 6) (x - 6))$ 的因式。

$\frac{- \frac{(x + 6) (x - 6)}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)} + \frac{(x + h + 6) (x + h - 6)}{(x + 6) (x - 6) ((x + h + 6) (x + h - 6))}}{h}$

解题步骤 4.1.4.4

重新排序 $(x + 6) (x - 6) ((x + h + 6) (x + h - 6))$ 的因式。

$\frac{- \frac{(x + 6) (x - 6)}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)} + \frac{(x + h + 6) (x + h - 6)}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)}}{h}$

解题步骤 4.1.5

在公分母上合并分子。

$\frac{\frac{- (x + 6) (x - 6) + (x + h + 6) (x + h - 6)}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)}}{h}$

解题步骤 4.1.6

化简分子。

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解题步骤 4.1.6.1

运用分配律。

$\frac{\frac{(- x - 1 \cdot 6) (x - 6) + (x + h + 6) (x + h - 6)}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)}}{h}$

解题步骤 4.1.6.2

将 $- 1$ 乘以 $6$ 。

$\frac{\frac{(- x - 6) (x - 6) + (x + h + 6) (x + h - 6)}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)}}{h}$

解题步骤 4.1.6.3

使用 FOIL 方法展开 $(- x - 6) (x - 6)$ 。

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解题步骤 4.1.6.3.1

运用分配律。

$\frac{\frac{- x (x - 6) - 6 (x - 6) + (x + h + 6) (x + h - 6)}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)}}{h}$

解题步骤 4.1.6.3.2

运用分配律。

$\frac{\frac{- x \cdot x - x \cdot - 6 - 6 (x - 6) + (x + h + 6) (x + h - 6)}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)}}{h}$

解题步骤 4.1.6.3.3

运用分配律。

$\frac{\frac{- x \cdot x - x \cdot - 6 - 6 x - 6 \cdot - 6 + (x + h + 6) (x + h - 6)}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)}}{h}$

解题步骤 4.1.6.4

化简并合并同类项。

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解题步骤 4.1.6.4.1

化简每一项。

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解题步骤 4.1.6.4.1.1

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 4.1.6.4.1.1.1

移动 $x$ 。

$\frac{\frac{- (x \cdot x) - x \cdot - 6 - 6 x - 6 \cdot - 6 + (x + h + 6) (x + h - 6)}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)}}{h}$

解题步骤 4.1.6.4.1.1.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{\frac{- x^{2} - x \cdot - 6 - 6 x - 6 \cdot - 6 + (x + h + 6) (x + h - 6)}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)}}{h}$

解题步骤 4.1.6.4.1.2

将 $- 6$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{\frac{- x^{2} + 6 x - 6 x - 6 \cdot - 6 + (x + h + 6) (x + h - 6)}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)}}{h}$

解题步骤 4.1.6.4.1.3

将 $- 6$ 乘以 $- 6$ 。

$\frac{\frac{- x^{2} + 6 x - 6 x + 36 + (x + h + 6) (x + h - 6)}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)}}{h}$

解题步骤 4.1.6.4.2

从 $6 x$ 中减去 $6 x$ 。

$\frac{\frac{- x^{2} + 0 + 36 + (x + h + 6) (x + h - 6)}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)}}{h}$

解题步骤 4.1.6.4.3

将 $- x^{2}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{\frac{- x^{2} + 36 + (x + h + 6) (x + h - 6)}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)}}{h}$

解题步骤 4.1.6.5

将第一个表达式中的每一项与第二个表达式中的每一项相乘来展开 $(x + h + 6) (x + h - 6)$ 。

$\frac{\frac{- x^{2} + 36 + x \cdot x + x h + x \cdot - 6 + h x + h \cdot h + h \cdot - 6 + 6 x + 6 h + 6 \cdot - 6}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)}}{h}$

解题步骤 4.1.6.6

合并 $x \cdot x + x h + x \cdot - 6 + h x + h \cdot h + h \cdot - 6 + 6 x + 6 h + 6 \cdot - 6$ 中相反的项。

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解题步骤 4.1.6.6.1

按照 $x \cdot - 6$ 和 $6 x$ 重新排列因数。

$\frac{\frac{- x^{2} + 36 + x \cdot x + x h - 6 x + h x + h \cdot h + h \cdot - 6 + 6 x + 6 h + 6 \cdot - 6}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)}}{h}$

解题步骤 4.1.6.6.2

将 $- 6 x$ 和 $6 x$ 相加。

$\frac{\frac{- x^{2} + 36 + x \cdot x + x h + h x + h \cdot h + h \cdot - 6 + 0 + 6 h + 6 \cdot - 6}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)}}{h}$

解题步骤 4.1.6.6.3

将 $x \cdot x + x h + h x + h \cdot h + h \cdot - 6$ 和 $0$ 相加。

$\frac{\frac{- x^{2} + 36 + x \cdot x + x h + h x + h \cdot h + h \cdot - 6 + 6 h + 6 \cdot - 6}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)}}{h}$

解题步骤 4.1.6.6.4

按照 $h \cdot - 6$ 和 $6 h$ 重新排列因数。

$\frac{\frac{- x^{2} + 36 + x \cdot x + x h + h x + h \cdot h - 6 h + 6 h + 6 \cdot - 6}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)}}{h}$

解题步骤 4.1.6.6.5

将 $- 6 h$ 和 $6 h$ 相加。

$\frac{\frac{- x^{2} + 36 + x \cdot x + x h + h x + h \cdot h + 0 + 6 \cdot - 6}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)}}{h}$

解题步骤 4.1.6.6.6

将 $x \cdot x + x h + h x + h \cdot h$ 和 $0$ 相加。

$\frac{\frac{- x^{2} + 36 + x \cdot x + x h + h x + h \cdot h + 6 \cdot - 6}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)}}{h}$

解题步骤 4.1.6.7

化简每一项。

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解题步骤 4.1.6.7.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{\frac{- x^{2} + 36 + x^{2} + x h + h x + h \cdot h + 6 \cdot - 6}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)}}{h}$

解题步骤 4.1.6.7.2

将 $h$ 乘以 $h$ 。

$\frac{\frac{- x^{2} + 36 + x^{2} + x h + h x + h^{2} + 6 \cdot - 6}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)}}{h}$

解题步骤 4.1.6.7.3

将 $6$ 乘以 $- 6$ 。

$\frac{\frac{- x^{2} + 36 + x^{2} + x h + h x + h^{2} - 36}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)}}{h}$

解题步骤 4.1.6.8

将 $x h$ 和 $h x$ 相加。

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解题步骤 4.1.6.8.1

将 $h$ 和 $x$ 重新排序。

$\frac{\frac{- x^{2} + 36 + x^{2} + x h + x h + h^{2} - 36}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)}}{h}$

解题步骤 4.1.6.8.2

将 $x h$ 和 $x h$ 相加。

$\frac{\frac{- x^{2} + 36 + x^{2} + 2 x h + h^{2} - 36}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)}}{h}$

解题步骤 4.1.6.9

将 $- x^{2}$ 和 $x^{2}$ 相加。

$\frac{\frac{0 + 36 + 2 x h + h^{2} - 36}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)}}{h}$

解题步骤 4.1.6.10

将 $0$ 和 $36$ 相加。

$\frac{\frac{36 + 2 x h + h^{2} - 36}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)}}{h}$

解题步骤 4.1.6.11

从 $36$ 中减去 $36$ 。

$\frac{\frac{2 x h + h^{2} + 0}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)}}{h}$

解题步骤 4.1.6.12

将 $2 x h + h^{2}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{\frac{2 x h + h^{2}}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)}}{h}$

解题步骤 4.1.6.13

从 $2 x h + h^{2}$ 中分解出因数 $h$ 。

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解题步骤 4.1.6.13.1

从 $2 x h$ 中分解出因数 $h$ 。

$\frac{\frac{h (2 x) + h^{2}}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)}}{h}$

解题步骤 4.1.6.13.2

从 $h^{2}$ 中分解出因数 $h$ 。

$\frac{\frac{h (2 x) + h (h)}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)}}{h}$

解题步骤 4.1.6.13.3

从 $h (2 x) + h (h)$ 中分解出因数 $h$ 。

$\frac{\frac{h (2 x + h)}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)}}{h}$

解题步骤 4.2

将分子乘以分母的倒数。

$\frac{h (2 x + h)}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)} \cdot \frac{1}{h}$

解题步骤 4.3

约去 $h$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.1

约去公因数。

$\frac{h (2 x + h)}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)} \cdot \frac{1}{h}$

解题步骤 4.3.2

重写表达式。

$\frac{2 x + h}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)}$

解题步骤 5

初级微积分 示例

初级微积分示例