初级微积分示例

$f (x) = 6 e^{x}$ , $[- 3, 3]$

解题步骤 1

将 $f (x) = 6 e^{x}$ 写为等式。

$y = 6 e^{x}$

解题步骤 2

运用平均变化率公式代入。

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解题步骤 2.1

函数的平均变化率可通过计算两点的 $y$ 的变化值除以两点的 $x$ 变化值来求得。

$\frac{f (3) - f (- 3)}{(3) - (- 3)}$

解题步骤 2.2

代入 $f (3)$ 和 $f (- 3)$ 的方程 $y = 6 e^{x}$ 中，用对应的 $x$ 值替换函数中的 $x$ 。

$\frac{(6 e^{3}) - (6 e^{- 3})}{(3) - (- 3)}$

解题步骤 3

化简表达式。

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解题步骤 3.1

化简分子。

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解题步骤 3.1.1

将 $- 1$ 乘以 $6$ 。

$\frac{6 e^{3} - 6 e^{- 3}}{3 - (- 3)}$

解题步骤 3.1.2

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$\frac{6 e^{3} - 6 \frac{1}{e^{3}}}{3 - (- 3)}$

解题步骤 3.1.3

组合 $- 6$ 和 $\frac{1}{e^{3}}$ 。

$\frac{6 e^{3} + \frac{- 6}{e^{3}}}{3 - (- 3)}$

解题步骤 3.1.4

将负号移到分数的前面。

$\frac{6 e^{3} - \frac{6}{e^{3}}}{3 - (- 3)}$

解题步骤 3.1.5

要将 $6 e^{3}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{e^{3}}{e^{3}}$ 。

$\frac{\frac{6 e^{3} e^{3}}{e^{3}} - \frac{6}{e^{3}}}{3 - (- 3)}$

解题步骤 3.1.6

在公分母上合并分子。

$\frac{\frac{6 e^{3} e^{3} - 6}{e^{3}}}{3 - (- 3)}$

解题步骤 3.1.7

通过指数相加将 $e^{3}$ 乘以 $e^{3}$ 。

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解题步骤 3.1.7.1

移动 $e^{3}$ 。

$\frac{\frac{6 (e^{3} e^{3}) - 6}{e^{3}}}{3 - (- 3)}$

解题步骤 3.1.7.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{\frac{6 e^{3 + 3} - 6}{e^{3}}}{3 - (- 3)}$

解题步骤 3.1.7.3

将 $3$ 和 $3$ 相加。

$\frac{\frac{6 e^{6} - 6}{e^{3}}}{3 - (- 3)}$

解题步骤 3.2

化简分母。

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解题步骤 3.2.1

将 $- 1$ 乘以 $- 3$ 。

$\frac{\frac{6 e^{6} - 6}{e^{3}}}{3 + 3}$

解题步骤 3.2.2

将 $3$ 和 $3$ 相加。

$\frac{\frac{6 e^{6} - 6}{e^{3}}}{6}$

解题步骤 3.3

将分子乘以分母的倒数。

$\frac{6 e^{6} - 6}{e^{3}} \cdot \frac{1}{6}$

解题步骤 3.4

化简项。

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解题步骤 3.4.1

将 $\frac{6 e^{6} - 6}{e^{3}}$ 乘以 $\frac{1}{6}$ 。

$\frac{6 e^{6} - 6}{e^{3} \cdot 6}$

解题步骤 3.4.2

约去 $6 e^{6} - 6$ 和 $6$ 的公因数。

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解题步骤 3.4.2.1

从 $6 e^{6}$ 中分解出因数 $6$ 。

$\frac{6 (e^{6}) - 6}{e^{3} \cdot 6}$

解题步骤 3.4.2.2

从 $- 6$ 中分解出因数 $6$ 。

$\frac{6 (e^{6}) + 6 \cdot - 1}{e^{3} \cdot 6}$

解题步骤 3.4.2.3

从 $6 (e^{6}) + 6 (- 1)$ 中分解出因数 $6$ 。

$\frac{6 (e^{6} - 1)}{e^{3} \cdot 6}$

解题步骤 3.4.2.4

约去公因数。

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解题步骤 3.4.2.4.1

从 $e^{3} \cdot 6$ 中分解出因数 $6$ 。

$\frac{6 (e^{6} - 1)}{6 \cdot e^{3}}$

解题步骤 3.4.2.4.2

约去公因数。

$\frac{6 (e^{6} - 1)}{6 \cdot e^{3}}$

解题步骤 3.4.2.4.3

重写表达式。

$\frac{e^{6} - 1}{e^{3}}$

解题步骤 3.5

化简分子。

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解题步骤 3.5.1

将 $e^{6}$ 重写为 ${(e^{2})}^{3}$ 。

$\frac{{(e^{2})}^{3} - 1}{e^{3}}$

解题步骤 3.5.2

将 $1$ 重写为 $1^{3}$ 。

$\frac{{(e^{2})}^{3} - 1^{3}}{e^{3}}$

解题步骤 3.5.3

因为两项都是完全立方数，所以使用立方差公式 $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ 进行因式分解，其中 $a = e^{2}$ 和 $b = 1$ 。

$\frac{(e^{2} - 1) ({(e^{2})}^{2} + e^{2} \cdot 1 + 1^{2})}{e^{3}}$

解题步骤 3.5.4

化简。

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解题步骤 3.5.4.1

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$\frac{(e^{2} - 1^{2}) ({(e^{2})}^{2} + e^{2} \cdot 1 + 1^{2})}{e^{3}}$

解题步骤 3.5.4.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = e$ 和 $b = 1$ 。

$\frac{(e + 1) (e - 1) ({(e^{2})}^{2} + e^{2} \cdot 1 + 1^{2})}{e^{3}}$

解题步骤 3.5.4.3

将 $e^{2}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{(e + 1) (e - 1) ({(e^{2})}^{2} + e^{2} + 1^{2})}{e^{3}}$

解题步骤 3.5.5

化简每一项。

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解题步骤 3.5.5.1

将 ${(e^{2})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.5.5.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{(e + 1) (e - 1) (e^{2 \cdot 2} + e^{2} + 1^{2})}{e^{3}}$

解题步骤 3.5.5.1.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{(e + 1) (e - 1) (e^{4} + e^{2} + 1^{2})}{e^{3}}$

解题步骤 3.5.5.2

一的任意次幂都为一。

$\frac{(e + 1) (e - 1) (e^{4} + e^{2} + 1)}{e^{3}}$

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