初级微积分示例

$S (t) = 155 (7 - \frac{7}{6 + t})$

解题步骤 1

考虑差商公式。

$\frac{f (t + h) - f t}{h}$

解题步骤 2

求定义的补集。

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解题步骤 2.1

计算函数在 $x = t + h$ 处的值。

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解题步骤 2.1.1

使用表达式中的 $t + h$ 替换变量 $t$ 。

$S (t + h) = 155 (7 - \frac{7}{6 + t + h})$

解题步骤 2.1.2

化简结果。

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解题步骤 2.1.2.1

去掉圆括号。

$S (t + h) = 155 (7 - \frac{7}{6 + t + h})$

解题步骤 2.1.2.2

要将 $7$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{6 + t + h}{6 + t + h}$ 。

$S (t + h) = 155 (\frac{7 (6 + t + h)}{6 + t + h} - \frac{7}{6 + t + h})$

解题步骤 2.1.2.3

在公分母上合并分子。

$S (t + h) = 155 (\frac{7 (6 + t + h) - 7}{6 + t + h})$

解题步骤 2.1.2.4

化简分子。

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解题步骤 2.1.2.4.1

从 $7 (6 + t + h) - 7$ 中分解出因数 $7$ 。

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解题步骤 2.1.2.4.1.1

从 $- 7$ 中分解出因数 $7$ 。

$S (t + h) = 155 (\frac{7 (6 + t + h) + 7 (- 1)}{6 + t + h})$

解题步骤 2.1.2.4.1.2

从 $7 (6 + t + h) + 7 (- 1)$ 中分解出因数 $7$ 。

$S (t + h) = 155 (\frac{7 (6 + t + h - 1)}{6 + t + h})$

解题步骤 2.1.2.4.2

从 $6$ 中减去 $1$ 。

$S (t + h) = 155 (\frac{7 (t + h + 5)}{6 + t + h})$

解题步骤 2.1.2.5

乘以 $155 \frac{7 (t + h + 5)}{6 + t + h}$ 。

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解题步骤 2.1.2.5.1

组合 $155$ 和 $\frac{7 (t + h + 5)}{6 + t + h}$ 。

$S (t + h) = \frac{155 (7 (t + h + 5))}{6 + t + h}$

解题步骤 2.1.2.5.2

将 $7$ 乘以 $155$ 。

$S (t + h) = \frac{1085 (t + h + 5)}{6 + t + h}$

解题步骤 2.1.2.6

最终答案为 $\frac{1085 (t + h + 5)}{6 + t + h}$ 。

$\frac{1085 (t + h + 5)}{6 + t + h}$

解题步骤 2.2

求定义的补集。

$S (t + h) = \frac{1085 (t + h + 5)}{6 + t + h}$

$S (t) = \frac{1085 (t + 5)}{6 + t}$

$S (t + h) = \frac{1085 (t + h + 5)}{6 + t + h}$

$S (t) = \frac{1085 (t + 5)}{6 + t}$

解题步骤 3

插入分量。

$\frac{S (t + h) - S t}{h} = \frac{\frac{1085 (t + h + 5)}{6 + t + h} - (\frac{1085 (t + 5)}{6 + t})}{h}$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

化简分子。

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解题步骤 4.1.1

要将 $\frac{1085 (t + h + 5)}{6 + t + h}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{6 + t}{6 + t}$ 。

$\frac{\frac{1085 (t + h + 5)}{6 + t + h} \cdot \frac{6 + t}{6 + t} - \frac{1085 (t + 5)}{6 + t}}{h}$

解题步骤 4.1.2

要将 $- \frac{1085 (t + 5)}{6 + t}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{6 + t + h}{6 + t + h}$ 。

$\frac{\frac{1085 (t + h + 5)}{6 + t + h} \cdot \frac{6 + t}{6 + t} - \frac{1085 (t + 5)}{6 + t} \cdot \frac{6 + t + h}{6 + t + h}}{h}$

解题步骤 4.1.3

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $(6 + t + h) (6 + t)$ 的形式。

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解题步骤 4.1.3.1

将 $\frac{1085 (t + h + 5)}{6 + t + h}$ 乘以 $\frac{6 + t}{6 + t}$ 。

$\frac{\frac{1085 (t + h + 5) (6 + t)}{(6 + t + h) (6 + t)} - \frac{1085 (t + 5)}{6 + t} \cdot \frac{6 + t + h}{6 + t + h}}{h}$

解题步骤 4.1.3.2

将 $\frac{1085 (t + 5)}{6 + t}$ 乘以 $\frac{6 + t + h}{6 + t + h}$ 。

$\frac{\frac{1085 (t + h + 5) (6 + t)}{(6 + t + h) (6 + t)} - \frac{1085 (t + 5) (6 + t + h)}{(6 + t) (6 + t + h)}}{h}$

解题步骤 4.1.3.3

重新排序 $(6 + t + h) (6 + t)$ 的因式。

$\frac{\frac{1085 (t + h + 5) (6 + t)}{(6 + t) (6 + t + h)} - \frac{1085 (t + 5) (6 + t + h)}{(6 + t) (6 + t + h)}}{h}$

解题步骤 4.1.4

在公分母上合并分子。

$\frac{\frac{1085 (t + h + 5) (6 + t) - 1085 (t + 5) (6 + t + h)}{(6 + t) (6 + t + h)}}{h}$

解题步骤 4.1.5

以因式分解的形式重写 $\frac{1085 (t + h + 5) (6 + t) - 1085 (t + 5) (6 + t + h)}{(6 + t) (6 + t + h)}$ 。

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解题步骤 4.1.5.1

从 $1085 (t + h + 5) (6 + t) - 1085 (t + 5) (6 + t + h)$ 中分解出因数 $1085$ 。

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解题步骤 4.1.5.1.1

从 $1085 (t + h + 5) (6 + t)$ 中分解出因数 $1085$ 。

$\frac{\frac{1085 ((t + h + 5) (6 + t)) - 1085 (t + 5) (6 + t + h)}{(6 + t) (6 + t + h)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.1.2

从 $- 1085 (t + 5) (6 + t + h)$ 中分解出因数 $1085$ 。

$\frac{\frac{1085 ((t + h + 5) (6 + t)) + 1085 (- (t + 5) (6 + t + h))}{(6 + t) (6 + t + h)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.1.3

从 $1085 ((t + h + 5) (6 + t)) + 1085 (- (t + 5) (6 + t + h))$ 中分解出因数 $1085$ 。

$\frac{\frac{1085 ((t + h + 5) (6 + t) - (t + 5) (6 + t + h))}{(6 + t) (6 + t + h)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.2

将第一个表达式中的每一项与第二个表达式中的每一项相乘来展开 $(t + h + 5) (6 + t)$ 。

$\frac{\frac{1085 (t \cdot 6 + t \cdot t + h \cdot 6 + h t + 5 \cdot 6 + 5 t - (t + 5) (6 + t + h))}{(6 + t) (6 + t + h)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.3

化简每一项。

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解题步骤 4.1.5.3.1

将 $6$ 移到 $t$ 的左侧。

$\frac{\frac{1085 (6 \cdot t + t \cdot t + h \cdot 6 + h t + 5 \cdot 6 + 5 t - (t + 5) (6 + t + h))}{(6 + t) (6 + t + h)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.3.2

将 $t$ 乘以 $t$ 。

$\frac{\frac{1085 (6 t + t^{2} + h \cdot 6 + h t + 5 \cdot 6 + 5 t - (t + 5) (6 + t + h))}{(6 + t) (6 + t + h)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.3.3

将 $6$ 移到 $h$ 的左侧。

$\frac{\frac{1085 (6 t + t^{2} + 6 \cdot h + h t + 5 \cdot 6 + 5 t - (t + 5) (6 + t + h))}{(6 + t) (6 + t + h)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.3.4

将 $5$ 乘以 $6$ 。

$\frac{\frac{1085 (6 t + t^{2} + 6 h + h t + 30 + 5 t - (t + 5) (6 + t + h))}{(6 + t) (6 + t + h)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.4

将 $6 t$ 和 $5 t$ 相加。

$\frac{\frac{1085 (11 t + t^{2} + 6 h + h t + 30 - (t + 5) (6 + t + h))}{(6 + t) (6 + t + h)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.5

运用分配律。

$\frac{\frac{1085 (11 t + t^{2} + 6 h + h t + 30 + (- t - 1 \cdot 5) (6 + t + h))}{(6 + t) (6 + t + h)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.6

将 $- 1$ 乘以 $5$ 。

$\frac{\frac{1085 (11 t + t^{2} + 6 h + h t + 30 + (- t - 5) (6 + t + h))}{(6 + t) (6 + t + h)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.7

将第一个表达式中的每一项与第二个表达式中的每一项相乘来展开 $(- t - 5) (6 + t + h)$ 。

$\frac{\frac{1085 (11 t + t^{2} + 6 h + h t + 30 - t \cdot 6 - t \cdot t - t h - 5 \cdot 6 - 5 t - 5 h)}{(6 + t) (6 + t + h)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.8

化简每一项。

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解题步骤 4.1.5.8.1

将 $6$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{\frac{1085 (11 t + t^{2} + 6 h + h t + 30 - 6 t - t \cdot t - t h - 5 \cdot 6 - 5 t - 5 h)}{(6 + t) (6 + t + h)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.8.2

通过指数相加将 $t$ 乘以 $t$ 。

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解题步骤 4.1.5.8.2.1

移动 $t$ 。

$\frac{\frac{1085 (11 t + t^{2} + 6 h + h t + 30 - 6 t - (t \cdot t) - t h - 5 \cdot 6 - 5 t - 5 h)}{(6 + t) (6 + t + h)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.8.2.2

将 $t$ 乘以 $t$ 。

$\frac{\frac{1085 (11 t + t^{2} + 6 h + h t + 30 - 6 t - t^{2} - t h - 5 \cdot 6 - 5 t - 5 h)}{(6 + t) (6 + t + h)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.8.3

将 $- 5$ 乘以 $6$ 。

$\frac{\frac{1085 (11 t + t^{2} + 6 h + h t + 30 - 6 t - t^{2} - t h - 30 - 5 t - 5 h)}{(6 + t) (6 + t + h)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.9

从 $- 6 t$ 中减去 $5 t$ 。

$\frac{\frac{1085 (11 t + t^{2} + 6 h + h t + 30 - t^{2} - t h - 30 - 11 t - 5 h)}{(6 + t) (6 + t + h)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.10

从 $11 t$ 中减去 $11 t$ 。

$\frac{\frac{1085 (t^{2} + 6 h + h t + 30 - t^{2} - t h - 30 + 0 - 5 h)}{(6 + t) (6 + t + h)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.11

从 $t^{2}$ 中减去 $t^{2}$ 。

$\frac{\frac{1085 (6 h + h t + 30 + 0 - t h - 30 + 0 - 5 h)}{(6 + t) (6 + t + h)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.12

将 $6 h$ 和 $0$ 相加。

$\frac{\frac{1085 (6 h + h t + 30 - t h - 30 + 0 - 5 h)}{(6 + t) (6 + t + h)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.13

将 $6 h$ 和 $0$ 相加。

$\frac{\frac{1085 (6 h + h t + 30 - t h - 30 - 5 h)}{(6 + t) (6 + t + h)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.14

从 $6 h$ 中减去 $5 h$ 。

$\frac{\frac{1085 (h + h t + 30 - t h - 30)}{(6 + t) (6 + t + h)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.15

从 $h t$ 中减去 $t h$ 。

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解题步骤 4.1.5.15.1

将 $h$ 和 $t$ 重新排序。

$\frac{\frac{1085 (h + t h - t h + 30 - 30)}{(6 + t) (6 + t + h)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.15.2

从 $t h$ 中减去 $t h$ 。

$\frac{\frac{1085 (h + 0 + 30 - 30)}{(6 + t) (6 + t + h)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.16

将 $h$ 和 $0$ 相加。

$\frac{\frac{1085 (h + 30 - 30)}{(6 + t) (6 + t + h)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.17

从 $30$ 中减去 $30$ 。

$\frac{\frac{1085 (h + 0)}{(6 + t) (6 + t + h)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.18

将 $h$ 和 $0$ 相加。

$\frac{\frac{1085 h}{(6 + t) (6 + t + h)}}{h}$

解题步骤 4.2

将分子乘以分母的倒数。

$\frac{1085 h}{(6 + t) (6 + t + h)} \cdot \frac{1}{h}$

解题步骤 4.3

约去 $h$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.1

从 $1085 h$ 中分解出因数 $h$ 。

$\frac{h \cdot 1085}{(6 + t) (6 + t + h)} \cdot \frac{1}{h}$

解题步骤 4.3.2

约去公因数。

$\frac{h \cdot 1085}{(6 + t) (6 + t + h)} \cdot \frac{1}{h}$

解题步骤 4.3.3

重写表达式。

$\frac{1085}{(6 + t) (6 + t + h)}$

解题步骤 5

初级微积分 示例

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