初级微积分示例

$f (x) = \cos (x)$ , $[- \frac{π}{3}, \frac{π}{3}]$

解题步骤 1

将 $f (x) = \cos (x)$ 写为等式。

$y = \cos (x)$

解题步骤 2

运用平均变化率公式代入。

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解题步骤 2.1

函数的平均变化率可通过计算两点的 $y$ 的变化值除以两点的 $x$ 变化值来求得。

$\frac{f (\frac{π}{3}) - f (- \frac{π}{3})}{(\frac{π}{3}) - (- \frac{π}{3})}$

解题步骤 2.2

代入 $f (\frac{π}{3})$ 和 $f (- \frac{π}{3})$ 的方程 $y = \cos (x)$ 中，用对应的 $x$ 值替换函数中的 $x$ 。

$\frac{(\cos (\frac{π}{3})) - (\cos (- \frac{π}{3}))}{(\frac{π}{3}) - (- \frac{π}{3})}$

解题步骤 3

化简表达式。

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解题步骤 3.1

将分数的分子和分母乘以 $3$ 。

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解题步骤 3.1.1

将 $\frac{\cos (\frac{π}{3}) - \cos (- \frac{π}{3})}{\frac{π}{3} - - \frac{π}{3}}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{3}{3} \cdot \frac{\cos (\frac{π}{3}) - \cos (- \frac{π}{3})}{\frac{π}{3} - - \frac{π}{3}}$

解题步骤 3.1.2

合并。

$\frac{3 (\cos (\frac{π}{3}) - \cos (- \frac{π}{3}))}{3 (\frac{π}{3} - - \frac{π}{3})}$

解题步骤 3.2

运用分配律。

$\frac{3 \cos (\frac{π}{3}) + 3 (- \cos (- \frac{π}{3}))}{3 \frac{π}{3} + 3 (- - \frac{π}{3})}$

解题步骤 3.3

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.1

约去公因数。

$\frac{3 \cos (\frac{π}{3}) + 3 (- \cos (- \frac{π}{3}))}{3 \frac{π}{3} + 3 (- - \frac{π}{3})}$

解题步骤 3.3.2

重写表达式。

$\frac{3 \cos (\frac{π}{3}) + 3 (- \cos (- \frac{π}{3}))}{π + 3 (- - \frac{π}{3})}$

解题步骤 3.4

化简分子。

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解题步骤 3.4.1

从 $3 \cos (\frac{π}{3}) + 3 (- \cos (- \frac{π}{3}))$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 (\cos (\frac{π}{3}) - \cos (- \frac{π}{3}))}{π + 3 (- - \frac{π}{3})}$

解题步骤 3.4.2

$\cos (\frac{π}{3})$ 的准确值为 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{3 (\frac{1}{2} - \cos (- \frac{π}{3}))}{π + 3 (- - \frac{π}{3})}$

解题步骤 3.4.3

加上 $2 π$ 的全角，直至角度大于等于 $0$ 且小于 $2 π$ 。

$\frac{3 (\frac{1}{2} - \cos (\frac{5 π}{3}))}{π + 3 (- - \frac{π}{3})}$

解题步骤 3.4.4

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。

$\frac{3 (\frac{1}{2} - \cos (\frac{π}{3}))}{π + 3 (- - \frac{π}{3})}$

解题步骤 3.4.5

$\cos (\frac{π}{3})$ 的准确值为 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{3 (\frac{1}{2} - \frac{1}{2})}{π + 3 (- - \frac{π}{3})}$

解题步骤 3.4.6

在公分母上合并分子。

$\frac{3 \frac{1 - 1}{2}}{π + 3 (- - \frac{π}{3})}$

解题步骤 3.4.7

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$\frac{3 (\frac{0}{2})}{π + 3 (- - \frac{π}{3})}$

解题步骤 3.4.8

用 $0$ 除以 $2$ 。

$\frac{3 \cdot 0}{π + 3 (- - \frac{π}{3})}$

解题步骤 3.5

化简分母。

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解题步骤 3.5.1

乘以 $- - \frac{π}{3}$ 。

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解题步骤 3.5.1.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{3 \cdot 0}{π + 3 (1 \frac{π}{3})}$

解题步骤 3.5.1.2

将 $\frac{π}{3}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{3 \cdot 0}{π + 3 \frac{π}{3}}$

解题步骤 3.5.2

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 3.5.2.1

约去公因数。

$\frac{3 \cdot 0}{π + 3 \frac{π}{3}}$

解题步骤 3.5.2.2

重写表达式。

$\frac{3 \cdot 0}{π + π}$

解题步骤 3.5.3

将 $π$ 和 $π$ 相加。

$\frac{3 \cdot 0}{2 π}$

解题步骤 3.6

通过约去公因数来化简表达式。

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解题步骤 3.6.1

将 $3$ 乘以 $0$ 。

$\frac{0}{2 π}$

解题步骤 3.6.2

约去 $0$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.6.2.1

从 $0$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (0)}{2 π}$

解题步骤 3.6.2.2

约去公因数。

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解题步骤 3.6.2.2.1

从 $2 π$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (0)}{2 (π)}$

解题步骤 3.6.2.2.2

约去公因数。

$\frac{2 \cdot 0}{2 π}$

解题步骤 3.6.2.2.3

重写表达式。

$\frac{0}{π}$

解题步骤 3.6.3

用 $0$ 除以 $π$ 。

$0$

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