初级微积分示例

$f (x) = 4 x^{5} - 9 x^{2} + 8$

解题步骤 1

考虑差商公式。

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

解题步骤 2

求定义的补集。

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解题步骤 2.1

计算函数在 $x = x + h$ 处的值。

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解题步骤 2.1.1

使用表达式中的 $x + h$ 替换变量 $x$ 。

$f (x + h) = 4 {(x + h)}^{5} - 9 {(x + h)}^{2} + 8$

解题步骤 2.1.2

化简结果。

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解题步骤 2.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.2.1.1

使用二项式定理。

$f (x + h) = 4 (x^{5} + 5 x^{4} h + 10 x^{3} h^{2} + 10 x^{2} h^{3} + 5 x h^{4} + h^{5}) - 9 {(x + h)}^{2} + 8$

解题步骤 2.1.2.1.2

运用分配律。

$f (x + h) = 4 x^{5} + 4 (5 x^{4} h) + 4 (10 x^{3} h^{2}) + 4 (10 x^{2} h^{3}) + 4 (5 x h^{4}) + 4 h^{5} - 9 {(x + h)}^{2} + 8$

解题步骤 2.1.2.1.3

化简。

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解题步骤 2.1.2.1.3.1

将 $5$ 乘以 $4$ 。

$f (x + h) = 4 x^{5} + 20 (x^{4} h) + 4 (10 x^{3} h^{2}) + 4 (10 x^{2} h^{3}) + 4 (5 x h^{4}) + 4 h^{5} - 9 {(x + h)}^{2} + 8$

解题步骤 2.1.2.1.3.2

将 $10$ 乘以 $4$ 。

$f (x + h) = 4 x^{5} + 20 (x^{4} h) + 40 (x^{3} h^{2}) + 4 (10 x^{2} h^{3}) + 4 (5 x h^{4}) + 4 h^{5} - 9 {(x + h)}^{2} + 8$

解题步骤 2.1.2.1.3.3

将 $10$ 乘以 $4$ 。

$f (x + h) = 4 x^{5} + 20 (x^{4} h) + 40 (x^{3} h^{2}) + 40 (x^{2} h^{3}) + 4 (5 x h^{4}) + 4 h^{5} - 9 {(x + h)}^{2} + 8$

解题步骤 2.1.2.1.3.4

将 $5$ 乘以 $4$ 。

$f (x + h) = 4 x^{5} + 20 (x^{4} h) + 40 (x^{3} h^{2}) + 40 (x^{2} h^{3}) + 20 (x h^{4}) + 4 h^{5} - 9 {(x + h)}^{2} + 8$

解题步骤 2.1.2.1.4

去掉圆括号。

$f (x + h) = 4 x^{5} + 20 x^{4} h + 40 x^{3} h^{2} + 40 x^{2} h^{3} + 20 x h^{4} + 4 h^{5} - 9 {(x + h)}^{2} + 8$

解题步骤 2.1.2.1.5

将 ${(x + h)}^{2}$ 重写为 $(x + h) (x + h)$ 。

$f (x + h) = 4 x^{5} + 20 x^{4} h + 40 x^{3} h^{2} + 40 x^{2} h^{3} + 20 x h^{4} + 4 h^{5} - 9 ((x + h) (x + h)) + 8$

解题步骤 2.1.2.1.6

使用 FOIL 方法展开 $(x + h) (x + h)$ 。

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解题步骤 2.1.2.1.6.1

运用分配律。

$f (x + h) = 4 x^{5} + 20 x^{4} h + 40 x^{3} h^{2} + 40 x^{2} h^{3} + 20 x h^{4} + 4 h^{5} - 9 (x (x + h) + h (x + h)) + 8$

解题步骤 2.1.2.1.6.2

运用分配律。

$f (x + h) = 4 x^{5} + 20 x^{4} h + 40 x^{3} h^{2} + 40 x^{2} h^{3} + 20 x h^{4} + 4 h^{5} - 9 (x \cdot x + x h + h (x + h)) + 8$

解题步骤 2.1.2.1.6.3

运用分配律。

$f (x + h) = 4 x^{5} + 20 x^{4} h + 40 x^{3} h^{2} + 40 x^{2} h^{3} + 20 x h^{4} + 4 h^{5} - 9 (x \cdot x + x h + h x + h \cdot h) + 8$

解题步骤 2.1.2.1.7

化简并合并同类项。

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解题步骤 2.1.2.1.7.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.2.1.7.1.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$f (x + h) = 4 x^{5} + 20 x^{4} h + 40 x^{3} h^{2} + 40 x^{2} h^{3} + 20 x h^{4} + 4 h^{5} - 9 (x^{2} + x h + h x + h \cdot h) + 8$

解题步骤 2.1.2.1.7.1.2

将 $h$ 乘以 $h$ 。

$f (x + h) = 4 x^{5} + 20 x^{4} h + 40 x^{3} h^{2} + 40 x^{2} h^{3} + 20 x h^{4} + 4 h^{5} - 9 (x^{2} + x h + h x + h^{2}) + 8$

解题步骤 2.1.2.1.7.2

将 $x h$ 和 $h x$ 相加。

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解题步骤 2.1.2.1.7.2.1

将 $x$ 和 $h$ 重新排序。

$f (x + h) = 4 x^{5} + 20 x^{4} h + 40 x^{3} h^{2} + 40 x^{2} h^{3} + 20 x h^{4} + 4 h^{5} - 9 (x^{2} + h x + h x + h^{2}) + 8$

解题步骤 2.1.2.1.7.2.2

将 $h x$ 和 $h x$ 相加。

$f (x + h) = 4 x^{5} + 20 x^{4} h + 40 x^{3} h^{2} + 40 x^{2} h^{3} + 20 x h^{4} + 4 h^{5} - 9 (x^{2} + 2 h x + h^{2}) + 8$

解题步骤 2.1.2.1.8

运用分配律。

$f (x + h) = 4 x^{5} + 20 x^{4} h + 40 x^{3} h^{2} + 40 x^{2} h^{3} + 20 x h^{4} + 4 h^{5} - 9 x^{2} - 9 (2 h x) - 9 h^{2} + 8$

解题步骤 2.1.2.1.9

将 $2$ 乘以 $- 9$ 。

$f (x + h) = 4 x^{5} + 20 x^{4} h + 40 x^{3} h^{2} + 40 x^{2} h^{3} + 20 x h^{4} + 4 h^{5} - 9 x^{2} - 18 h x - 9 h^{2} + 8$

解题步骤 2.1.2.2

最终答案为 $4 x^{5} + 20 x^{4} h + 40 x^{3} h^{2} + 40 x^{2} h^{3} + 20 x h^{4} + 4 h^{5} - 9 x^{2} - 18 h x - 9 h^{2} + 8$ 。

$4 x^{5} + 20 x^{4} h + 40 x^{3} h^{2} + 40 x^{2} h^{3} + 20 x h^{4} + 4 h^{5} - 9 x^{2} - 18 h x - 9 h^{2} + 8$

解题步骤 2.2

重新排序。

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解题步骤 2.2.1

移动 $x^{4}$ 。

$4 x^{5} + 20 h x^{4} + 40 x^{3} h^{2} + 40 x^{2} h^{3} + 20 x h^{4} + 4 h^{5} - 9 x^{2} - 18 h x - 9 h^{2} + 8$

解题步骤 2.2.2

移动 $x^{3}$ 。

$4 x^{5} + 20 h x^{4} + 40 h^{2} x^{3} + 40 x^{2} h^{3} + 20 x h^{4} + 4 h^{5} - 9 x^{2} - 18 h x - 9 h^{2} + 8$

解题步骤 2.2.3

移动 $x^{2}$ 。

$4 x^{5} + 20 h x^{4} + 40 h^{2} x^{3} + 40 h^{3} x^{2} + 20 x h^{4} + 4 h^{5} - 9 x^{2} - 18 h x - 9 h^{2} + 8$

解题步骤 2.2.4

移动 $x$ 。

$4 x^{5} + 20 h x^{4} + 40 h^{2} x^{3} + 40 h^{3} x^{2} + 20 h^{4} x + 4 h^{5} - 9 x^{2} - 18 h x - 9 h^{2} + 8$

解题步骤 2.2.5

移动 $- 9 x^{2}$ 。

$4 x^{5} + 20 h x^{4} + 40 h^{2} x^{3} + 40 h^{3} x^{2} + 20 h^{4} x + 4 h^{5} - 18 h x - 9 h^{2} - 9 x^{2} + 8$

解题步骤 2.2.6

移动 $- 18 h x$ 。

$4 x^{5} + 20 h x^{4} + 40 h^{2} x^{3} + 40 h^{3} x^{2} + 20 h^{4} x + 4 h^{5} - 9 h^{2} - 18 h x - 9 x^{2} + 8$

解题步骤 2.2.7

移动 $4 x^{5}$ 。

$20 h x^{4} + 40 h^{2} x^{3} + 40 h^{3} x^{2} + 20 h^{4} x + 4 h^{5} + 4 x^{5} - 9 h^{2} - 18 h x - 9 x^{2} + 8$

解题步骤 2.2.8

移动 $20 h x^{4}$ 。

$40 h^{2} x^{3} + 40 h^{3} x^{2} + 20 h^{4} x + 4 h^{5} + 20 h x^{4} + 4 x^{5} - 9 h^{2} - 18 h x - 9 x^{2} + 8$

解题步骤 2.2.9

移动 $40 h^{2} x^{3}$ 。

$40 h^{3} x^{2} + 20 h^{4} x + 4 h^{5} + 40 h^{2} x^{3} + 20 h x^{4} + 4 x^{5} - 9 h^{2} - 18 h x - 9 x^{2} + 8$

解题步骤 2.2.10

移动 $40 h^{3} x^{2}$ 。

$20 h^{4} x + 4 h^{5} + 40 h^{3} x^{2} + 40 h^{2} x^{3} + 20 h x^{4} + 4 x^{5} - 9 h^{2} - 18 h x - 9 x^{2} + 8$

解题步骤 2.2.11

将 $20 h^{4} x$ 和 $4 h^{5}$ 重新排序。

$4 h^{5} + 20 h^{4} x + 40 h^{3} x^{2} + 40 h^{2} x^{3} + 20 h x^{4} + 4 x^{5} - 9 h^{2} - 18 h x - 9 x^{2} + 8$

解题步骤 2.3

求定义的补集。

$f (x + h) = 4 h^{5} + 20 h^{4} x + 40 h^{3} x^{2} + 40 h^{2} x^{3} + 20 h x^{4} + 4 x^{5} - 9 h^{2} - 18 h x - 9 x^{2} + 8$

$f (x) = 4 x^{5} - 9 x^{2} + 8$

$f (x + h) = 4 h^{5} + 20 h^{4} x + 40 h^{3} x^{2} + 40 h^{2} x^{3} + 20 h x^{4} + 4 x^{5} - 9 h^{2} - 18 h x - 9 x^{2} + 8$

$f (x) = 4 x^{5} - 9 x^{2} + 8$

解题步骤 3

插入分量。

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{4 h^{5} + 20 h^{4} x + 40 h^{3} x^{2} + 40 h^{2} x^{3} + 20 h x^{4} + 4 x^{5} - 9 h^{2} - 18 h x - 9 x^{2} + 8 - (4 x^{5} - 9 x^{2} + 8)}{h}$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

化简分子。

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解题步骤 4.1.1

运用分配律。

$\frac{4 h^{5} + 20 h^{4} x + 40 h^{3} x^{2} + 40 h^{2} x^{3} + 20 h x^{4} + 4 x^{5} - 9 h^{2} - 18 h x - 9 x^{2} + 8 - (4 x^{5}) - (- 9 x^{2}) - 1 \cdot 8}{h}$

解题步骤 4.1.2

化简。

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解题步骤 4.1.2.1

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{4 h^{5} + 20 h^{4} x + 40 h^{3} x^{2} + 40 h^{2} x^{3} + 20 h x^{4} + 4 x^{5} - 9 h^{2} - 18 h x - 9 x^{2} + 8 - 4 x^{5} - (- 9 x^{2}) - 1 \cdot 8}{h}$

解题步骤 4.1.2.2

将 $- 9$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{4 h^{5} + 20 h^{4} x + 40 h^{3} x^{2} + 40 h^{2} x^{3} + 20 h x^{4} + 4 x^{5} - 9 h^{2} - 18 h x - 9 x^{2} + 8 - 4 x^{5} + 9 x^{2} - 1 \cdot 8}{h}$

解题步骤 4.1.2.3

将 $- 1$ 乘以 $8$ 。

$\frac{4 h^{5} + 20 h^{4} x + 40 h^{3} x^{2} + 40 h^{2} x^{3} + 20 h x^{4} + 4 x^{5} - 9 h^{2} - 18 h x - 9 x^{2} + 8 - 4 x^{5} + 9 x^{2} - 8}{h}$

解题步骤 4.1.3

从 $4 x^{5}$ 中减去 $4 x^{5}$ 。

$\frac{4 h^{5} + 20 h^{4} x + 40 h^{3} x^{2} + 40 h^{2} x^{3} + 20 h x^{4} - 9 h^{2} - 18 h x - 9 x^{2} + 8 + 0 + 9 x^{2} - 8}{h}$

解题步骤 4.1.4

将 $4 h^{5}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{4 h^{5} + 20 h^{4} x + 40 h^{3} x^{2} + 40 h^{2} x^{3} + 20 h x^{4} - 9 h^{2} - 18 h x - 9 x^{2} + 8 + 9 x^{2} - 8}{h}$

解题步骤 4.1.5

将 $- 9 x^{2}$ 和 $9 x^{2}$ 相加。

$\frac{4 h^{5} + 20 h^{4} x + 40 h^{3} x^{2} + 40 h^{2} x^{3} + 20 h x^{4} - 9 h^{2} - 18 h x + 0 + 8 - 8}{h}$

解题步骤 4.1.6

将 $4 h^{5}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{4 h^{5} + 20 h^{4} x + 40 h^{3} x^{2} + 40 h^{2} x^{3} + 20 h x^{4} - 9 h^{2} - 18 h x + 8 - 8}{h}$

解题步骤 4.1.7

从 $8$ 中减去 $8$ 。

$\frac{4 h^{5} + 20 h^{4} x + 40 h^{3} x^{2} + 40 h^{2} x^{3} + 20 h x^{4} - 9 h^{2} - 18 h x + 0}{h}$

解题步骤 4.1.8

将 $4 h^{5} + 20 h^{4} x + 40 h^{3} x^{2} + 40 h^{2} x^{3} + 20 h x^{4} - 9 h^{2} - 18 h x$ 和 $0$ 相加。

$\frac{4 h^{5} + 20 h^{4} x + 40 h^{3} x^{2} + 40 h^{2} x^{3} + 20 h x^{4} - 9 h^{2} - 18 h x}{h}$

解题步骤 4.1.9

从 $4 h^{5} + 20 h^{4} x + 40 h^{3} x^{2} + 40 h^{2} x^{3} + 20 h x^{4} - 9 h^{2} - 18 h x$ 中分解出因数 $h$ 。

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解题步骤 4.1.9.1

从 $4 h^{5}$ 中分解出因数 $h$ 。

$\frac{h (4 h^{4}) + 20 h^{4} x + 40 h^{3} x^{2} + 40 h^{2} x^{3} + 20 h x^{4} - 9 h^{2} - 18 h x}{h}$

解题步骤 4.1.9.2

从 $20 h^{4} x$ 中分解出因数 $h$ 。

$\frac{h (4 h^{4}) + h (20 h^{3} x) + 40 h^{3} x^{2} + 40 h^{2} x^{3} + 20 h x^{4} - 9 h^{2} - 18 h x}{h}$

解题步骤 4.1.9.3

从 $40 h^{3} x^{2}$ 中分解出因数 $h$ 。

$\frac{h (4 h^{4}) + h (20 h^{3} x) + h (40 h^{2} x^{2}) + 40 h^{2} x^{3} + 20 h x^{4} - 9 h^{2} - 18 h x}{h}$

解题步骤 4.1.9.4

从 $40 h^{2} x^{3}$ 中分解出因数 $h$ 。

$\frac{h (4 h^{4}) + h (20 h^{3} x) + h (40 h^{2} x^{2}) + h (40 h x^{3}) + 20 h x^{4} - 9 h^{2} - 18 h x}{h}$

解题步骤 4.1.9.5

从 $20 h x^{4}$ 中分解出因数 $h$ 。

$\frac{h (4 h^{4}) + h (20 h^{3} x) + h (40 h^{2} x^{2}) + h (40 h x^{3}) + h (20 x^{4}) - 9 h^{2} - 18 h x}{h}$

解题步骤 4.1.9.6

从 $- 9 h^{2}$ 中分解出因数 $h$ 。

$\frac{h (4 h^{4}) + h (20 h^{3} x) + h (40 h^{2} x^{2}) + h (40 h x^{3}) + h (20 x^{4}) + h (- 9 h) - 18 h x}{h}$

解题步骤 4.1.9.7

从 $- 18 h x$ 中分解出因数 $h$ 。

$\frac{h (4 h^{4}) + h (20 h^{3} x) + h (40 h^{2} x^{2}) + h (40 h x^{3}) + h (20 x^{4}) + h (- 9 h) + h (- 18 x)}{h}$

解题步骤 4.1.9.8

从 $h (4 h^{4}) + h (20 h^{3} x)$ 中分解出因数 $h$ 。

$\frac{h (4 h^{4} + 20 h^{3} x) + h (40 h^{2} x^{2}) + h (40 h x^{3}) + h (20 x^{4}) + h (- 9 h) + h (- 18 x)}{h}$

解题步骤 4.1.9.9

从 $h (4 h^{4} + 20 h^{3} x) + h (40 h^{2} x^{2})$ 中分解出因数 $h$ 。

$\frac{h (4 h^{4} + 20 h^{3} x + 40 h^{2} x^{2}) + h (40 h x^{3}) + h (20 x^{4}) + h (- 9 h) + h (- 18 x)}{h}$

解题步骤 4.1.9.10

从 $h (4 h^{4} + 20 h^{3} x + 40 h^{2} x^{2}) + h (40 h x^{3})$ 中分解出因数 $h$ 。

$\frac{h (4 h^{4} + 20 h^{3} x + 40 h^{2} x^{2} + 40 h x^{3}) + h (20 x^{4}) + h (- 9 h) + h (- 18 x)}{h}$

解题步骤 4.1.9.11

从 $h (4 h^{4} + 20 h^{3} x + 40 h^{2} x^{2} + 40 h x^{3}) + h (20 x^{4})$ 中分解出因数 $h$ 。

$\frac{h (4 h^{4} + 20 h^{3} x + 40 h^{2} x^{2} + 40 h x^{3} + 20 x^{4}) + h (- 9 h) + h (- 18 x)}{h}$

解题步骤 4.1.9.12

从 $h (4 h^{4} + 20 h^{3} x + 40 h^{2} x^{2} + 40 h x^{3} + 20 x^{4}) + h (- 9 h)$ 中分解出因数 $h$ 。

$\frac{h (4 h^{4} + 20 h^{3} x + 40 h^{2} x^{2} + 40 h x^{3} + 20 x^{4} - 9 h) + h (- 18 x)}{h}$

解题步骤 4.1.9.13

从 $h (4 h^{4} + 20 h^{3} x + 40 h^{2} x^{2} + 40 h x^{3} + 20 x^{4} - 9 h) + h (- 18 x)$ 中分解出因数 $h$ 。

$\frac{h (4 h^{4} + 20 h^{3} x + 40 h^{2} x^{2} + 40 h x^{3} + 20 x^{4} - 9 h - 18 x)}{h}$

解题步骤 4.2

通过约去公因数来化简表达式。

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解题步骤 4.2.1

约去 $h$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.1.1

约去公因数。

$\frac{h (4 h^{4} + 20 h^{3} x + 40 h^{2} x^{2} + 40 h x^{3} + 20 x^{4} - 9 h - 18 x)}{h}$

解题步骤 4.2.1.2

用 $4 h^{4} + 20 h^{3} x + 40 h^{2} x^{2} + 40 h x^{3} + 20 x^{4} - 9 h - 18 x$ 除以 $1$ 。

$4 h^{4} + 20 h^{3} x + 40 h^{2} x^{2} + 40 h x^{3} + 20 x^{4} - 9 h - 18 x$

解题步骤 4.2.2

化简表达式。

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解题步骤 4.2.2.1

移动 $h^{3}$ 。

$4 h^{4} + 20 x h^{3} + 40 h^{2} x^{2} + 40 h x^{3} + 20 x^{4} - 9 h - 18 x$

解题步骤 4.2.2.2

移动 $h^{2}$ 。

$4 h^{4} + 20 x h^{3} + 40 x^{2} h^{2} + 40 h x^{3} + 20 x^{4} - 9 h - 18 x$

解题步骤 4.2.2.3

移动 $h$ 。

$4 h^{4} + 20 x h^{3} + 40 x^{2} h^{2} + 40 x^{3} h + 20 x^{4} - 9 h - 18 x$

解题步骤 4.2.2.4

移动 $- 9 h$ 。

$4 h^{4} + 20 x h^{3} + 40 x^{2} h^{2} + 40 x^{3} h + 20 x^{4} - 18 x - 9 h$

解题步骤 4.2.2.5

移动 $4 h^{4}$ 。

$20 x h^{3} + 40 x^{2} h^{2} + 40 x^{3} h + 20 x^{4} + 4 h^{4} - 18 x - 9 h$

解题步骤 4.2.2.6

移动 $20 x h^{3}$ 。

$40 x^{2} h^{2} + 40 x^{3} h + 20 x^{4} + 20 x h^{3} + 4 h^{4} - 18 x - 9 h$

解题步骤 4.2.2.7

移动 $40 x^{2} h^{2}$ 。

$40 x^{3} h + 20 x^{4} + 40 x^{2} h^{2} + 20 x h^{3} + 4 h^{4} - 18 x - 9 h$

解题步骤 4.2.2.8

将 $40 x^{3} h$ 和 $20 x^{4}$ 重新排序。

$20 x^{4} + 40 x^{3} h + 40 x^{2} h^{2} + 20 x h^{3} + 4 h^{4} - 18 x - 9 h$

解题步骤 5

初级微积分 示例

初级微积分示例