初级微积分示例

$y = \frac{1}{3} x^{2} - 4$

解题步骤 1

将 $y = \frac{1}{3} x^{2} - 4$ 书写为一个函数。

$f (x) = \frac{1}{3} x^{2} - 4$

解题步骤 2

考虑差商公式。

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

解题步骤 3

求定义的补集。

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解题步骤 3.1

计算函数在 $x = x + h$ 处的值。

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解题步骤 3.1.1

使用表达式中的 $x + h$ 替换变量 $x$ 。

$f (x + h) = \frac{1}{3} \cdot {(x + h)}^{2} - 4$

解题步骤 3.1.2

化简结果。

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解题步骤 3.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 3.1.2.1.1

将 ${(x + h)}^{2}$ 重写为 $(x + h) (x + h)$ 。

$f (x + h) = \frac{1}{3} \cdot ((x + h) (x + h)) - 4$

解题步骤 3.1.2.1.2

使用 FOIL 方法展开 $(x + h) (x + h)$ 。

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解题步骤 3.1.2.1.2.1

运用分配律。

$f (x + h) = \frac{1}{3} \cdot (x (x + h) + h (x + h)) - 4$

解题步骤 3.1.2.1.2.2

运用分配律。

$f (x + h) = \frac{1}{3} \cdot (x \cdot x + x h + h (x + h)) - 4$

解题步骤 3.1.2.1.2.3

运用分配律。

$f (x + h) = \frac{1}{3} \cdot (x \cdot x + x h + h x + h \cdot h) - 4$

解题步骤 3.1.2.1.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 3.1.2.1.3.1

化简每一项。

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解题步骤 3.1.2.1.3.1.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$f (x + h) = \frac{1}{3} \cdot (x^{2} + x h + h x + h \cdot h) - 4$

解题步骤 3.1.2.1.3.1.2

将 $h$ 乘以 $h$ 。

$f (x + h) = \frac{1}{3} \cdot (x^{2} + x h + h x + h^{2}) - 4$

解题步骤 3.1.2.1.3.2

将 $x h$ 和 $h x$ 相加。

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解题步骤 3.1.2.1.3.2.1

将 $x$ 和 $h$ 重新排序。

$f (x + h) = \frac{1}{3} \cdot (x^{2} + h x + h x + h^{2}) - 4$

解题步骤 3.1.2.1.3.2.2

将 $h x$ 和 $h x$ 相加。

$f (x + h) = \frac{1}{3} \cdot (x^{2} + 2 h x + h^{2}) - 4$

解题步骤 3.1.2.1.4

运用分配律。

$f (x + h) = \frac{1}{3} x^{2} + \frac{1}{3} \cdot (2 h x) + \frac{1}{3} h^{2} - 4$

解题步骤 3.1.2.1.5

化简。

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解题步骤 3.1.2.1.5.1

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $x^{2}$ 。

$f (x + h) = \frac{x^{2}}{3} + \frac{1}{3} \cdot (2 h x) + \frac{1}{3} h^{2} - 4$

解题步骤 3.1.2.1.5.2

乘以 $\frac{1}{3} (2 h x)$ 。

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解题步骤 3.1.2.1.5.2.1

组合 $2$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$f (x + h) = \frac{x^{2}}{3} + \frac{2}{3} \cdot (h x) + \frac{1}{3} h^{2} - 4$

解题步骤 3.1.2.1.5.2.2

组合 $h$ 和 $\frac{2}{3}$ 。

$f (x + h) = \frac{x^{2}}{3} + \frac{h \cdot 2}{3} \cdot x + \frac{1}{3} h^{2} - 4$

解题步骤 3.1.2.1.5.2.3

组合 $\frac{h \cdot 2}{3}$ 和 $x$ 。

$f (x + h) = \frac{x^{2}}{3} + \frac{h \cdot (2 x)}{3} + \frac{1}{3} h^{2} - 4$

解题步骤 3.1.2.1.5.3

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $h^{2}$ 。

$f (x + h) = \frac{x^{2}}{3} + \frac{h \cdot (2 x)}{3} + \frac{h^{2}}{3} - 4$

解题步骤 3.1.2.1.6

将 $2$ 移到 $h$ 的左侧。

$f (x + h) = \frac{x^{2}}{3} + \frac{2 h x}{3} + \frac{h^{2}}{3} - 4$

解题步骤 3.1.2.2

最终答案为 $\frac{x^{2}}{3} + \frac{2 h x}{3} + \frac{h^{2}}{3} - 4$ 。

$\frac{x^{2}}{3} + \frac{2 h x}{3} + \frac{h^{2}}{3} - 4$

解题步骤 3.2

重新排序。

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解题步骤 3.2.1

移动 $\frac{x^{2}}{3}$ 。

$\frac{2 h x}{3} + \frac{h^{2}}{3} + \frac{x^{2}}{3} - 4$

解题步骤 3.2.2

将 $\frac{2 h x}{3}$ 和 $\frac{h^{2}}{3}$ 重新排序。

$\frac{h^{2}}{3} + \frac{2 h x}{3} + \frac{x^{2}}{3} - 4$

解题步骤 3.3

求定义的补集。

$f (x + h) = \frac{h^{2}}{3} + \frac{2 h x}{3} + \frac{x^{2}}{3} - 4$

$f (x) = \frac{x^{2}}{3} - 4$

$f (x + h) = \frac{h^{2}}{3} + \frac{2 h x}{3} + \frac{x^{2}}{3} - 4$

$f (x) = \frac{x^{2}}{3} - 4$

解题步骤 4

插入分量。

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{\frac{h^{2}}{3} + \frac{2 h x}{3} + \frac{x^{2}}{3} - 4 - (\frac{x^{2}}{3} - 4)}{h}$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

化简分子。

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解题步骤 5.1.1

运用分配律。

$\frac{\frac{h^{2}}{3} + \frac{2 h x}{3} + \frac{x^{2}}{3} - 4 - \frac{x^{2}}{3} - - 4}{h}$

解题步骤 5.1.2

将 $- 1$ 乘以 $- 4$ 。

$\frac{\frac{h^{2}}{3} + \frac{2 h x}{3} + \frac{x^{2}}{3} - 4 - \frac{x^{2}}{3} + 4}{h}$

解题步骤 5.1.3

从 $\frac{x^{2}}{3}$ 中减去 $\frac{x^{2}}{3}$ 。

$\frac{\frac{h^{2}}{3} + \frac{2 h x}{3} + 0 - 4 + 4}{h}$

解题步骤 5.1.4

将 $\frac{h^{2}}{3}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{\frac{h^{2}}{3} + \frac{2 h x}{3} - 4 + 4}{h}$

解题步骤 5.1.5

将 $- 4$ 和 $4$ 相加。

$\frac{\frac{h^{2}}{3} + \frac{2 h x}{3} + 0}{h}$

解题步骤 5.1.6

将 $\frac{h^{2}}{3} + \frac{2 h x}{3}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{\frac{h^{2}}{3} + \frac{2 h x}{3}}{h}$

解题步骤 5.1.7

在公分母上合并分子。

$\frac{\frac{h^{2} + 2 h x}{3}}{h}$

解题步骤 5.1.8

化简分子。

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解题步骤 5.1.8.1

移动 $h$ 。

$\frac{\frac{h^{2} + 2 x h}{3}}{h}$

解题步骤 5.1.8.2

将 $h^{2}$ 和 $2 x h$ 重新排序。

$\frac{\frac{2 x h + h^{2}}{3}}{h}$

解题步骤 5.1.9

从 $2 x h + h^{2}$ 中分解出因数 $h$ 。

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解题步骤 5.1.9.1

从 $2 x h$ 中分解出因数 $h$ 。

$\frac{\frac{h (2 x) + h^{2}}{3}}{h}$

解题步骤 5.1.9.2

从 $h^{2}$ 中分解出因数 $h$ 。

$\frac{\frac{h (2 x) + h (h)}{3}}{h}$

解题步骤 5.1.9.3

从 $h (2 x) + h (h)$ 中分解出因数 $h$ 。

$\frac{\frac{h (2 x + h)}{3}}{h}$

解题步骤 5.2

将分子乘以分母的倒数。

$\frac{h (2 x + h)}{3} \cdot \frac{1}{h}$

解题步骤 5.3

约去 $h$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.1

约去公因数。

$\frac{h (2 x + h)}{3} \cdot \frac{1}{h}$

解题步骤 5.3.2

重写表达式。

$\frac{2 x + h}{3}$

解题步骤 6

初级微积分 示例

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