初级微积分示例

$V = \frac{4 π r^{3}}{3}$

解题步骤 1

将 $V = \frac{4 π r^{3}}{3}$ 书写为一个函数。

$f (r) = \frac{4 π r^{3}}{3}$

解题步骤 2

考虑差商公式。

$\frac{f (r + h) - f r}{h}$

解题步骤 3

求定义的补集。

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解题步骤 3.1

计算函数在 $x = r + h$ 处的值。

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解题步骤 3.1.1

使用表达式中的 $r + h$ 替换变量 $r$ 。

$f (r + h) = \frac{4 π {(r + h)}^{3}}{3}$

解题步骤 3.1.2

最终答案为 $\frac{4 π {(r + h)}^{3}}{3}$ 。

$\frac{4 π {(r + h)}^{3}}{3}$

解题步骤 3.2

求定义的补集。

$f (r + h) = \frac{4 π {(r + h)}^{3}}{3}$

$f (r) = \frac{4 π r^{3}}{3}$

$f (r + h) = \frac{4 π {(r + h)}^{3}}{3}$

$f (r) = \frac{4 π r^{3}}{3}$

解题步骤 4

插入分量。

$\frac{f (r + h) - f r}{h} = \frac{\frac{4 π {(r + h)}^{3}}{3} - (\frac{4 π r^{3}}{3})}{h}$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

化简分子。

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解题步骤 5.1.1

在公分母上合并分子。

$\frac{\frac{4 π {(r + h)}^{3} - 4 π r^{3}}{3}}{h}$

解题步骤 5.1.2

以因式分解的形式重写 $\frac{4 π {(r + h)}^{3} - 4 π r^{3}}{3}$ 。

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解题步骤 5.1.2.1

使用二项式定理。

$\frac{\frac{4 π (r^{3} + 3 r^{2} h + 3 r h^{2} + h^{3}) - 4 π r^{3}}{3}}{h}$

解题步骤 5.1.2.2

运用分配律。

$\frac{\frac{4 π r^{3} + 4 π (3 r^{2} h) + 4 π (3 r h^{2}) + 4 π h^{3} - 4 π r^{3}}{3}}{h}$

解题步骤 5.1.2.3

化简。

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解题步骤 5.1.2.3.1

将 $3$ 乘以 $4$ 。

$\frac{\frac{4 π r^{3} + 12 π (r^{2} h) + 4 π (3 r h^{2}) + 4 π h^{3} - 4 π r^{3}}{3}}{h}$

解题步骤 5.1.2.3.2

将 $3$ 乘以 $4$ 。

$\frac{\frac{4 π r^{3} + 12 π (r^{2} h) + 12 π (r h^{2}) + 4 π h^{3} - 4 π r^{3}}{3}}{h}$

解题步骤 5.1.2.4

去掉圆括号。

$\frac{\frac{4 π r^{3} + 12 π r^{2} h + 12 π r h^{2} + 4 π h^{3} - 4 π r^{3}}{3}}{h}$

解题步骤 5.1.2.5

从 $4 π r^{3}$ 中减去 $4 π r^{3}$ 。

$\frac{\frac{12 π r^{2} h + 12 π r h^{2} + 4 π h^{3} + 0}{3}}{h}$

解题步骤 5.1.2.6

将 $12 π r^{2} h + 12 π r h^{2} + 4 π h^{3}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{\frac{12 π r^{2} h + 12 π r h^{2} + 4 π h^{3}}{3}}{h}$

解题步骤 5.1.2.7

从 $12 π r^{2} h + 12 π r h^{2} + 4 π h^{3}$ 中分解出因数 $4 π h$ 。

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解题步骤 5.1.2.7.1

从 $12 π r^{2} h$ 中分解出因数 $4 π h$ 。

$\frac{\frac{4 π h (3 r^{2}) + 12 π r h^{2} + 4 π h^{3}}{3}}{h}$

解题步骤 5.1.2.7.2

从 $12 π r h^{2}$ 中分解出因数 $4 π h$ 。

$\frac{\frac{4 π h (3 r^{2}) + 4 π h (3 r h) + 4 π h^{3}}{3}}{h}$

解题步骤 5.1.2.7.3

从 $4 π h^{3}$ 中分解出因数 $4 π h$ 。

$\frac{\frac{4 π h (3 r^{2}) + 4 π h (3 r h) + 4 π h \cdot h^{2}}{3}}{h}$

解题步骤 5.1.2.7.4

从 $4 π h (3 r^{2}) + 4 π h (3 r h)$ 中分解出因数 $4 π h$ 。

$\frac{\frac{4 π h (3 r^{2} + 3 r h) + 4 π h \cdot h^{2}}{3}}{h}$

解题步骤 5.1.2.7.5

从 $4 π h (3 r^{2} + 3 r h) + 4 π h \cdot h^{2}$ 中分解出因数 $4 π h$ 。

$\frac{\frac{4 π h (3 r^{2} + 3 r h + h^{2})}{3}}{h}$

解题步骤 5.2

将分子乘以分母的倒数。

$\frac{4 π h (3 r^{2} + 3 r h + h^{2})}{3} \cdot \frac{1}{h}$

解题步骤 5.3

合并。

$\frac{4 π h (3 r^{2} + 3 r h + h^{2}) \cdot 1}{3 h}$

解题步骤 5.4

约去 $h$ 的公因数。

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解题步骤 5.4.1

约去公因数。

$\frac{4 π h (3 r^{2} + 3 r h + h^{2}) \cdot 1}{3 h}$

解题步骤 5.4.2

重写表达式。

$\frac{4 π (3 r^{2} + 3 r h + h^{2}) \cdot 1}{3}$

解题步骤 5.5

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$\frac{4 π (3 r^{2} + 3 r h + h^{2})}{3}$

解题步骤 6

初级微积分 示例

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