初级微积分示例

$f (x) = x^{2} + x - 1$ ;, $[- 2, - \frac{7}{4}]$

解题步骤 1

将 $f (x) = x^{2} + x - 1$ 写为等式。

$y = x^{2} + x - 1$

解题步骤 2

运用平均变化率公式代入。

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解题步骤 2.1

函数的平均变化率可通过计算两点的 $y$ 的变化值除以两点的 $x$ 变化值来求得。

$\frac{f (- \frac{7}{4}) - f (- 2)}{(- \frac{7}{4}) - (- 2)}$

解题步骤 2.2

代入 $f (- \frac{7}{4})$ 和 $f (- 2)$ 的方程 $y = x^{2} + x - 1$ 中，用对应的 $x$ 值替换函数中的 $x$ 。

$\frac{{(- \frac{7}{4})}^{2} - \frac{7}{4} - 1 - ({(- 2)}^{2} - 2 - 1)}{(- \frac{7}{4}) - (- 2)}$

解题步骤 3

化简表达式。

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解题步骤 3.1

去掉圆括号。

$\frac{{(- \frac{7}{4})}^{2} - \frac{7}{4} - 1 - ({(- 2)}^{2} - 2 - 1)}{(- \frac{7}{4}) - (- 2)}$

解题步骤 3.2

将分数的分子和分母乘以 $4$ 。

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解题步骤 3.2.1

将 $\frac{{(- \frac{7}{4})}^{2} - \frac{7}{4} - 1 - ({(- 2)}^{2} - 2 - 1)}{- \frac{7}{4} - (- 2)}$ 乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$\frac{4}{4} \cdot \frac{{(- \frac{7}{4})}^{2} - \frac{7}{4} - 1 - ({(- 2)}^{2} - 2 - 1)}{- \frac{7}{4} - (- 2)}$

解题步骤 3.2.2

合并。

$\frac{4 ({(- \frac{7}{4})}^{2} - \frac{7}{4} - 1 - ({(- 2)}^{2} - 2 - 1))}{4 (- \frac{7}{4} - (- 2))}$

解题步骤 3.3

运用分配律。

$\frac{4 {(- \frac{7}{4})}^{2} + 4 (- \frac{7}{4}) + 4 \cdot - 1 + 4 (- ({(- 2)}^{2} - 2 - 1))}{4 (- \frac{7}{4}) + 4 (- (- 2))}$

解题步骤 3.4

通过相约进行化简。

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解题步骤 3.4.1

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 3.4.1.1

将 $- \frac{7}{4}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{4 {(- \frac{7}{4})}^{2} + 4 (\frac{- 7}{4}) + 4 \cdot - 1 + 4 (- ({(- 2)}^{2} - 2 - 1))}{4 (- \frac{7}{4}) + 4 (- (- 2))}$

解题步骤 3.4.1.2

约去公因数。

$\frac{4 {(- \frac{7}{4})}^{2} + 4 (\frac{- 7}{4}) + 4 \cdot - 1 + 4 (- ({(- 2)}^{2} - 2 - 1))}{4 (- \frac{7}{4}) + 4 (- (- 2))}$

解题步骤 3.4.1.3

重写表达式。

$\frac{4 {(- \frac{7}{4})}^{2} - 7 + 4 \cdot - 1 + 4 (- ({(- 2)}^{2} - 2 - 1))}{4 (- \frac{7}{4}) + 4 (- (- 2))}$

解题步骤 3.4.2

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 3.4.2.1

将 $- \frac{7}{4}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{4 {(- \frac{7}{4})}^{2} - 7 + 4 \cdot - 1 + 4 (- ({(- 2)}^{2} - 2 - 1))}{4 (\frac{- 7}{4}) + 4 (- (- 2))}$

解题步骤 3.4.2.2

约去公因数。

$\frac{4 {(- \frac{7}{4})}^{2} - 7 + 4 \cdot - 1 + 4 (- ({(- 2)}^{2} - 2 - 1))}{4 (\frac{- 7}{4}) + 4 (- (- 2))}$

解题步骤 3.4.2.3

重写表达式。

$\frac{4 {(- \frac{7}{4})}^{2} - 7 + 4 \cdot - 1 + 4 (- ({(- 2)}^{2} - 2 - 1))}{- 7 + 4 (- (- 2))}$

解题步骤 3.5

化简分子。

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解题步骤 3.5.1

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 3.5.1.1

对 $- \frac{7}{4}$ 运用乘积法则。

$\frac{4 ({(- 1)}^{2} {(\frac{7}{4})}^{2}) - 7 + 4 \cdot - 1 + 4 (- ({(- 2)}^{2} - 2 - 1))}{- 7 + 4 (- (- 2))}$

解题步骤 3.5.1.2

对 $\frac{7}{4}$ 运用乘积法则。

$\frac{4 ({(- 1)}^{2} \frac{7^{2}}{4^{2}}) - 7 + 4 \cdot - 1 + 4 (- ({(- 2)}^{2} - 2 - 1))}{- 7 + 4 (- (- 2))}$

解题步骤 3.5.2

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{4 (1 \frac{7^{2}}{4^{2}}) - 7 + 4 \cdot - 1 + 4 (- ({(- 2)}^{2} - 2 - 1))}{- 7 + 4 (- (- 2))}$

解题步骤 3.5.3

将 $\frac{7^{2}}{4^{2}}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{4 \frac{7^{2}}{4^{2}} - 7 + 4 \cdot - 1 + 4 (- ({(- 2)}^{2} - 2 - 1))}{- 7 + 4 (- (- 2))}$

解题步骤 3.5.4

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 3.5.4.1

从 $4^{2}$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{4 \frac{7^{2}}{4 \cdot 4} - 7 + 4 \cdot - 1 + 4 (- ({(- 2)}^{2} - 2 - 1))}{- 7 + 4 (- (- 2))}$

解题步骤 3.5.4.2

约去公因数。

$\frac{4 \frac{7^{2}}{4 \cdot 4} - 7 + 4 \cdot - 1 + 4 (- ({(- 2)}^{2} - 2 - 1))}{- 7 + 4 (- (- 2))}$

解题步骤 3.5.4.3

重写表达式。

$\frac{\frac{7^{2}}{4} - 7 + 4 \cdot - 1 + 4 (- ({(- 2)}^{2} - 2 - 1))}{- 7 + 4 (- (- 2))}$

解题步骤 3.5.5

对 $7$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{\frac{49}{4} - 7 + 4 \cdot - 1 + 4 (- ({(- 2)}^{2} - 2 - 1))}{- 7 + 4 (- (- 2))}$

解题步骤 3.5.6

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{\frac{49}{4} - 7 - 4 + 4 (- ({(- 2)}^{2} - 2 - 1))}{- 7 + 4 (- (- 2))}$

解题步骤 3.5.7

对 $- 2$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{\frac{49}{4} - 7 - 4 + 4 (- (4 - 2 - 1))}{- 7 + 4 (- (- 2))}$

解题步骤 3.5.8

从 $4$ 中减去 $2$ 。

$\frac{\frac{49}{4} - 7 - 4 + 4 (- (2 - 1))}{- 7 + 4 (- (- 2))}$

解题步骤 3.5.9

从 $2$ 中减去 $1$ 。

$\frac{\frac{49}{4} - 7 - 4 + 4 (- 1 \cdot 1)}{- 7 + 4 (- (- 2))}$

解题步骤 3.5.10

乘以 $4 (- 1 \cdot 1)$ 。

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解题步骤 3.5.10.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\frac{49}{4} - 7 - 4 + 4 \cdot - 1}{- 7 + 4 (- (- 2))}$

解题步骤 3.5.10.2

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{\frac{49}{4} - 7 - 4 - 4}{- 7 + 4 (- (- 2))}$

解题步骤 3.5.11

要将 $- 7$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$\frac{\frac{49}{4} - 7 \cdot \frac{4}{4} - 4 - 4}{- 7 + 4 (- (- 2))}$

解题步骤 3.5.12

组合 $- 7$ 和 $\frac{4}{4}$ 。

$\frac{\frac{49}{4} + \frac{- 7 \cdot 4}{4} - 4 - 4}{- 7 + 4 (- (- 2))}$

解题步骤 3.5.13

在公分母上合并分子。

$\frac{\frac{49 - 7 \cdot 4}{4} - 4 - 4}{- 7 + 4 (- (- 2))}$

解题步骤 3.5.14

化简分子。

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解题步骤 3.5.14.1

将 $- 7$ 乘以 $4$ 。

$\frac{\frac{49 - 28}{4} - 4 - 4}{- 7 + 4 (- (- 2))}$

解题步骤 3.5.14.2

从 $49$ 中减去 $28$ 。

$\frac{\frac{21}{4} - 4 - 4}{- 7 + 4 (- (- 2))}$

解题步骤 3.5.15

要将 $- 4$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$\frac{\frac{21}{4} - 4 \cdot \frac{4}{4} - 4}{- 7 + 4 (- (- 2))}$

解题步骤 3.5.16

组合 $- 4$ 和 $\frac{4}{4}$ 。

$\frac{\frac{21}{4} + \frac{- 4 \cdot 4}{4} - 4}{- 7 + 4 (- (- 2))}$

解题步骤 3.5.17

在公分母上合并分子。

$\frac{\frac{21 - 4 \cdot 4}{4} - 4}{- 7 + 4 (- (- 2))}$

解题步骤 3.5.18

化简分子。

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解题步骤 3.5.18.1

将 $- 4$ 乘以 $4$ 。

$\frac{\frac{21 - 16}{4} - 4}{- 7 + 4 (- (- 2))}$

解题步骤 3.5.18.2

从 $21$ 中减去 $16$ 。

$\frac{\frac{5}{4} - 4}{- 7 + 4 (- (- 2))}$

解题步骤 3.5.19

要将 $- 4$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$\frac{\frac{5}{4} - 4 \cdot \frac{4}{4}}{- 7 + 4 (- (- 2))}$

解题步骤 3.5.20

组合 $- 4$ 和 $\frac{4}{4}$ 。

$\frac{\frac{5}{4} + \frac{- 4 \cdot 4}{4}}{- 7 + 4 (- (- 2))}$

解题步骤 3.5.21

在公分母上合并分子。

$\frac{\frac{5 - 4 \cdot 4}{4}}{- 7 + 4 (- (- 2))}$

解题步骤 3.5.22

化简分子。

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解题步骤 3.5.22.1

将 $- 4$ 乘以 $4$ 。

$\frac{\frac{5 - 16}{4}}{- 7 + 4 (- (- 2))}$

解题步骤 3.5.22.2

从 $5$ 中减去 $16$ 。

$\frac{\frac{- 11}{4}}{- 7 + 4 (- (- 2))}$

解题步骤 3.5.23

将负号移到分数的前面。

$\frac{- \frac{11}{4}}{- 7 + 4 (- (- 2))}$

解题步骤 3.6

化简分母。

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解题步骤 3.6.1

乘以 $4 (- (- 2))$ 。

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解题步骤 3.6.1.1

将 $- 1$ 乘以 $- 2$ 。

$\frac{- \frac{11}{4}}{- 7 + 4 \cdot 2}$

解题步骤 3.6.1.2

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$\frac{- \frac{11}{4}}{- 7 + 8}$

解题步骤 3.6.2

将 $- 7$ 和 $8$ 相加。

$\frac{- \frac{11}{4}}{1}$

解题步骤 3.7

用 $- \frac{11}{4}$ 除以 $1$ 。

$- \frac{11}{4}$

初级微积分 示例

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