初级微积分示例

$V = \frac{4}{3} π r^{3}$

解题步骤 1

将 $V = \frac{4}{3} π r^{3}$ 书写为一个函数。

$f (r) = \frac{4}{3} π r^{3}$

解题步骤 2

考虑差商公式。

$\frac{f (r + h) - f r}{h}$

解题步骤 3

求定义的补集。

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解题步骤 3.1

计算函数在 $x = r + h$ 处的值。

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解题步骤 3.1.1

使用表达式中的 $r + h$ 替换变量 $r$ 。

$f (r + h) = \frac{4}{3} \cdot (π {(r + h)}^{3})$

解题步骤 3.1.2

化简结果。

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解题步骤 3.1.2.1

使用二项式定理。

$f (r + h) = \frac{4}{3} \cdot (π (r^{3} + 3 r^{2} h + 3 r h^{2} + h^{3}))$

解题步骤 3.1.2.2

运用分配律。

$f (r + h) = \frac{4}{3} \cdot (π r^{3} + π (3 r^{2} h) + π (3 r h^{2}) + π h^{3})$

解题步骤 3.1.2.3

去掉圆括号。

$f (r + h) = \frac{4}{3} \cdot (π r^{3} + π \cdot (3 r^{2} h) + π \cdot (3 r h^{2}) + π h^{3})$

解题步骤 3.1.2.4

化简每一项。

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解题步骤 3.1.2.4.1

将 $3$ 移到 $π$ 的左侧。

$f (r + h) = \frac{4}{3} \cdot (π r^{3} + 3 \cdot (π r^{2} h) + π \cdot (3 r h^{2}) + π h^{3})$

解题步骤 3.1.2.4.2

将 $3$ 移到 $π$ 的左侧。

$f (r + h) = \frac{4}{3} \cdot (π r^{3} + 3 π r^{2} h + 3 π r h^{2} + π h^{3})$

解题步骤 3.1.2.5

运用分配律。

$f (r + h) = \frac{4}{3} \cdot (π r^{3}) + \frac{4}{3} \cdot (3 π r^{2} h) + \frac{4}{3} \cdot (3 π r h^{2}) + \frac{4}{3} \cdot (π h^{3})$

解题步骤 3.1.2.6

化简。

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解题步骤 3.1.2.6.1

乘以 $\frac{4}{3} (π r^{3})$ 。

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解题步骤 3.1.2.6.1.1

组合 $π$ 和 $\frac{4}{3}$ 。

$f (r + h) = \frac{π \cdot 4}{3} r^{3} + \frac{4}{3} \cdot (3 π r^{2} h) + \frac{4}{3} \cdot (3 π r h^{2}) + \frac{4}{3} \cdot (π h^{3})$

解题步骤 3.1.2.6.1.2

组合 $\frac{π \cdot 4}{3}$ 和 $r^{3}$ 。

$f (r + h) = \frac{π \cdot (4 r^{3})}{3} + \frac{4}{3} \cdot (3 π r^{2} h) + \frac{4}{3} \cdot (3 π r h^{2}) + \frac{4}{3} \cdot (π h^{3})$

解题步骤 3.1.2.6.2

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 3.1.2.6.2.1

从 $3 π r^{2} h$ 中分解出因数 $3$ 。

$f (r + h) = \frac{π \cdot (4 r^{3})}{3} + \frac{4}{3} \cdot (3 (π r^{2} h)) + \frac{4}{3} \cdot (3 π r h^{2}) + \frac{4}{3} \cdot (π h^{3})$

解题步骤 3.1.2.6.2.2

约去公因数。

$f (r + h) = \frac{π \cdot (4 r^{3})}{3} + \frac{4}{3} \cdot (3 (π r^{2} h)) + \frac{4}{3} \cdot (3 π r h^{2}) + \frac{4}{3} \cdot (π h^{3})$

解题步骤 3.1.2.6.2.3

重写表达式。

$f (r + h) = \frac{π \cdot (4 r^{3})}{3} + 4 (π r^{2} h) + \frac{4}{3} \cdot (3 π r h^{2}) + \frac{4}{3} \cdot (π h^{3})$

解题步骤 3.1.2.6.3

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 3.1.2.6.3.1

从 $3 π r h^{2}$ 中分解出因数 $3$ 。

$f (r + h) = \frac{π \cdot (4 r^{3})}{3} + 4 (π r^{2} h) + \frac{4}{3} \cdot (3 (π r h^{2})) + \frac{4}{3} \cdot (π h^{3})$

解题步骤 3.1.2.6.3.2

约去公因数。

$f (r + h) = \frac{π \cdot (4 r^{3})}{3} + 4 (π r^{2} h) + \frac{4}{3} \cdot (3 (π r h^{2})) + \frac{4}{3} \cdot (π h^{3})$

解题步骤 3.1.2.6.3.3

重写表达式。

$f (r + h) = \frac{π \cdot (4 r^{3})}{3} + 4 (π r^{2} h) + 4 (π r h^{2}) + \frac{4}{3} \cdot (π h^{3})$

解题步骤 3.1.2.6.4

乘以 $\frac{4}{3} (π h^{3})$ 。

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解题步骤 3.1.2.6.4.1

组合 $π$ 和 $\frac{4}{3}$ 。

$f (r + h) = \frac{π \cdot (4 r^{3})}{3} + 4 (π r^{2} h) + 4 (π r h^{2}) + \frac{π \cdot 4}{3} h^{3}$

解题步骤 3.1.2.6.4.2

组合 $\frac{π \cdot 4}{3}$ 和 $h^{3}$ 。

$f (r + h) = \frac{π \cdot (4 r^{3})}{3} + 4 (π r^{2} h) + 4 (π r h^{2}) + \frac{π \cdot (4 h^{3})}{3}$

解题步骤 3.1.2.7

化简每一项。

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解题步骤 3.1.2.7.1

将 $4$ 移到 $π$ 的左侧。

$f (r + h) = \frac{4 \cdot (π r^{3})}{3} + 4 (π r^{2} h) + 4 (π r h^{2}) + \frac{π \cdot (4 h^{3})}{3}$

解题步骤 3.1.2.7.2

将 $4$ 移到 $π$ 的左侧。

$f (r + h) = \frac{4 π r^{3}}{3} + 4 π r^{2} h + 4 π r h^{2} + \frac{4 π h^{3}}{3}$

解题步骤 3.1.2.8

最终答案为 $\frac{4 π r^{3}}{3} + 4 π r^{2} h + 4 π r h^{2} + \frac{4 π h^{3}}{3}$ 。

$\frac{4 π r^{3}}{3} + 4 π r^{2} h + 4 π r h^{2} + \frac{4 π h^{3}}{3}$

解题步骤 3.2

重新排序。

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解题步骤 3.2.1

移动 $r^{2}$ 。

$\frac{4 π r^{3}}{3} + 4 π h r^{2} + 4 π r h^{2} + \frac{4 π h^{3}}{3}$

解题步骤 3.2.2

移动 $r$ 。

$\frac{4 π r^{3}}{3} + 4 π h r^{2} + 4 π h^{2} r + \frac{4 π h^{3}}{3}$

解题步骤 3.2.3

移动 $\frac{4 π r^{3}}{3}$ 。

$4 π h r^{2} + 4 π h^{2} r + \frac{4 π h^{3}}{3} + \frac{4 π r^{3}}{3}$

解题步骤 3.2.4

移动 $4 π h r^{2}$ 。

$4 π h^{2} r + \frac{4 π h^{3}}{3} + 4 π h r^{2} + \frac{4 π r^{3}}{3}$

解题步骤 3.2.5

将 $4 π h^{2} r$ 和 $\frac{4 π h^{3}}{3}$ 重新排序。

$\frac{4 π h^{3}}{3} + 4 π h^{2} r + 4 π h r^{2} + \frac{4 π r^{3}}{3}$

解题步骤 3.3

求定义的补集。

$f (r + h) = \frac{4 π h^{3}}{3} + 4 π h^{2} r + 4 π h r^{2} + \frac{4 π r^{3}}{3}$

$f (r) = \frac{4 π r^{3}}{3}$

$f (r + h) = \frac{4 π h^{3}}{3} + 4 π h^{2} r + 4 π h r^{2} + \frac{4 π r^{3}}{3}$

$f (r) = \frac{4 π r^{3}}{3}$

解题步骤 4

插入分量。

$\frac{f (r + h) - f r}{h} = \frac{\frac{4 π h^{3}}{3} + 4 π h^{2} r + 4 π h r^{2} + \frac{4 π r^{3}}{3} - (\frac{4 π r^{3}}{3})}{h}$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

化简分子。

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解题步骤 5.1.1

从 $\frac{4 π r^{3}}{3}$ 中减去 $\frac{4 π r^{3}}{3}$ 。

$\frac{\frac{4 π h^{3}}{3} + 4 π h^{2} r + 4 π h r^{2} + 0}{h}$

解题步骤 5.1.2

将 $\frac{4 π h^{3}}{3} + 4 π h^{2} r + 4 π h r^{2}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{\frac{4 π h^{3}}{3} + 4 π h^{2} r + 4 π h r^{2}}{h}$

解题步骤 5.1.3

从 $\frac{4 π h^{3}}{3} + 4 π h^{2} r + 4 π h r^{2}$ 中分解出因数 $4 π h$ 。

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解题步骤 5.1.3.1

从 $\frac{4 π h^{3}}{3}$ 中分解出因数 $4 π h$ 。

$\frac{4 π h \frac{h^{2}}{3} + 4 π h^{2} r + 4 π h r^{2}}{h}$

解题步骤 5.1.3.2

从 $4 π h^{2} r$ 中分解出因数 $4 π h$ 。

$\frac{4 π h \frac{h^{2}}{3} + 4 π h (h r) + 4 π h r^{2}}{h}$

解题步骤 5.1.3.3

从 $4 π h r^{2}$ 中分解出因数 $4 π h$ 。

$\frac{4 π h \frac{h^{2}}{3} + 4 π h (h r) + 4 π h r^{2}}{h}$

解题步骤 5.1.3.4

从 $4 π h \frac{h^{2}}{3} + 4 π h (h r)$ 中分解出因数 $4 π h$ 。

$\frac{4 π h (\frac{h^{2}}{3} + h r) + 4 π h r^{2}}{h}$

解题步骤 5.1.3.5

从 $4 π h (\frac{h^{2}}{3} + h r) + 4 π h r^{2}$ 中分解出因数 $4 π h$ 。

$\frac{4 π h (\frac{h^{2}}{3} + h r + r^{2})}{h}$

解题步骤 5.1.4

要将 $h r$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{4 π h (\frac{h^{2}}{3} + h r \cdot \frac{3}{3} + r^{2})}{h}$

解题步骤 5.1.5

组合 $h r$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{4 π h (\frac{h^{2}}{3} + \frac{h r \cdot 3}{3} + r^{2})}{h}$

解题步骤 5.1.6

在公分母上合并分子。

$\frac{4 π h (\frac{h^{2} + h r \cdot 3}{3} + r^{2})}{h}$

解题步骤 5.1.7

化简分子。

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解题步骤 5.1.7.1

从 $h^{2} + h r \cdot 3$ 中分解出因数 $h$ 。

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解题步骤 5.1.7.1.1

从 $h^{2}$ 中分解出因数 $h$ 。

$\frac{4 π h (\frac{h \cdot h + h r \cdot 3}{3} + r^{2})}{h}$

解题步骤 5.1.7.1.2

从 $h r \cdot 3$ 中分解出因数 $h$ 。

$\frac{4 π h (\frac{h (h) + h (r \cdot 3)}{3} + r^{2})}{h}$

解题步骤 5.1.7.1.3

从 $h (h) + h (r \cdot 3)$ 中分解出因数 $h$ 。

$\frac{4 π h (\frac{h (h + r \cdot 3)}{3} + r^{2})}{h}$

解题步骤 5.1.7.2

将 $3$ 移到 $r$ 的左侧。

$\frac{4 π h (\frac{h (h + 3 r)}{3} + r^{2})}{h}$

解题步骤 5.1.8

要将 $r^{2}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{4 π h (\frac{h (h + 3 r)}{3} + r^{2} \cdot \frac{3}{3})}{h}$

解题步骤 5.1.9

组合 $r^{2}$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{4 π h (\frac{h (h + 3 r)}{3} + \frac{r^{2} \cdot 3}{3})}{h}$

解题步骤 5.1.10

在公分母上合并分子。

$\frac{4 π h \frac{h (h + 3 r) + r^{2} \cdot 3}{3}}{h}$

解题步骤 5.1.11

化简分子。

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解题步骤 5.1.11.1

运用分配律。

$\frac{4 π h \frac{h (h) + h (3 r) + r^{2} \cdot 3}{3}}{h}$

解题步骤 5.1.11.2

将 $h$ 乘以 $h$ 。

$\frac{4 π h \frac{h^{2} + h (3 r) + r^{2} \cdot 3}{3}}{h}$

解题步骤 5.1.11.3

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{4 π h \frac{h^{2} + 3 h r + r^{2} \cdot 3}{3}}{h}$

解题步骤 5.1.11.4

将 $3$ 移到 $r^{2}$ 的左侧。

$\frac{4 π h \frac{h^{2} + 3 h r + 3 r^{2}}{3}}{h}$

解题步骤 5.1.12

合并指数。

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解题步骤 5.1.12.1

组合 $4$ 和 $\frac{h^{2} + 3 h r + 3 r^{2}}{3}$ 。

$\frac{π h \frac{4 (h^{2} + 3 h r + 3 r^{2})}{3}}{h}$

解题步骤 5.1.12.2

组合 $π$ 和 $\frac{4 (h^{2} + 3 h r + 3 r^{2})}{3}$ 。

$\frac{h \frac{π (4 (h^{2} + 3 h r + 3 r^{2}))}{3}}{h}$

解题步骤 5.1.12.3

组合 $h$ 和 $\frac{π (4 (h^{2} + 3 h r + 3 r^{2}))}{3}$ 。

$\frac{\frac{h (π (4 (h^{2} + 3 h r + 3 r^{2})))}{3}}{h}$

解题步骤 5.1.13

去掉多余的括号。

$\frac{\frac{h π \cdot 4 (h^{2} + 3 h r + 3 r^{2})}{3}}{h}$

解题步骤 5.1.14

将 $4$ 移到 $h π$ 的左侧。

$\frac{\frac{4 h π (h^{2} + 3 h r + 3 r^{2})}{3}}{h}$

解题步骤 5.2

将分子乘以分母的倒数。

$\frac{4 h π (h^{2} + 3 h r + 3 r^{2})}{3} \cdot \frac{1}{h}$

解题步骤 5.3

合并。

$\frac{4 h π (h^{2} + 3 h r + 3 r^{2}) \cdot 1}{3 h}$

解题步骤 5.4

约去 $h$ 的公因数。

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解题步骤 5.4.1

约去公因数。

$\frac{4 h π (h^{2} + 3 h r + 3 r^{2}) \cdot 1}{3 h}$

解题步骤 5.4.2

重写表达式。

$\frac{4 π (h^{2} + 3 h r + 3 r^{2}) \cdot 1}{3}$

解题步骤 5.5

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$\frac{4 π (h^{2} + 3 h r + 3 r^{2})}{3}$

解题步骤 6

初级微积分 示例

初级微积分示例