初级微积分示例

$f (x) = 18 + 3 e^{- 3 x}$

解题步骤 1

考虑差商公式。

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

解题步骤 2

求定义的补集。

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解题步骤 2.1

计算函数在 $x = x + h$ 处的值。

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解题步骤 2.1.1

使用表达式中的 $x + h$ 替换变量 $x$ 。

$f (x + h) = 18 + 3 e^{- 3 (x + h)}$

解题步骤 2.1.2

化简结果。

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解题步骤 2.1.2.1

运用分配律。

$f (x + h) = 18 + 3 e^{- 3 x - 3 h}$

解题步骤 2.1.2.2

最终答案为 $18 + 3 e^{- 3 x - 3 h}$ 。

$18 + 3 e^{- 3 x - 3 h}$

解题步骤 2.2

求定义的补集。

$f (x + h) = 18 + 3 e^{- 3 x - 3 h}$

$f (x) = 18 + 3 e^{- 3 x}$

$f (x + h) = 18 + 3 e^{- 3 x - 3 h}$

$f (x) = 18 + 3 e^{- 3 x}$

解题步骤 3

插入分量。

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{18 + 3 e^{- 3 x - 3 h} - (18 + 3 e^{- 3 x})}{h}$

解题步骤 4

化简分子。

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解题步骤 4.1

运用分配律。

$\frac{18 + 3 e^{- 3 x - 3 h} - 1 \cdot 18 - (3 e^{- 3 x})}{h}$

解题步骤 4.2

将 $- 1$ 乘以 $18$ 。

$\frac{18 + 3 e^{- 3 x - 3 h} - 18 - (3 e^{- 3 x})}{h}$

解题步骤 4.3

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{18 + 3 e^{- 3 x - 3 h} - 18 - 3 e^{- 3 x}}{h}$

解题步骤 4.4

从 $18$ 中减去 $18$ 。

$\frac{3 e^{- 3 x - 3 h} + 0 - 3 e^{- 3 x}}{h}$

解题步骤 4.5

将 $3 e^{- 3 x - 3 h}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{3 e^{- 3 x - 3 h} - 3 e^{- 3 x}}{h}$

解题步骤 4.6

以因式分解的形式重写 $3 e^{- 3 x - 3 h} - 3 e^{- 3 x}$ 。

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解题步骤 4.6.1

从 $3 e^{- 3 x - 3 h} - 3 e^{- 3 x}$ 中分解出因数 $3$ 。

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解题步骤 4.6.1.1

从 $3 e^{- 3 x - 3 h}$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 e^{- 3 x - 3 h} - 3 e^{- 3 x}}{h}$

解题步骤 4.6.1.2

从 $- 3 e^{- 3 x}$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 e^{- 3 x - 3 h} + 3 (- e^{- 3 x})}{h}$

解题步骤 4.6.1.3

从 $3 e^{- 3 x - 3 h} + 3 (- e^{- 3 x})$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 (e^{- 3 x - 3 h} - e^{- 3 x})}{h}$

解题步骤 4.6.2

将 $e^{- 3 x - 3 h}$ 重写为 ${(e^{- x - h})}^{3}$ 。

$\frac{3 ({(e^{- x - h})}^{3} - e^{- 3 x})}{h}$

解题步骤 4.6.3

将 $e^{- 3 x}$ 重写为 ${(e^{- x})}^{3}$ 。

$\frac{3 ({(e^{- x - h})}^{3} - {(e^{- x})}^{3})}{h}$

解题步骤 4.6.4

因为两项都是完全立方数，所以使用立方差公式 $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ 进行因式分解，其中 $a = e^{- x - h}$ 和 $b = e^{- x}$ 。

$\frac{3 ((e^{- x - h} - e^{- x}) ({(e^{- x - h})}^{2} + e^{- x - h} e^{- x} + {(e^{- x})}^{2}))}{h}$

解题步骤 4.6.5

化简。

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解题步骤 4.6.5.1

将 ${(e^{- x - h})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 4.6.5.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{3 ((e^{- x - h} - e^{- x}) (e^{(- x - h) \cdot 2} + e^{- x - h} e^{- x} + {(e^{- x})}^{2}))}{h}$

解题步骤 4.6.5.1.2

运用分配律。

$\frac{3 ((e^{- x - h} - e^{- x}) (e^{- x \cdot 2 - h \cdot 2} + e^{- x - h} e^{- x} + {(e^{- x})}^{2}))}{h}$

解题步骤 4.6.5.1.3

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{3 ((e^{- x - h} - e^{- x}) (e^{- 2 x - h \cdot 2} + e^{- x - h} e^{- x} + {(e^{- x})}^{2}))}{h}$

解题步骤 4.6.5.1.4

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{3 ((e^{- x - h} - e^{- x}) (e^{- 2 x - 2 h} + e^{- x - h} e^{- x} + {(e^{- x})}^{2}))}{h}$

解题步骤 4.6.5.2

通过指数相加将 $e^{- x - h}$ 乘以 $e^{- x}$ 。

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解题步骤 4.6.5.2.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{3 ((e^{- x - h} - e^{- x}) (e^{- 2 x - 2 h} + e^{- x - h - x} + {(e^{- x})}^{2}))}{h}$

解题步骤 4.6.5.2.2

从 $- x$ 中减去 $x$ 。

$\frac{3 ((e^{- x - h} - e^{- x}) (e^{- 2 x - 2 h} + e^{- 2 x - h} + {(e^{- x})}^{2}))}{h}$

解题步骤 4.6.5.3

将 ${(e^{- x})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 4.6.5.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{3 ((e^{- x - h} - e^{- x}) (e^{- 2 x - 2 h} + e^{- 2 x - h} + e^{- x \cdot 2}))}{h}$

解题步骤 4.6.5.3.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{3 ((e^{- x - h} - e^{- x}) (e^{- 2 x - 2 h} + e^{- 2 x - h} + e^{- 2 x}))}{h}$

$\frac{3 (e^{- x - h} - e^{- x}) (e^{- 2 x - 2 h} + e^{- 2 x - h} + e^{- 2 x})}{h}$

解题步骤 5

初级微积分 示例

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