初级微积分示例

$f (x) = \frac{- x^{2}}{x^{3} - x^{2}}$

解题步骤 1

考虑差商公式。

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

解题步骤 2

求定义的补集。

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解题步骤 2.1

计算函数在 $x = x + h$ 处的值。

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解题步骤 2.1.1

使用表达式中的 $x + h$ 替换变量 $x$ 。

$f (x + h) = \frac{- {(x + h)}^{2}}{{(x + h)}^{3} - {(x + h)}^{2}}$

解题步骤 2.1.2

化简结果。

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解题步骤 2.1.2.1

从 ${(x + h)}^{3} - {(x + h)}^{2}$ 中分解出因数 ${(x + h)}^{2}$ 。

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解题步骤 2.1.2.1.1

从 ${(x + h)}^{3}$ 中分解出因数 ${(x + h)}^{2}$ 。

$f (x + h) = \frac{- {(x + h)}^{2}}{{(x + h)}^{2} (x + h) - {(x + h)}^{2}}$

解题步骤 2.1.2.1.2

从 $- {(x + h)}^{2}$ 中分解出因数 ${(x + h)}^{2}$ 。

$f (x + h) = \frac{- {(x + h)}^{2}}{{(x + h)}^{2} (x + h) + {(x + h)}^{2} \cdot - 1}$

解题步骤 2.1.2.1.3

从 ${(x + h)}^{2} (x + h) + {(x + h)}^{2} \cdot - 1$ 中分解出因数 ${(x + h)}^{2}$ 。

$f (x + h) = \frac{- {(x + h)}^{2}}{{(x + h)}^{2} (x + h - 1)}$

解题步骤 2.1.2.2

约去 ${(x + h)}^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 2.1.2.2.1

约去公因数。

$f (x + h) = \frac{- {(x + h)}^{2}}{{(x + h)}^{2} (x + h - 1)}$

解题步骤 2.1.2.2.2

重写表达式。

$f (x + h) = \frac{- 1}{x + h - 1}$

解题步骤 2.1.2.3

将负号移到分数的前面。

$f (x + h) = - \frac{1}{x + h - 1}$

解题步骤 2.1.2.4

最终答案为 $- \frac{1}{x + h - 1}$ 。

$- \frac{1}{x + h - 1}$

解题步骤 2.2

求定义的补集。

$f (x + h) = - \frac{1}{x + h - 1}$

$f (x) = - \frac{1}{x - 1}$

$f (x + h) = - \frac{1}{x + h - 1}$

$f (x) = - \frac{1}{x - 1}$

解题步骤 3

插入分量。

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{- \frac{1}{x + h - 1} - (- \frac{1}{x - 1})}{h}$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

化简分子。

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解题步骤 4.1.1

乘以 $- - \frac{1}{x - 1}$ 。

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解题步骤 4.1.1.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{- \frac{1}{x + h - 1} + 1 \frac{1}{x - 1}}{h}$

解题步骤 4.1.1.2

将 $\frac{1}{x - 1}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{- \frac{1}{x + h - 1} + \frac{1}{x - 1}}{h}$

解题步骤 4.1.2

要将 $- \frac{1}{x + h - 1}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x - 1}{x - 1}$ 。

$\frac{- \frac{1}{x + h - 1} \cdot \frac{x - 1}{x - 1} + \frac{1}{x - 1}}{h}$

解题步骤 4.1.3

要将 $\frac{1}{x - 1}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x + h - 1}{x + h - 1}$ 。

$\frac{- \frac{1}{x + h - 1} \cdot \frac{x - 1}{x - 1} + \frac{1}{x - 1} \cdot \frac{x + h - 1}{x + h - 1}}{h}$

解题步骤 4.1.4

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $(x + h - 1) (x - 1)$ 的形式。

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解题步骤 4.1.4.1

将 $\frac{1}{x + h - 1}$ 乘以 $\frac{x - 1}{x - 1}$ 。

$\frac{- \frac{x - 1}{(x + h - 1) (x - 1)} + \frac{1}{x - 1} \cdot \frac{x + h - 1}{x + h - 1}}{h}$

解题步骤 4.1.4.2

将 $\frac{1}{x - 1}$ 乘以 $\frac{x + h - 1}{x + h - 1}$ 。

$\frac{- \frac{x - 1}{(x + h - 1) (x - 1)} + \frac{x + h - 1}{(x - 1) (x + h - 1)}}{h}$

解题步骤 4.1.4.3

重新排序 $(x - 1) (x + h - 1)$ 的因式。

$\frac{- \frac{x - 1}{(x + h - 1) (x - 1)} + \frac{x + h - 1}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

解题步骤 4.1.5

在公分母上合并分子。

$\frac{\frac{- (x - 1) + x + h - 1}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

解题步骤 4.1.6

以因式分解的形式重写 $\frac{- (x - 1) + x + h - 1}{(x + h - 1) (x - 1)}$ 。

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解题步骤 4.1.6.1

运用分配律。

$\frac{\frac{- x - - 1 + x + h - 1}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

解题步骤 4.1.6.2

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{\frac{- x + 1 + x + h - 1}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

解题步骤 4.1.6.3

将 $- x$ 和 $x$ 相加。

$\frac{\frac{0 + 1 + h - 1}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

解题步骤 4.1.6.4

将 $0$ 和 $1$ 相加。

$\frac{\frac{1 + h - 1}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

解题步骤 4.1.6.5

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$\frac{\frac{h + 0}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

解题步骤 4.1.6.6

将 $h$ 和 $0$ 相加。

$\frac{\frac{h}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

解题步骤 4.2

将分子乘以分母的倒数。

$\frac{h}{(x + h - 1) (x - 1)} \cdot \frac{1}{h}$

解题步骤 4.3

约去 $h$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.1

约去公因数。

$\frac{h}{(x + h - 1) (x - 1)} \cdot \frac{1}{h}$

解题步骤 4.3.2

重写表达式。

$\frac{1}{(x + h - 1) (x - 1)}$

解题步骤 5

初级微积分 示例

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