初级微积分示例

$f (x) = \frac{1}{5} x^{5} - 3 x^{3} + 2$ , $[0, 1]$

解题步骤 1

将 $f (x) = \frac{1}{5} x^{5} - 3 x^{3} + 2$ 写为等式。

$y = \frac{1}{5} x^{5} - 3 x^{3} + 2$

解题步骤 2

运用平均变化率公式代入。

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解题步骤 2.1

函数的平均变化率可通过计算两点的 $y$ 的变化值除以两点的 $x$ 变化值来求得。

$\frac{f (1) - f (0)}{(1) - (0)}$

解题步骤 2.2

代入 $f (1)$ 和 $f (0)$ 的方程 $y = \frac{1}{5} x^{5} - 3 x^{3} + 2$ 中，用对应的 $x$ 值替换函数中的 $x$ 。

$\frac{(\frac{1}{5} \cdot {(1)}^{5} - 3 {(1)}^{3} + 2) - (\frac{1}{5} \cdot {(0)}^{5} - 3 {(0)}^{3} + 2)}{(1) - (0)}$

解题步骤 3

化简表达式。

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解题步骤 3.1

化简分子。

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解题步骤 3.1.1

一的任意次幂都为一。

$\frac{\frac{1}{5} \cdot 1 - 3 \cdot 1^{3} + 2 - (\frac{1}{5} \cdot 0^{5} - 3 \cdot 0^{3} + 2)}{1 - (0)}$

解题步骤 3.1.2

将 $\frac{1}{5}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\frac{1}{5} - 3 \cdot 1^{3} + 2 - (\frac{1}{5} \cdot 0^{5} - 3 \cdot 0^{3} + 2)}{1 - (0)}$

解题步骤 3.1.3

一的任意次幂都为一。

$\frac{\frac{1}{5} - 3 \cdot 1 + 2 - (\frac{1}{5} \cdot 0^{5} - 3 \cdot 0^{3} + 2)}{1 - (0)}$

解题步骤 3.1.4

将 $- 3$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\frac{1}{5} - 3 + 2 - (\frac{1}{5} \cdot 0^{5} - 3 \cdot 0^{3} + 2)}{1 - (0)}$

解题步骤 3.1.5

化简每一项。

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解题步骤 3.1.5.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$\frac{\frac{1}{5} - 3 + 2 - (\frac{1}{5} \cdot 0 - 3 \cdot 0^{3} + 2)}{1 - (0)}$

解题步骤 3.1.5.2

将 $\frac{1}{5}$ 乘以 $0$ 。

$\frac{\frac{1}{5} - 3 + 2 - (0 - 3 \cdot 0^{3} + 2)}{1 - (0)}$

解题步骤 3.1.5.3

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$\frac{\frac{1}{5} - 3 + 2 - (0 - 3 \cdot 0 + 2)}{1 - (0)}$

解题步骤 3.1.5.4

将 $- 3$ 乘以 $0$ 。

$\frac{\frac{1}{5} - 3 + 2 - (0 + 0 + 2)}{1 - (0)}$

解题步骤 3.1.6

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$\frac{\frac{1}{5} - 3 + 2 - (0 + 2)}{1 - (0)}$

解题步骤 3.1.7

将 $0$ 和 $2$ 相加。

$\frac{\frac{1}{5} - 3 + 2 - 1 \cdot 2}{1 - (0)}$

解题步骤 3.1.8

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{\frac{1}{5} - 3 + 2 - 2}{1 - (0)}$

解题步骤 3.1.9

要将 $- 3$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{5}{5}$ 。

$\frac{\frac{1}{5} - 3 \cdot \frac{5}{5} + 2 - 2}{1 - (0)}$

解题步骤 3.1.10

组合 $- 3$ 和 $\frac{5}{5}$ 。

$\frac{\frac{1}{5} + \frac{- 3 \cdot 5}{5} + 2 - 2}{1 - (0)}$

解题步骤 3.1.11

在公分母上合并分子。

$\frac{\frac{1 - 3 \cdot 5}{5} + 2 - 2}{1 - (0)}$

解题步骤 3.1.12

化简分子。

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解题步骤 3.1.12.1

将 $- 3$ 乘以 $5$ 。

$\frac{\frac{1 - 15}{5} + 2 - 2}{1 - (0)}$

解题步骤 3.1.12.2

从 $1$ 中减去 $15$ 。

$\frac{\frac{- 14}{5} + 2 - 2}{1 - (0)}$

解题步骤 3.1.13

要将 $2$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{5}{5}$ 。

$\frac{\frac{- 14}{5} + 2 \cdot \frac{5}{5} - 2}{1 - (0)}$

解题步骤 3.1.14

组合 $2$ 和 $\frac{5}{5}$ 。

$\frac{\frac{- 14}{5} + \frac{2 \cdot 5}{5} - 2}{1 - (0)}$

解题步骤 3.1.15

在公分母上合并分子。

$\frac{\frac{- 14 + 2 \cdot 5}{5} - 2}{1 - (0)}$

解题步骤 3.1.16

化简分子。

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解题步骤 3.1.16.1

将 $2$ 乘以 $5$ 。

$\frac{\frac{- 14 + 10}{5} - 2}{1 - (0)}$

解题步骤 3.1.16.2

将 $- 14$ 和 $10$ 相加。

$\frac{\frac{- 4}{5} - 2}{1 - (0)}$

解题步骤 3.1.17

要将 $- 2$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{5}{5}$ 。

$\frac{\frac{- 4}{5} - 2 \cdot \frac{5}{5}}{1 - (0)}$

解题步骤 3.1.18

组合 $- 2$ 和 $\frac{5}{5}$ 。

$\frac{\frac{- 4}{5} + \frac{- 2 \cdot 5}{5}}{1 - (0)}$

解题步骤 3.1.19

在公分母上合并分子。

$\frac{\frac{- 4 - 2 \cdot 5}{5}}{1 - (0)}$

解题步骤 3.1.20

化简分子。

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解题步骤 3.1.20.1

将 $- 2$ 乘以 $5$ 。

$\frac{\frac{- 4 - 10}{5}}{1 - (0)}$

解题步骤 3.1.20.2

从 $- 4$ 中减去 $10$ 。

$\frac{\frac{- 14}{5}}{1 - (0)}$

解题步骤 3.1.21

将负号移到分数的前面。

$\frac{- \frac{14}{5}}{1 - (0)}$

解题步骤 3.2

化简分母。

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解题步骤 3.2.1

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$\frac{- \frac{14}{5}}{1 + 0}$

解题步骤 3.2.2

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{- \frac{14}{5}}{1}$

解题步骤 3.3

用 $- \frac{14}{5}$ 除以 $1$ 。

$- \frac{14}{5}$

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