初级微积分示例

$y = x^{3} + x^{2} - 8 x - 7$

解题步骤 1

将 $y = x^{3} + x^{2} - 8 x - 7$ 书写为一个函数。

$f (x) = x^{3} + x^{2} - 8 x - 7$

解题步骤 2

考虑差商公式。

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

解题步骤 3

求定义的补集。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1

计算函数在 $x = x + h$ 处的值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1.1

使用表达式中的 $x + h$ 替换变量 $x$ 。

$f (x + h) = {(x + h)}^{3} + {(x + h)}^{2} - 8 (x + h) - 7$

解题步骤 3.1.2

化简结果。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1.2.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1.2.1.1

使用二项式定理。

$f (x + h) = x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} + {(x + h)}^{2} - 8 (x + h) - 7$

解题步骤 3.1.2.1.2

将 ${(x + h)}^{2}$ 重写为 $(x + h) (x + h)$ 。

$f (x + h) = x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} + (x + h) (x + h) - 8 (x + h) - 7$

解题步骤 3.1.2.1.3

使用 FOIL 方法展开 $(x + h) (x + h)$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1.2.1.3.1

运用分配律。

$f (x + h) = x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} + x (x + h) + h (x + h) - 8 (x + h) - 7$

解题步骤 3.1.2.1.3.2

运用分配律。

$f (x + h) = x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} + x \cdot x + x h + h (x + h) - 8 (x + h) - 7$

解题步骤 3.1.2.1.3.3

运用分配律。

$f (x + h) = x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} + x \cdot x + x h + h x + h \cdot h - 8 (x + h) - 7$

解题步骤 3.1.2.1.4

化简并合并同类项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1.2.1.4.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1.2.1.4.1.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$f (x + h) = x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} + x^{2} + x h + h x + h \cdot h - 8 (x + h) - 7$

解题步骤 3.1.2.1.4.1.2

将 $h$ 乘以 $h$ 。

$f (x + h) = x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} + x^{2} + x h + h x + h^{2} - 8 (x + h) - 7$

解题步骤 3.1.2.1.4.2

将 $x h$ 和 $h x$ 相加。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1.2.1.4.2.1

将 $x$ 和 $h$ 重新排序。

$f (x + h) = x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} + x^{2} + h x + h x + h^{2} - 8 (x + h) - 7$

解题步骤 3.1.2.1.4.2.2

将 $h x$ 和 $h x$ 相加。

$f (x + h) = x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} + x^{2} + 2 h x + h^{2} - 8 (x + h) - 7$

解题步骤 3.1.2.1.5

运用分配律。

$f (x + h) = x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} + x^{2} + 2 h x + h^{2} - 8 x - 8 h - 7$

解题步骤 3.1.2.2

最终答案为 $x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} + x^{2} + 2 h x + h^{2} - 8 x - 8 h - 7$ 。

$x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} + x^{2} + 2 h x + h^{2} - 8 x - 8 h - 7$

解题步骤 3.2

重新排序。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.2.1

移动 $x^{2}$ 。

$x^{3} + 3 h x^{2} + 3 x h^{2} + h^{3} + x^{2} + 2 h x + h^{2} - 8 x - 8 h - 7$

解题步骤 3.2.2

移动 $x$ 。

$x^{3} + 3 h x^{2} + 3 h^{2} x + h^{3} + x^{2} + 2 h x + h^{2} - 8 x - 8 h - 7$

解题步骤 3.2.3

移动 $- 8 x$ 。

$x^{3} + 3 h x^{2} + 3 h^{2} x + h^{3} + x^{2} + 2 h x + h^{2} - 8 h - 8 x - 7$

解题步骤 3.2.4

移动 $x^{2}$ 。

$x^{3} + 3 h x^{2} + 3 h^{2} x + h^{3} + 2 h x + h^{2} + x^{2} - 8 h - 8 x - 7$

解题步骤 3.2.5

移动 $2 h x$ 。

$x^{3} + 3 h x^{2} + 3 h^{2} x + h^{3} + h^{2} + 2 h x + x^{2} - 8 h - 8 x - 7$

解题步骤 3.2.6

移动 $x^{3}$ 。

$3 h x^{2} + 3 h^{2} x + h^{3} + x^{3} + h^{2} + 2 h x + x^{2} - 8 h - 8 x - 7$

解题步骤 3.2.7

移动 $3 h x^{2}$ 。

$3 h^{2} x + h^{3} + 3 h x^{2} + x^{3} + h^{2} + 2 h x + x^{2} - 8 h - 8 x - 7$

解题步骤 3.2.8

将 $3 h^{2} x$ 和 $h^{3}$ 重新排序。

$h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3} + h^{2} + 2 h x + x^{2} - 8 h - 8 x - 7$

解题步骤 3.3

求定义的补集。

$f (x + h) = h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3} + h^{2} + 2 h x + x^{2} - 8 h - 8 x - 7$

$f (x) = x^{3} + x^{2} - 8 x - 7$

$f (x + h) = h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3} + h^{2} + 2 h x + x^{2} - 8 h - 8 x - 7$

$f (x) = x^{3} + x^{2} - 8 x - 7$

解题步骤 4

插入分量。

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3} + h^{2} + 2 h x + x^{2} - 8 h - 8 x - 7 - (x^{3} + x^{2} - 8 x - 7)}{h}$

解题步骤 5

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.1

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.1.1

运用分配律。

$\frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3} + h^{2} + 2 h x + x^{2} - 8 h - 8 x - 7 - x^{3} - x^{2} - (- 8 x) - - 7}{h}$

解题步骤 5.1.2

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.1.2.1

将 $- 8$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3} + h^{2} + 2 h x + x^{2} - 8 h - 8 x - 7 - x^{3} - x^{2} + 8 x - - 7}{h}$

解题步骤 5.1.2.2

将 $- 1$ 乘以 $- 7$ 。

$\frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3} + h^{2} + 2 h x + x^{2} - 8 h - 8 x - 7 - x^{3} - x^{2} + 8 x + 7}{h}$

解题步骤 5.1.3

从 $x^{3}$ 中减去 $x^{3}$ 。

$\frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + h^{2} + 2 h x + x^{2} - 8 h - 8 x - 7 + 0 - x^{2} + 8 x + 7}{h}$

解题步骤 5.1.4

将 $h^{3}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + h^{2} + 2 h x + x^{2} - 8 h - 8 x - 7 - x^{2} + 8 x + 7}{h}$

解题步骤 5.1.5

从 $x^{2}$ 中减去 $x^{2}$ 。

$\frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + h^{2} + 2 h x - 8 h - 8 x - 7 + 0 + 8 x + 7}{h}$

解题步骤 5.1.6

将 $h^{3}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + h^{2} + 2 h x - 8 h - 8 x - 7 + 8 x + 7}{h}$

解题步骤 5.1.7

将 $- 8 x$ 和 $8 x$ 相加。

$\frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + h^{2} + 2 h x - 8 h + 0 - 7 + 7}{h}$

解题步骤 5.1.8

将 $h^{3}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + h^{2} + 2 h x - 8 h - 7 + 7}{h}$

解题步骤 5.1.9

将 $- 7$ 和 $7$ 相加。

$\frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + h^{2} + 2 h x - 8 h + 0}{h}$

解题步骤 5.1.10

将 $h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + h^{2} + 2 h x - 8 h$ 和 $0$ 相加。

$\frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + h^{2} + 2 h x - 8 h}{h}$

解题步骤 5.1.11

从 $h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + h^{2} + 2 h x - 8 h$ 中分解出因数 $h$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.1.11.1

从 $h^{3}$ 中分解出因数 $h$ 。

$\frac{h \cdot h^{2} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + h^{2} + 2 h x - 8 h}{h}$

解题步骤 5.1.11.2

从 $3 h^{2} x$ 中分解出因数 $h$ 。

$\frac{h (h^{2}) + h (3 h x) + 3 h x^{2} + h^{2} + 2 h x - 8 h}{h}$

解题步骤 5.1.11.3

从 $3 h x^{2}$ 中分解出因数 $h$ 。

$\frac{h (h^{2}) + h (3 h x) + h (3 x^{2}) + h^{2} + 2 h x - 8 h}{h}$

解题步骤 5.1.11.4

从 $h^{2}$ 中分解出因数 $h$ 。

$\frac{h (h^{2}) + h (3 h x) + h (3 x^{2}) + h (h) + 2 h x - 8 h}{h}$

解题步骤 5.1.11.5

从 $2 h x$ 中分解出因数 $h$ 。

$\frac{h (h^{2}) + h (3 h x) + h (3 x^{2}) + h (h) + h (2 x) - 8 h}{h}$

解题步骤 5.1.11.6

从 $- 8 h$ 中分解出因数 $h$ 。

$\frac{h (h^{2}) + h (3 h x) + h (3 x^{2}) + h (h) + h (2 x) + h \cdot - 8}{h}$

解题步骤 5.1.11.7

从 $h (h^{2}) + h (3 h x)$ 中分解出因数 $h$ 。

$\frac{h (h^{2} + 3 h x) + h (3 x^{2}) + h (h) + h (2 x) + h \cdot - 8}{h}$

解题步骤 5.1.11.8

从 $h (h^{2} + 3 h x) + h (3 x^{2})$ 中分解出因数 $h$ 。

$\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2}) + h (h) + h (2 x) + h \cdot - 8}{h}$

解题步骤 5.1.11.9

从 $h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2}) + h (h)$ 中分解出因数 $h$ 。

$\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} + h) + h (2 x) + h \cdot - 8}{h}$

解题步骤 5.1.11.10

从 $h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} + h) + h (2 x)$ 中分解出因数 $h$ 。

$\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} + h + 2 x) + h \cdot - 8}{h}$

解题步骤 5.1.11.11

从 $h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} + h + 2 x) + h \cdot - 8$ 中分解出因数 $h$ 。

$\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} + h + 2 x - 8)}{h}$

解题步骤 5.2

通过约去公因数来化简表达式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.1

约去 $h$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.1.1

约去公因数。

$\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} + h + 2 x - 8)}{h}$

解题步骤 5.2.1.2

用 $h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} + h + 2 x - 8$ 除以 $1$ 。

$h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} + h + 2 x - 8$

解题步骤 5.2.2

化简表达式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.2.1

移动 $h$ 。

$h^{2} + 3 x h + 3 x^{2} + h + 2 x - 8$

解题步骤 5.2.2.2

移动 $h$ 。

$h^{2} + 3 x h + 3 x^{2} + 2 x + h - 8$

解题步骤 5.2.2.3

移动 $h^{2}$ 。

$3 x h + 3 x^{2} + h^{2} + 2 x + h - 8$

解题步骤 5.2.2.4

将 $3 x h$ 和 $3 x^{2}$ 重新排序。

$3 x^{2} + 3 x h + h^{2} + 2 x + h - 8$

解题步骤 6

初级微积分 示例

初级微积分示例