初级微积分示例

$f (x) = - \frac{x^{2}}{4} + 7$

解题步骤 1

考虑差商公式。

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

解题步骤 2

求定义的补集。

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解题步骤 2.1

计算函数在 $x = x + h$ 处的值。

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解题步骤 2.1.1

使用表达式中的 $x + h$ 替换变量 $x$ 。

$f (x + h) = - \frac{{(x + h)}^{2}}{4} + 7$

解题步骤 2.1.2

化简结果。

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解题步骤 2.1.2.1

要将 $7$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$f (x + h) = - \frac{{(x + h)}^{2}}{4} + 7 \cdot \frac{4}{4}$

解题步骤 2.1.2.2

化简项。

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解题步骤 2.1.2.2.1

组合 $7$ 和 $\frac{4}{4}$ 。

$f (x + h) = - \frac{{(x + h)}^{2}}{4} + \frac{7 \cdot 4}{4}$

解题步骤 2.1.2.2.2

在公分母上合并分子。

$f (x + h) = \frac{- {(x + h)}^{2} + 7 \cdot 4}{4}$

解题步骤 2.1.2.3

化简分子。

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解题步骤 2.1.2.3.1

将 ${(x + h)}^{2}$ 重写为 $(x + h) (x + h)$ 。

$f (x + h) = \frac{- ((x + h) (x + h)) + 7 \cdot 4}{4}$

解题步骤 2.1.2.3.2

使用 FOIL 方法展开 $(x + h) (x + h)$ 。

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解题步骤 2.1.2.3.2.1

运用分配律。

$f (x + h) = \frac{- (x (x + h) + h (x + h)) + 7 \cdot 4}{4}$

解题步骤 2.1.2.3.2.2

运用分配律。

$f (x + h) = \frac{- (x \cdot x + x h + h (x + h)) + 7 \cdot 4}{4}$

解题步骤 2.1.2.3.2.3

运用分配律。

$f (x + h) = \frac{- (x \cdot x + x h + h x + h \cdot h) + 7 \cdot 4}{4}$

解题步骤 2.1.2.3.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 2.1.2.3.3.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.2.3.3.1.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$f (x + h) = \frac{- (x^{2} + x h + h x + h \cdot h) + 7 \cdot 4}{4}$

解题步骤 2.1.2.3.3.1.2

将 $h$ 乘以 $h$ 。

$f (x + h) = \frac{- (x^{2} + x h + h x + h^{2}) + 7 \cdot 4}{4}$

解题步骤 2.1.2.3.3.2

将 $x h$ 和 $h x$ 相加。

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解题步骤 2.1.2.3.3.2.1

将 $x$ 和 $h$ 重新排序。

$f (x + h) = \frac{- (x^{2} + h x + h x + h^{2}) + 7 \cdot 4}{4}$

解题步骤 2.1.2.3.3.2.2

将 $h x$ 和 $h x$ 相加。

$f (x + h) = \frac{- (x^{2} + 2 h x + h^{2}) + 7 \cdot 4}{4}$

解题步骤 2.1.2.3.4

运用分配律。

$f (x + h) = \frac{- x^{2} - (2 h x) - h^{2} + 7 \cdot 4}{4}$

解题步骤 2.1.2.3.5

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$f (x + h) = \frac{- x^{2} - 2 (h x) - h^{2} + 7 \cdot 4}{4}$

解题步骤 2.1.2.3.6

将 $7$ 乘以 $4$ 。

$f (x + h) = \frac{- x^{2} - 2 h x - h^{2} + 28}{4}$

解题步骤 2.1.2.4

通过提取公因式进行化简。

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解题步骤 2.1.2.4.1

从 $- x^{2}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$f (x + h) = \frac{- (x^{2}) - 2 h x - h^{2} + 28}{4}$

解题步骤 2.1.2.4.2

从 $- 2 h x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$f (x + h) = \frac{- (x^{2}) - (2 h x) - h^{2} + 28}{4}$

解题步骤 2.1.2.4.3

从 $- (x^{2}) - (2 h x)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$f (x + h) = \frac{- (x^{2} + 2 h x) - h^{2} + 28}{4}$

解题步骤 2.1.2.4.4

从 $- h^{2}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$f (x + h) = \frac{- (x^{2} + 2 h x) - (h^{2}) + 28}{4}$

解题步骤 2.1.2.4.5

从 $- (x^{2} + 2 h x) - (h^{2})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$f (x + h) = \frac{- (x^{2} + 2 h x + h^{2}) + 28}{4}$

解题步骤 2.1.2.4.6

将 $28$ 重写为 $- 1 (- 28)$ 。

$f (x + h) = \frac{- (x^{2} + 2 h x + h^{2}) - 1 \cdot - 28}{4}$

解题步骤 2.1.2.4.7

从 $- (x^{2} + 2 h x + h^{2}) - 1 (- 28)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$f (x + h) = \frac{- (x^{2} + 2 h x + h^{2} - 28)}{4}$

解题步骤 2.1.2.4.8

化简表达式。

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解题步骤 2.1.2.4.8.1

将 $- (x^{2} + 2 h x + h^{2} - 28)$ 重写为 $- 1 (x^{2} + 2 h x + h^{2} - 28)$ 。

$f (x + h) = \frac{- 1 (x^{2} + 2 h x + h^{2} - 28)}{4}$

解题步骤 2.1.2.4.8.2

将负号移到分数的前面。

$f (x + h) = - \frac{x^{2} + 2 h x + h^{2} - 28}{4}$

解题步骤 2.1.2.5

最终答案为 $- \frac{x^{2} + 2 h x + h^{2} - 28}{4}$ 。

$- \frac{x^{2} + 2 h x + h^{2} - 28}{4}$

解题步骤 2.2

求定义的补集。

$f (x + h) = - \frac{x^{2} + 2 h x + h^{2} - 28}{4}$

$f (x) = - \frac{x^{2}}{4} + 7$

$f (x + h) = - \frac{x^{2} + 2 h x + h^{2} - 28}{4}$

$f (x) = - \frac{x^{2}}{4} + 7$

解题步骤 3

插入分量。

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{- \frac{x^{2} + 2 h x + h^{2} - 28}{4} - (- \frac{x^{2}}{4} + 7)}{h}$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

化简分子。

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解题步骤 4.1.1

运用分配律。

$\frac{- \frac{x^{2} + 2 h x + h^{2} - 28}{4} - - \frac{x^{2}}{4} - 1 \cdot 7}{h}$

解题步骤 4.1.2

乘以 $- - \frac{x^{2}}{4}$ 。

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解题步骤 4.1.2.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{- \frac{x^{2} + 2 h x + h^{2} - 28}{4} + 1 \frac{x^{2}}{4} - 1 \cdot 7}{h}$

解题步骤 4.1.2.2

将 $\frac{x^{2}}{4}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{- \frac{x^{2} + 2 h x + h^{2} - 28}{4} + \frac{x^{2}}{4} - 1 \cdot 7}{h}$

解题步骤 4.1.3

将 $- 1$ 乘以 $7$ 。

$\frac{- \frac{x^{2} + 2 h x + h^{2} - 28}{4} + \frac{x^{2}}{4} - 7}{h}$

解题步骤 4.1.4

在公分母上合并分子。

$\frac{\frac{- (x^{2} + 2 h x + h^{2} - 28) + x^{2}}{4} - 7}{h}$

解题步骤 4.1.5

化简分子。

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解题步骤 4.1.5.1

运用分配律。

$\frac{\frac{- x^{2} - (2 h x) - h^{2} - - 28 + x^{2}}{4} - 7}{h}$

解题步骤 4.1.5.2

化简。

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解题步骤 4.1.5.2.1

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{\frac{- x^{2} - 2 (h x) - h^{2} - - 28 + x^{2}}{4} - 7}{h}$

解题步骤 4.1.5.2.2

将 $- 1$ 乘以 $- 28$ 。

$\frac{\frac{- x^{2} - 2 (h x) - h^{2} + 28 + x^{2}}{4} - 7}{h}$

解题步骤 4.1.5.3

将 $- x^{2}$ 和 $x^{2}$ 相加。

$\frac{\frac{- 2 h x - h^{2} + 28 + 0}{4} - 7}{h}$

解题步骤 4.1.5.4

将 $- 2 h x - h^{2} + 28$ 和 $0$ 相加。

$\frac{\frac{- 2 h x - h^{2} + 28}{4} - 7}{h}$

解题步骤 4.1.6

要将 $- 7$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$\frac{\frac{- 2 h x - h^{2} + 28}{4} - 7 \cdot \frac{4}{4}}{h}$

解题步骤 4.1.7

组合 $- 7$ 和 $\frac{4}{4}$ 。

$\frac{\frac{- 2 h x - h^{2} + 28}{4} + \frac{- 7 \cdot 4}{4}}{h}$

解题步骤 4.1.8

在公分母上合并分子。

$\frac{\frac{- 2 h x - h^{2} + 28 - 7 \cdot 4}{4}}{h}$

解题步骤 4.1.9

化简分子。

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解题步骤 4.1.9.1

将 $- 7$ 乘以 $4$ 。

$\frac{\frac{- 2 h x - h^{2} + 28 - 28}{4}}{h}$

解题步骤 4.1.9.2

从 $28$ 中减去 $28$ 。

$\frac{\frac{- 2 h x - h^{2} + 0}{4}}{h}$

解题步骤 4.1.9.3

将 $- 2 h x - h^{2}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{\frac{- 2 h x - h^{2}}{4}}{h}$

解题步骤 4.1.9.4

从 $- 2 h x - h^{2}$ 中分解出因数 $h$ 。

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解题步骤 4.1.9.4.1

从 $- 2 h x$ 中分解出因数 $h$ 。

$\frac{\frac{h (- 2 x) - h^{2}}{4}}{h}$

解题步骤 4.1.9.4.2

从 $- h^{2}$ 中分解出因数 $h$ 。

$\frac{\frac{h (- 2 x) + h (- h)}{4}}{h}$

解题步骤 4.1.9.4.3

从 $h (- 2 x) + h (- h)$ 中分解出因数 $h$ 。

$\frac{\frac{h (- 2 x - h)}{4}}{h}$

解题步骤 4.2

将分子乘以分母的倒数。

$\frac{h (- 2 x - h)}{4} \cdot \frac{1}{h}$

解题步骤 4.3

约去 $h$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.1

约去公因数。

$\frac{h (- 2 x - h)}{4} \cdot \frac{1}{h}$

解题步骤 4.3.2

重写表达式。

$\frac{- 2 x - h}{4}$

解题步骤 4.4

从 $- 2 x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (2 x) - h}{4}$

解题步骤 4.5

从 $- (2 x) - h$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (2 x + h)}{4}$

解题步骤 4.6

化简表达式。

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解题步骤 4.6.1

将 $- (2 x + h)$ 重写为 $- 1 (2 x + h)$ 。

$\frac{- 1 (2 x + h)}{4}$

解题步骤 4.6.2

将负号移到分数的前面。

$- \frac{2 x + h}{4}$

解题步骤 5

初级微积分 示例

初级微积分示例