初级微积分示例

$f (x) = x^{2} + 2 x - 1$ ;, $[- 3, - \frac{5}{2}]$

解题步骤 1

将 $f (x) = x^{2} + 2 x - 1$ 写为等式。

$y = x^{2} + 2 x - 1$

解题步骤 2

运用平均变化率公式代入。

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解题步骤 2.1

函数的平均变化率可通过计算两点的 $y$ 的变化值除以两点的 $x$ 变化值来求得。

$\frac{f (- \frac{5}{2}) - f (- 3)}{(- \frac{5}{2}) - (- 3)}$

解题步骤 2.2

代入 $f (- \frac{5}{2})$ 和 $f (- 3)$ 的方程 $y = x^{2} + 2 x - 1$ 中，用对应的 $x$ 值替换函数中的 $x$ 。

$\frac{({(- \frac{5}{2})}^{2} + 2 (- \frac{5}{2}) - 1) - ({(- 3)}^{2} + 2 (- 3) - 1)}{(- \frac{5}{2}) - (- 3)}$

解题步骤 3

化简表达式。

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解题步骤 3.1

将分数的分子和分母乘以 $2$ 。

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解题步骤 3.1.1

将 $\frac{{(- \frac{5}{2})}^{2} + 2 (- \frac{5}{2}) - 1 - ({(- 3)}^{2} + 2 (- 3) - 1)}{- \frac{5}{2} - (- 3)}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{2}{2} \cdot \frac{{(- \frac{5}{2})}^{2} + 2 (- \frac{5}{2}) - 1 - ({(- 3)}^{2} + 2 (- 3) - 1)}{- \frac{5}{2} - (- 3)}$

解题步骤 3.1.2

合并。

$\frac{2 ({(- \frac{5}{2})}^{2} + 2 (- \frac{5}{2}) - 1 - ({(- 3)}^{2} + 2 (- 3) - 1))}{2 (- \frac{5}{2} - (- 3))}$

解题步骤 3.2

运用分配律。

$\frac{2 {(- \frac{5}{2})}^{2} + 2 (2 (- \frac{5}{2})) + 2 \cdot - 1 + 2 (- ({(- 3)}^{2} + 2 (- 3) - 1))}{2 (- \frac{5}{2}) + 2 (- (- 3))}$

解题步骤 3.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.1

将 $- \frac{5}{2}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{2 {(- \frac{5}{2})}^{2} + 2 (2 (- \frac{5}{2})) + 2 \cdot - 1 + 2 (- ({(- 3)}^{2} + 2 (- 3) - 1))}{2 (\frac{- 5}{2}) + 2 (- (- 3))}$

解题步骤 3.3.2

约去公因数。

$\frac{2 {(- \frac{5}{2})}^{2} + 2 (2 (- \frac{5}{2})) + 2 \cdot - 1 + 2 (- ({(- 3)}^{2} + 2 (- 3) - 1))}{2 (\frac{- 5}{2}) + 2 (- (- 3))}$

解题步骤 3.3.3

重写表达式。

$\frac{2 {(- \frac{5}{2})}^{2} + 2 (2 (- \frac{5}{2})) + 2 \cdot - 1 + 2 (- ({(- 3)}^{2} + 2 (- 3) - 1))}{- 5 + 2 (- (- 3))}$

解题步骤 3.4

化简分子。

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解题步骤 3.4.1

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 3.4.1.1

对 $- \frac{5}{2}$ 运用乘积法则。

$\frac{2 ({(- 1)}^{2} {(\frac{5}{2})}^{2}) + 2 \cdot 2 (- \frac{5}{2}) + 2 \cdot - 1 + 2 (- ({(- 3)}^{2} + 2 (- 3) - 1))}{- 5 + 2 (- (- 3))}$

解题步骤 3.4.1.2

对 $\frac{5}{2}$ 运用乘积法则。

$\frac{2 ({(- 1)}^{2} \frac{5^{2}}{2^{2}}) + 2 \cdot 2 (- \frac{5}{2}) + 2 \cdot - 1 + 2 (- ({(- 3)}^{2} + 2 (- 3) - 1))}{- 5 + 2 (- (- 3))}$

解题步骤 3.4.2

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{2 (1 \frac{5^{2}}{2^{2}}) + 2 \cdot 2 (- \frac{5}{2}) + 2 \cdot - 1 + 2 (- ({(- 3)}^{2} + 2 (- 3) - 1))}{- 5 + 2 (- (- 3))}$

解题步骤 3.4.3

将 $\frac{5^{2}}{2^{2}}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{2 \frac{5^{2}}{2^{2}} + 2 \cdot 2 (- \frac{5}{2}) + 2 \cdot - 1 + 2 (- ({(- 3)}^{2} + 2 (- 3) - 1))}{- 5 + 2 (- (- 3))}$

解题步骤 3.4.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.4.4.1

从 $2^{2}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 \frac{5^{2}}{2 \cdot 2} + 2 \cdot 2 (- \frac{5}{2}) + 2 \cdot - 1 + 2 (- ({(- 3)}^{2} + 2 (- 3) - 1))}{- 5 + 2 (- (- 3))}$

解题步骤 3.4.4.2

约去公因数。

$\frac{2 \frac{5^{2}}{2 \cdot 2} + 2 \cdot 2 (- \frac{5}{2}) + 2 \cdot - 1 + 2 (- ({(- 3)}^{2} + 2 (- 3) - 1))}{- 5 + 2 (- (- 3))}$

解题步骤 3.4.4.3

重写表达式。

$\frac{\frac{5^{2}}{2} + 2 \cdot 2 (- \frac{5}{2}) + 2 \cdot - 1 + 2 (- ({(- 3)}^{2} + 2 (- 3) - 1))}{- 5 + 2 (- (- 3))}$

解题步骤 3.4.5

对 $5$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{\frac{25}{2} + 2 \cdot 2 (- \frac{5}{2}) + 2 \cdot - 1 + 2 (- ({(- 3)}^{2} + 2 (- 3) - 1))}{- 5 + 2 (- (- 3))}$

解题步骤 3.4.6

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{\frac{25}{2} + 4 (- \frac{5}{2}) + 2 \cdot - 1 + 2 (- ({(- 3)}^{2} + 2 (- 3) - 1))}{- 5 + 2 (- (- 3))}$

解题步骤 3.4.7

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.4.7.1

将 $- \frac{5}{2}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{\frac{25}{2} + 4 (\frac{- 5}{2}) + 2 \cdot - 1 + 2 (- ({(- 3)}^{2} + 2 (- 3) - 1))}{- 5 + 2 (- (- 3))}$

解题步骤 3.4.7.2

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{\frac{25}{2} + 2 (2) \frac{- 5}{2} + 2 \cdot - 1 + 2 (- ({(- 3)}^{2} + 2 (- 3) - 1))}{- 5 + 2 (- (- 3))}$

解题步骤 3.4.7.3

约去公因数。

$\frac{\frac{25}{2} + 2 \cdot 2 \frac{- 5}{2} + 2 \cdot - 1 + 2 (- ({(- 3)}^{2} + 2 (- 3) - 1))}{- 5 + 2 (- (- 3))}$

解题步骤 3.4.7.4

重写表达式。

$\frac{\frac{25}{2} + 2 \cdot - 5 + 2 \cdot - 1 + 2 (- ({(- 3)}^{2} + 2 (- 3) - 1))}{- 5 + 2 (- (- 3))}$

解题步骤 3.4.8

将 $2$ 乘以 $- 5$ 。

$\frac{\frac{25}{2} - 10 + 2 \cdot - 1 + 2 (- ({(- 3)}^{2} + 2 (- 3) - 1))}{- 5 + 2 (- (- 3))}$

解题步骤 3.4.9

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{\frac{25}{2} - 10 - 2 + 2 (- ({(- 3)}^{2} + 2 (- 3) - 1))}{- 5 + 2 (- (- 3))}$

解题步骤 3.4.10

化简每一项。

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解题步骤 3.4.10.1

对 $- 3$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{\frac{25}{2} - 10 - 2 + 2 (- (9 + 2 (- 3) - 1))}{- 5 + 2 (- (- 3))}$

解题步骤 3.4.10.2

将 $2$ 乘以 $- 3$ 。

$\frac{\frac{25}{2} - 10 - 2 + 2 (- (9 - 6 - 1))}{- 5 + 2 (- (- 3))}$

解题步骤 3.4.11

从 $9$ 中减去 $6$ 。

$\frac{\frac{25}{2} - 10 - 2 + 2 (- (3 - 1))}{- 5 + 2 (- (- 3))}$

解题步骤 3.4.12

从 $3$ 中减去 $1$ 。

$\frac{\frac{25}{2} - 10 - 2 + 2 (- 1 \cdot 2)}{- 5 + 2 (- (- 3))}$

解题步骤 3.4.13

乘以 $2 (- 1 \cdot 2)$ 。

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解题步骤 3.4.13.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{\frac{25}{2} - 10 - 2 + 2 \cdot - 2}{- 5 + 2 (- (- 3))}$

解题步骤 3.4.13.2

将 $2$ 乘以 $- 2$ 。

$\frac{\frac{25}{2} - 10 - 2 - 4}{- 5 + 2 (- (- 3))}$

解题步骤 3.4.14

要将 $- 10$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{\frac{25}{2} - 10 \cdot \frac{2}{2} - 2 - 4}{- 5 + 2 (- (- 3))}$

解题步骤 3.4.15

组合 $- 10$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{\frac{25}{2} + \frac{- 10 \cdot 2}{2} - 2 - 4}{- 5 + 2 (- (- 3))}$

解题步骤 3.4.16

在公分母上合并分子。

$\frac{\frac{25 - 10 \cdot 2}{2} - 2 - 4}{- 5 + 2 (- (- 3))}$

解题步骤 3.4.17

化简分子。

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解题步骤 3.4.17.1

将 $- 10$ 乘以 $2$ 。

$\frac{\frac{25 - 20}{2} - 2 - 4}{- 5 + 2 (- (- 3))}$

解题步骤 3.4.17.2

从 $25$ 中减去 $20$ 。

$\frac{\frac{5}{2} - 2 - 4}{- 5 + 2 (- (- 3))}$

解题步骤 3.4.18

要将 $- 2$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{\frac{5}{2} - 2 \cdot \frac{2}{2} - 4}{- 5 + 2 (- (- 3))}$

解题步骤 3.4.19

组合 $- 2$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{\frac{5}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2} - 4}{- 5 + 2 (- (- 3))}$

解题步骤 3.4.20

在公分母上合并分子。

$\frac{\frac{5 - 2 \cdot 2}{2} - 4}{- 5 + 2 (- (- 3))}$

解题步骤 3.4.21

化简分子。

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解题步骤 3.4.21.1

将 $- 2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{\frac{5 - 4}{2} - 4}{- 5 + 2 (- (- 3))}$

解题步骤 3.4.21.2

从 $5$ 中减去 $4$ 。

$\frac{\frac{1}{2} - 4}{- 5 + 2 (- (- 3))}$

解题步骤 3.4.22

要将 $- 4$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{\frac{1}{2} - 4 \cdot \frac{2}{2}}{- 5 + 2 (- (- 3))}$

解题步骤 3.4.23

组合 $- 4$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{\frac{1}{2} + \frac{- 4 \cdot 2}{2}}{- 5 + 2 (- (- 3))}$

解题步骤 3.4.24

在公分母上合并分子。

$\frac{\frac{1 - 4 \cdot 2}{2}}{- 5 + 2 (- (- 3))}$

解题步骤 3.4.25

化简分子。

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解题步骤 3.4.25.1

将 $- 4$ 乘以 $2$ 。

$\frac{\frac{1 - 8}{2}}{- 5 + 2 (- (- 3))}$

解题步骤 3.4.25.2

从 $1$ 中减去 $8$ 。

$\frac{\frac{- 7}{2}}{- 5 + 2 (- (- 3))}$

解题步骤 3.4.26

将负号移到分数的前面。

$\frac{- \frac{7}{2}}{- 5 + 2 (- (- 3))}$

解题步骤 3.5

化简分母。

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解题步骤 3.5.1

乘以 $2 (- (- 3))$ 。

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解题步骤 3.5.1.1

将 $- 1$ 乘以 $- 3$ 。

$\frac{- \frac{7}{2}}{- 5 + 2 \cdot 3}$

解题步骤 3.5.1.2

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$\frac{- \frac{7}{2}}{- 5 + 6}$

解题步骤 3.5.2

将 $- 5$ 和 $6$ 相加。

$\frac{- \frac{7}{2}}{1}$

解题步骤 3.6

用 $- \frac{7}{2}$ 除以 $1$ 。

$- \frac{7}{2}$

初级微积分 示例

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