初级微积分示例

$g (x) = \frac{2}{x + 3}$ over the interval $1 \leq x \leq 3$ ?

解题步骤 1

将 $g (x) = \frac{2}{x + 3}$ 写为等式。

$y = \frac{2}{x + 3}$

解题步骤 2

运用平均变化率公式代入。

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解题步骤 2.1

函数的平均变化率可通过计算两点的 $y$ 的变化值除以两点的 $x$ 变化值来求得。

$\frac{f (3) - f (1)}{(3) - (1)}$

解题步骤 2.2

代入 $f (3)$ 和 $f (1)$ 的方程 $y = \frac{2}{x + 3}$ 中，用对应的 $x$ 值替换函数中的 $x$ 。

$\frac{(\frac{2}{(3) + 3}) - (\frac{2}{(1) + 3})}{(3) - (1)}$

解题步骤 3

化简表达式。

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解题步骤 3.1

将分数的分子和分母乘以 $(3 + 3) (1 + 3)$ 。

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解题步骤 3.1.1

将 $\frac{\frac{2}{3 + 3} - \frac{2}{1 + 3}}{3 - (1)}$ 乘以 $\frac{(3 + 3) (1 + 3)}{(3 + 3) (1 + 3)}$ 。

$\frac{(3 + 3) (1 + 3)}{(3 + 3) (1 + 3)} \cdot \frac{\frac{2}{3 + 3} - \frac{2}{1 + 3}}{3 - (1)}$

解题步骤 3.1.2

合并。

$\frac{(3 + 3) (1 + 3) (\frac{2}{3 + 3} - \frac{2}{1 + 3})}{(3 + 3) (1 + 3) (3 - (1))}$

解题步骤 3.2

运用分配律。

$\frac{(3 + 3) (1 + 3) \frac{2}{3 + 3} + (3 + 3) (1 + 3) (- \frac{2}{1 + 3})}{(3 + 3) (1 + 3) \cdot 3 + (3 + 3) (1 + 3) (- (1))}$

解题步骤 3.3

通过相约进行化简。

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解题步骤 3.3.1

约去 $3 + 3$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.1.1

约去公因数。

$\frac{(3 + 3) (1 + 3) \frac{2}{3 + 3} + (3 + 3) (1 + 3) (- \frac{2}{1 + 3})}{(3 + 3) (1 + 3) \cdot 3 + (3 + 3) (1 + 3) (- (1))}$

解题步骤 3.3.1.2

重写表达式。

$\frac{(1 + 3) \cdot 2 + (3 + 3) (1 + 3) (- \frac{2}{1 + 3})}{(3 + 3) (1 + 3) \cdot 3 + (3 + 3) (1 + 3) (- (1))}$

解题步骤 3.3.2

约去 $1 + 3$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.2.1

将 $- \frac{2}{1 + 3}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{(1 + 3) \cdot 2 + (3 + 3) (1 + 3) \frac{- 2}{1 + 3}}{(3 + 3) (1 + 3) \cdot 3 + (3 + 3) (1 + 3) (- (1))}$

解题步骤 3.3.2.2

从 $(3 + 3) (1 + 3)$ 中分解出因数 $1 + 3$ 。

$\frac{(1 + 3) \cdot 2 + (1 + 3) (3 + 3) \frac{- 2}{1 + 3}}{(3 + 3) (1 + 3) \cdot 3 + (3 + 3) (1 + 3) (- (1))}$

解题步骤 3.3.2.3

约去公因数。

$\frac{(1 + 3) \cdot 2 + (1 + 3) (3 + 3) \frac{- 2}{1 + 3}}{(3 + 3) (1 + 3) \cdot 3 + (3 + 3) (1 + 3) (- (1))}$

解题步骤 3.3.2.4

重写表达式。

$\frac{(1 + 3) \cdot 2 + (3 + 3) \cdot - 2}{(3 + 3) (1 + 3) \cdot 3 + (3 + 3) (1 + 3) (- (1))}$

解题步骤 3.4

化简分子。

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解题步骤 3.4.1

将 $1$ 和 $3$ 相加。

$\frac{4 \cdot 2 + (3 + 3) \cdot - 2}{(3 + 3) (1 + 3) \cdot 3 + (3 + 3) (1 + 3) (- (1))}$

解题步骤 3.4.2

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$\frac{8 + (3 + 3) \cdot - 2}{(3 + 3) (1 + 3) \cdot 3 + (3 + 3) (1 + 3) (- (1))}$

解题步骤 3.4.3

将 $3$ 和 $3$ 相加。

$\frac{8 + 6 \cdot - 2}{(3 + 3) (1 + 3) \cdot 3 + (3 + 3) (1 + 3) (- (1))}$

解题步骤 3.4.4

将 $6$ 乘以 $- 2$ 。

$\frac{8 - 12}{(3 + 3) (1 + 3) \cdot 3 + (3 + 3) (1 + 3) (- (1))}$

解题步骤 3.4.5

从 $8$ 中减去 $12$ 。

$\frac{- 4}{(3 + 3) (1 + 3) \cdot 3 + (3 + 3) (1 + 3) (- (1))}$

解题步骤 3.5

化简分母。

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解题步骤 3.5.1

将 $3$ 和 $3$ 相加。

$\frac{- 4}{6 (1 + 3) \cdot 3 + (3 + 3) (1 + 3) (- (1))}$

解题步骤 3.5.2

将 $1$ 和 $3$ 相加。

$\frac{- 4}{6 \cdot 4 \cdot 3 + (3 + 3) (1 + 3) (- (1))}$

解题步骤 3.5.3

乘以 $6 \cdot 4 \cdot 3$ 。

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解题步骤 3.5.3.1

将 $6$ 乘以 $4$ 。

$\frac{- 4}{24 \cdot 3 + (3 + 3) (1 + 3) (- (1))}$

解题步骤 3.5.3.2

将 $24$ 乘以 $3$ 。

$\frac{- 4}{72 + (3 + 3) (1 + 3) (- (1))}$

解题步骤 3.5.4

将 $3$ 和 $3$ 相加。

$\frac{- 4}{72 + 6 (1 + 3) (- (1))}$

解题步骤 3.5.5

将 $1$ 和 $3$ 相加。

$\frac{- 4}{72 + 6 \cdot 4 (- (1))}$

解题步骤 3.5.6

乘以 $6 \cdot 4 (- (1))$ 。

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解题步骤 3.5.6.1

将 $6$ 乘以 $4$ 。

$\frac{- 4}{72 + 24 (- (1))}$

解题步骤 3.5.6.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{- 4}{72 + 24 \cdot - 1}$

解题步骤 3.5.6.3

将 $24$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{- 4}{72 - 24}$

解题步骤 3.5.7

从 $72$ 中减去 $24$ 。

$\frac{- 4}{48}$

解题步骤 3.6

通过约去公因数来化简表达式。

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解题步骤 3.6.1

约去 $- 4$ 和 $48$ 的公因数。

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解题步骤 3.6.1.1

从 $- 4$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{4 (- 1)}{48}$

解题步骤 3.6.1.2

约去公因数。

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解题步骤 3.6.1.2.1

从 $48$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 12}$

解题步骤 3.6.1.2.2

约去公因数。

$\frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 12}$

解题步骤 3.6.1.2.3

重写表达式。

$\frac{- 1}{12}$

解题步骤 3.6.2

将负号移到分数的前面。

$- \frac{1}{12}$

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