初级微积分示例

$- {(t - 1)}^{2} + 5$

解题步骤 1

将 $- {(t - 1)}^{2} + 5$ 书写为一个函数。

$f (t) = - {(t - 1)}^{2} + 5$

解题步骤 2

考虑差商公式。

$\frac{f (t + h) - f t}{h}$

解题步骤 3

求定义的补集。

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解题步骤 3.1

计算函数在 $x = t + h$ 处的值。

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解题步骤 3.1.1

使用表达式中的 $t + h$ 替换变量 $t$ 。

$f (t + h) = - {((t + h) - 1)}^{2} + 5$

解题步骤 3.1.2

化简结果。

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解题步骤 3.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 3.1.2.1.1

将 ${(t + h - 1)}^{2}$ 重写为 $(t + h - 1) (t + h - 1)$ 。

$f (t + h) = - ((t + h - 1) (t + h - 1)) + 5$

解题步骤 3.1.2.1.2

将第一个表达式中的每一项与第二个表达式中的每一项相乘来展开 $(t + h - 1) (t + h - 1)$ 。

$f (t + h) = - (t \cdot t + t h + t \cdot - 1 + h t + h \cdot h + h \cdot - 1 - 1 t - 1 h - 1 \cdot - 1) + 5$

解题步骤 3.1.2.1.3

化简每一项。

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解题步骤 3.1.2.1.3.1

将 $t$ 乘以 $t$ 。

$f (t + h) = - (t^{2} + t h + t \cdot - 1 + h t + h \cdot h + h \cdot - 1 - 1 t - 1 h - 1 \cdot - 1) + 5$

解题步骤 3.1.2.1.3.2

将 $- 1$ 移到 $t$ 的左侧。

$f (t + h) = - (t^{2} + t h - 1 \cdot t + h t + h \cdot h + h \cdot - 1 - 1 t - 1 h - 1 \cdot - 1) + 5$

解题步骤 3.1.2.1.3.3

将 $- 1 t$ 重写为 $- t$ 。

$f (t + h) = - (t^{2} + t h - t + h t + h \cdot h + h \cdot - 1 - 1 t - 1 h - 1 \cdot - 1) + 5$

解题步骤 3.1.2.1.3.4

将 $h$ 乘以 $h$ 。

$f (t + h) = - (t^{2} + t h - t + h t + h^{2} + h \cdot - 1 - 1 t - 1 h - 1 \cdot - 1) + 5$

解题步骤 3.1.2.1.3.5

将 $- 1$ 移到 $h$ 的左侧。

$f (t + h) = - (t^{2} + t h - t + h t + h^{2} - 1 \cdot h - 1 t - 1 h - 1 \cdot - 1) + 5$

解题步骤 3.1.2.1.3.6

将 $- 1 h$ 重写为 $- h$ 。

$f (t + h) = - (t^{2} + t h - t + h t + h^{2} - h - 1 t - 1 h - 1 \cdot - 1) + 5$

解题步骤 3.1.2.1.3.7

将 $- 1 t$ 重写为 $- t$ 。

$f (t + h) = - (t^{2} + t h - t + h t + h^{2} - h - t - 1 h - 1 \cdot - 1) + 5$

解题步骤 3.1.2.1.3.8

将 $- 1 h$ 重写为 $- h$ 。

$f (t + h) = - (t^{2} + t h - t + h t + h^{2} - h - t - h - 1 \cdot - 1) + 5$

解题步骤 3.1.2.1.3.9

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$f (t + h) = - (t^{2} + t h - t + h t + h^{2} - h - t - h + 1) + 5$

解题步骤 3.1.2.1.4

将 $t h$ 和 $h t$ 相加。

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解题步骤 3.1.2.1.4.1

将 $t$ 和 $h$ 重新排序。

$f (t + h) = - (t^{2} + h t + h t - t + h^{2} - h - t - h + 1) + 5$

解题步骤 3.1.2.1.4.2

将 $h t$ 和 $h t$ 相加。

$f (t + h) = - (t^{2} + 2 h t - t + h^{2} - h - t - h + 1) + 5$

解题步骤 3.1.2.1.5

从 $- t$ 中减去 $t$ 。

$f (t + h) = - (t^{2} + 2 h t + h^{2} - h - 2 t - h + 1) + 5$

解题步骤 3.1.2.1.6

从 $- h$ 中减去 $h$ 。

$f (t + h) = - (t^{2} + 2 h t + h^{2} - 2 h - 2 t + 1) + 5$

解题步骤 3.1.2.1.7

运用分配律。

$f (t + h) = - t^{2} - (2 h t) - h^{2} - (- 2 h) - (- 2 t) - 1 \cdot 1 + 5$

解题步骤 3.1.2.1.8

化简。

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解题步骤 3.1.2.1.8.1

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$f (t + h) = - t^{2} - 2 (h t) - h^{2} - (- 2 h) - (- 2 t) - 1 \cdot 1 + 5$

解题步骤 3.1.2.1.8.2

将 $- 2$ 乘以 $- 1$ 。

$f (t + h) = - t^{2} - 2 (h t) - h^{2} + 2 h - (- 2 t) - 1 \cdot 1 + 5$

解题步骤 3.1.2.1.8.3

将 $- 2$ 乘以 $- 1$ 。

$f (t + h) = - t^{2} - 2 (h t) - h^{2} + 2 h + 2 t - 1 \cdot 1 + 5$

解题步骤 3.1.2.1.8.4

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$f (t + h) = - t^{2} - 2 (h t) - h^{2} + 2 h + 2 t - 1 + 5$

$f (t + h) = - t^{2} - 2 h t - h^{2} + 2 h + 2 t - 1 + 5$

解题步骤 3.1.2.2

将 $- 1$ 和 $5$ 相加。

$f (t + h) = - t^{2} - 2 h t - h^{2} + 2 h + 2 t + 4$

解题步骤 3.1.2.3

最终答案为 $- t^{2} - 2 h t - h^{2} + 2 h + 2 t + 4$ 。

$- t^{2} - 2 h t - h^{2} + 2 h + 2 t + 4$

解题步骤 3.2

重新排序。

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解题步骤 3.2.1

移动 $- t^{2}$ 。

$- 2 h t - h^{2} - t^{2} + 2 h + 2 t + 4$

解题步骤 3.2.2

将 $- 2 h t$ 和 $- h^{2}$ 重新排序。

$- h^{2} - 2 h t - t^{2} + 2 h + 2 t + 4$

解题步骤 3.3

求定义的补集。

$f (t + h) = - h^{2} - 2 h t - t^{2} + 2 h + 2 t + 4$

$f (t) = - t^{2} + 2 t + 4$

$f (t + h) = - h^{2} - 2 h t - t^{2} + 2 h + 2 t + 4$

$f (t) = - t^{2} + 2 t + 4$

解题步骤 4

插入分量。

$\frac{f (t + h) - f t}{h} = \frac{- h^{2} - 2 h t - t^{2} + 2 h + 2 t + 4 - (- t^{2} + 2 t + 4)}{h}$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

化简分子。

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解题步骤 5.1.1

运用分配律。

$\frac{- h^{2} - 2 h t - t^{2} + 2 h + 2 t + 4 - - t^{2} - (2 t) - 1 \cdot 4}{h}$

解题步骤 5.1.2

化简。

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解题步骤 5.1.2.1

乘以 $- - t^{2}$ 。

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解题步骤 5.1.2.1.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{- h^{2} - 2 h t - t^{2} + 2 h + 2 t + 4 + 1 t^{2} - (2 t) - 1 \cdot 4}{h}$

解题步骤 5.1.2.1.2

将 $t^{2}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{- h^{2} - 2 h t - t^{2} + 2 h + 2 t + 4 + t^{2} - (2 t) - 1 \cdot 4}{h}$

解题步骤 5.1.2.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{- h^{2} - 2 h t - t^{2} + 2 h + 2 t + 4 + t^{2} - 2 t - 1 \cdot 4}{h}$

解题步骤 5.1.2.3

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$\frac{- h^{2} - 2 h t - t^{2} + 2 h + 2 t + 4 + t^{2} - 2 t - 4}{h}$

解题步骤 5.1.3

将 $- t^{2}$ 和 $t^{2}$ 相加。

$\frac{- h^{2} - 2 h t + 2 h + 2 t + 4 + 0 - 2 t - 4}{h}$

解题步骤 5.1.4

将 $- h^{2}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{- h^{2} - 2 h t + 2 h + 2 t + 4 - 2 t - 4}{h}$

解题步骤 5.1.5

从 $2 t$ 中减去 $2 t$ 。

$\frac{- h^{2} - 2 h t + 2 h + 0 + 4 - 4}{h}$

解题步骤 5.1.6

将 $- h^{2}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{- h^{2} - 2 h t + 2 h + 4 - 4}{h}$

解题步骤 5.1.7

从 $4$ 中减去 $4$ 。

$\frac{- h^{2} - 2 h t + 2 h + 0}{h}$

解题步骤 5.1.8

将 $- h^{2} - 2 h t + 2 h$ 和 $0$ 相加。

$\frac{- h^{2} - 2 h t + 2 h}{h}$

解题步骤 5.1.9

从 $- h^{2} - 2 h t + 2 h$ 中分解出因数 $h$ 。

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解题步骤 5.1.9.1

从 $- h^{2}$ 中分解出因数 $h$ 。

$\frac{h (- h) - 2 h t + 2 h}{h}$

解题步骤 5.1.9.2

从 $- 2 h t$ 中分解出因数 $h$ 。

$\frac{h (- h) + h (- 2 t) + 2 h}{h}$

解题步骤 5.1.9.3

从 $2 h$ 中分解出因数 $h$ 。

$\frac{h (- h) + h (- 2 t) + h \cdot 2}{h}$

解题步骤 5.1.9.4

从 $h (- h) + h (- 2 t)$ 中分解出因数 $h$ 。

$\frac{h (- h - 2 t) + h \cdot 2}{h}$

解题步骤 5.1.9.5

从 $h (- h - 2 t) + h \cdot 2$ 中分解出因数 $h$ 。

$\frac{h (- h - 2 t + 2)}{h}$

解题步骤 5.2

通过约去公因数来化简表达式。

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解题步骤 5.2.1

约去 $h$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.1.1

约去公因数。

$\frac{h (- h - 2 t + 2)}{h}$

解题步骤 5.2.1.2

用 $- h - 2 t + 2$ 除以 $1$ 。

$- h - 2 t + 2$

解题步骤 5.2.2

将 $- h$ 和 $- 2 t$ 重新排序。

$- 2 t - h + 2$

解题步骤 6

初级微积分 示例

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