初级微积分示例

$f (x) = 5 x^{4} - 4 x^{3} + 25 x + 8000$

解题步骤 1

考虑差商公式。

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

解题步骤 2

求定义的补集。

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解题步骤 2.1

计算函数在 $x = x + h$ 处的值。

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解题步骤 2.1.1

使用表达式中的 $x + h$ 替换变量 $x$ 。

$f (x + h) = 5 {(x + h)}^{4} - 4 {(x + h)}^{3} + 25 (x + h) + 8000$

解题步骤 2.1.2

化简结果。

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解题步骤 2.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.2.1.1

使用二项式定理。

$f (x + h) = 5 (x^{4} + 4 x^{3} h + 6 x^{2} h^{2} + 4 x h^{3} + h^{4}) - 4 {(x + h)}^{3} + 25 (x + h) + 8000$

解题步骤 2.1.2.1.2

运用分配律。

$f (x + h) = 5 x^{4} + 5 (4 x^{3} h) + 5 (6 x^{2} h^{2}) + 5 (4 x h^{3}) + 5 h^{4} - 4 {(x + h)}^{3} + 25 (x + h) + 8000$

解题步骤 2.1.2.1.3

化简。

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解题步骤 2.1.2.1.3.1

将 $4$ 乘以 $5$ 。

$f (x + h) = 5 x^{4} + 20 (x^{3} h) + 5 (6 x^{2} h^{2}) + 5 (4 x h^{3}) + 5 h^{4} - 4 {(x + h)}^{3} + 25 (x + h) + 8000$

解题步骤 2.1.2.1.3.2

将 $6$ 乘以 $5$ 。

$f (x + h) = 5 x^{4} + 20 (x^{3} h) + 30 (x^{2} h^{2}) + 5 (4 x h^{3}) + 5 h^{4} - 4 {(x + h)}^{3} + 25 (x + h) + 8000$

解题步骤 2.1.2.1.3.3

将 $4$ 乘以 $5$ 。

$f (x + h) = 5 x^{4} + 20 (x^{3} h) + 30 (x^{2} h^{2}) + 20 (x h^{3}) + 5 h^{4} - 4 {(x + h)}^{3} + 25 (x + h) + 8000$

解题步骤 2.1.2.1.4

去掉圆括号。

$f (x + h) = 5 x^{4} + 20 x^{3} h + 30 x^{2} h^{2} + 20 x h^{3} + 5 h^{4} - 4 {(x + h)}^{3} + 25 (x + h) + 8000$

解题步骤 2.1.2.1.5

使用二项式定理。

$f (x + h) = 5 x^{4} + 20 x^{3} h + 30 x^{2} h^{2} + 20 x h^{3} + 5 h^{4} - 4 (x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3}) + 25 (x + h) + 8000$

解题步骤 2.1.2.1.6

运用分配律。

$f (x + h) = 5 x^{4} + 20 x^{3} h + 30 x^{2} h^{2} + 20 x h^{3} + 5 h^{4} - 4 x^{3} - 4 (3 x^{2} h) - 4 (3 x h^{2}) - 4 h^{3} + 25 (x + h) + 8000$

解题步骤 2.1.2.1.7

化简。

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解题步骤 2.1.2.1.7.1

将 $3$ 乘以 $- 4$ 。

$f (x + h) = 5 x^{4} + 20 x^{3} h + 30 x^{2} h^{2} + 20 x h^{3} + 5 h^{4} - 4 x^{3} - 12 (x^{2} h) - 4 (3 x h^{2}) - 4 h^{3} + 25 (x + h) + 8000$

解题步骤 2.1.2.1.7.2

将 $3$ 乘以 $- 4$ 。

$f (x + h) = 5 x^{4} + 20 x^{3} h + 30 x^{2} h^{2} + 20 x h^{3} + 5 h^{4} - 4 x^{3} - 12 (x^{2} h) - 12 (x h^{2}) - 4 h^{3} + 25 (x + h) + 8000$

解题步骤 2.1.2.1.8

去掉圆括号。

$f (x + h) = 5 x^{4} + 20 x^{3} h + 30 x^{2} h^{2} + 20 x h^{3} + 5 h^{4} - 4 x^{3} - 12 x^{2} h - 12 x h^{2} - 4 h^{3} + 25 (x + h) + 8000$

解题步骤 2.1.2.1.9

运用分配律。

$f (x + h) = 5 x^{4} + 20 x^{3} h + 30 x^{2} h^{2} + 20 x h^{3} + 5 h^{4} - 4 x^{3} - 12 x^{2} h - 12 x h^{2} - 4 h^{3} + 25 x + 25 h + 8000$

解题步骤 2.1.2.2

最终答案为 $5 x^{4} + 20 x^{3} h + 30 x^{2} h^{2} + 20 x h^{3} + 5 h^{4} - 4 x^{3} - 12 x^{2} h - 12 x h^{2} - 4 h^{3} + 25 x + 25 h + 8000$ 。

$5 x^{4} + 20 x^{3} h + 30 x^{2} h^{2} + 20 x h^{3} + 5 h^{4} - 4 x^{3} - 12 x^{2} h - 12 x h^{2} - 4 h^{3} + 25 x + 25 h + 8000$

解题步骤 2.2

重新排序。

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解题步骤 2.2.1

移动 $x^{3}$ 。

$5 x^{4} + 20 h x^{3} + 30 x^{2} h^{2} + 20 x h^{3} + 5 h^{4} - 4 x^{3} - 12 x^{2} h - 12 x h^{2} - 4 h^{3} + 25 x + 25 h + 8000$

解题步骤 2.2.2

移动 $x^{2}$ 。

$5 x^{4} + 20 h x^{3} + 30 h^{2} x^{2} + 20 x h^{3} + 5 h^{4} - 4 x^{3} - 12 x^{2} h - 12 x h^{2} - 4 h^{3} + 25 x + 25 h + 8000$

解题步骤 2.2.3

移动 $x$ 。

$5 x^{4} + 20 h x^{3} + 30 h^{2} x^{2} + 20 h^{3} x + 5 h^{4} - 4 x^{3} - 12 x^{2} h - 12 x h^{2} - 4 h^{3} + 25 x + 25 h + 8000$

解题步骤 2.2.4

移动 $x^{2}$ 。

$5 x^{4} + 20 h x^{3} + 30 h^{2} x^{2} + 20 h^{3} x + 5 h^{4} - 4 x^{3} - 12 h x^{2} - 12 x h^{2} - 4 h^{3} + 25 x + 25 h + 8000$

解题步骤 2.2.5

移动 $x$ 。

$5 x^{4} + 20 h x^{3} + 30 h^{2} x^{2} + 20 h^{3} x + 5 h^{4} - 4 x^{3} - 12 h x^{2} - 12 h^{2} x - 4 h^{3} + 25 x + 25 h + 8000$

解题步骤 2.2.6

移动 $25 x$ 。

$5 x^{4} + 20 h x^{3} + 30 h^{2} x^{2} + 20 h^{3} x + 5 h^{4} - 4 x^{3} - 12 h x^{2} - 12 h^{2} x - 4 h^{3} + 25 h + 25 x + 8000$

解题步骤 2.2.7

移动 $- 4 x^{3}$ 。

$5 x^{4} + 20 h x^{3} + 30 h^{2} x^{2} + 20 h^{3} x + 5 h^{4} - 12 h x^{2} - 12 h^{2} x - 4 h^{3} - 4 x^{3} + 25 h + 25 x + 8000$

解题步骤 2.2.8

移动 $- 12 h x^{2}$ 。

$5 x^{4} + 20 h x^{3} + 30 h^{2} x^{2} + 20 h^{3} x + 5 h^{4} - 12 h^{2} x - 4 h^{3} - 12 h x^{2} - 4 x^{3} + 25 h + 25 x + 8000$

解题步骤 2.2.9

移动 $- 12 h^{2} x$ 。

$5 x^{4} + 20 h x^{3} + 30 h^{2} x^{2} + 20 h^{3} x + 5 h^{4} - 4 h^{3} - 12 h^{2} x - 12 h x^{2} - 4 x^{3} + 25 h + 25 x + 8000$

解题步骤 2.2.10

移动 $5 x^{4}$ 。

$20 h x^{3} + 30 h^{2} x^{2} + 20 h^{3} x + 5 h^{4} + 5 x^{4} - 4 h^{3} - 12 h^{2} x - 12 h x^{2} - 4 x^{3} + 25 h + 25 x + 8000$

解题步骤 2.2.11

移动 $20 h x^{3}$ 。

$30 h^{2} x^{2} + 20 h^{3} x + 5 h^{4} + 20 h x^{3} + 5 x^{4} - 4 h^{3} - 12 h^{2} x - 12 h x^{2} - 4 x^{3} + 25 h + 25 x + 8000$

解题步骤 2.2.12

移动 $30 h^{2} x^{2}$ 。

$20 h^{3} x + 5 h^{4} + 30 h^{2} x^{2} + 20 h x^{3} + 5 x^{4} - 4 h^{3} - 12 h^{2} x - 12 h x^{2} - 4 x^{3} + 25 h + 25 x + 8000$

解题步骤 2.2.13

将 $20 h^{3} x$ 和 $5 h^{4}$ 重新排序。

$5 h^{4} + 20 h^{3} x + 30 h^{2} x^{2} + 20 h x^{3} + 5 x^{4} - 4 h^{3} - 12 h^{2} x - 12 h x^{2} - 4 x^{3} + 25 h + 25 x + 8000$

解题步骤 2.3

求定义的补集。

$f (x + h) = 5 h^{4} + 20 h^{3} x + 30 h^{2} x^{2} + 20 h x^{3} + 5 x^{4} - 4 h^{3} - 12 h^{2} x - 12 h x^{2} - 4 x^{3} + 25 h + 25 x + 8000$

$f (x) = 5 x^{4} - 4 x^{3} + 25 x + 8000$

$f (x + h) = 5 h^{4} + 20 h^{3} x + 30 h^{2} x^{2} + 20 h x^{3} + 5 x^{4} - 4 h^{3} - 12 h^{2} x - 12 h x^{2} - 4 x^{3} + 25 h + 25 x + 8000$

$f (x) = 5 x^{4} - 4 x^{3} + 25 x + 8000$

解题步骤 3

插入分量。

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{5 h^{4} + 20 h^{3} x + 30 h^{2} x^{2} + 20 h x^{3} + 5 x^{4} - 4 h^{3} - 12 h^{2} x - 12 h x^{2} - 4 x^{3} + 25 h + 25 x + 8000 - (5 x^{4} - 4 x^{3} + 25 x + 8000)}{h}$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

化简分子。

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解题步骤 4.1.1

运用分配律。

$\frac{5 h^{4} + 20 h^{3} x + 30 h^{2} x^{2} + 20 h x^{3} + 5 x^{4} - 4 h^{3} - 12 h^{2} x - 12 h x^{2} - 4 x^{3} + 25 h + 25 x + 8000 - (5 x^{4}) - (- 4 x^{3}) - (25 x) - 1 \cdot 8000}{h}$

解题步骤 4.1.2

化简。

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解题步骤 4.1.2.1

将 $5$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{5 h^{4} + 20 h^{3} x + 30 h^{2} x^{2} + 20 h x^{3} + 5 x^{4} - 4 h^{3} - 12 h^{2} x - 12 h x^{2} - 4 x^{3} + 25 h + 25 x + 8000 - 5 x^{4} - (- 4 x^{3}) - (25 x) - 1 \cdot 8000}{h}$

解题步骤 4.1.2.2

将 $- 4$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{5 h^{4} + 20 h^{3} x + 30 h^{2} x^{2} + 20 h x^{3} + 5 x^{4} - 4 h^{3} - 12 h^{2} x - 12 h x^{2} - 4 x^{3} + 25 h + 25 x + 8000 - 5 x^{4} + 4 x^{3} - (25 x) - 1 \cdot 8000}{h}$

解题步骤 4.1.2.3

将 $25$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{5 h^{4} + 20 h^{3} x + 30 h^{2} x^{2} + 20 h x^{3} + 5 x^{4} - 4 h^{3} - 12 h^{2} x - 12 h x^{2} - 4 x^{3} + 25 h + 25 x + 8000 - 5 x^{4} + 4 x^{3} - 25 x - 1 \cdot 8000}{h}$

解题步骤 4.1.2.4

将 $- 1$ 乘以 $8000$ 。

$\frac{5 h^{4} + 20 h^{3} x + 30 h^{2} x^{2} + 20 h x^{3} + 5 x^{4} - 4 h^{3} - 12 h^{2} x - 12 h x^{2} - 4 x^{3} + 25 h + 25 x + 8000 - 5 x^{4} + 4 x^{3} - 25 x - 8000}{h}$

解题步骤 4.1.3

从 $5 x^{4}$ 中减去 $5 x^{4}$ 。

$\frac{5 h^{4} + 20 h^{3} x + 30 h^{2} x^{2} + 20 h x^{3} - 4 h^{3} - 12 h^{2} x - 12 h x^{2} - 4 x^{3} + 25 h + 25 x + 8000 + 0 + 4 x^{3} - 25 x - 8000}{h}$

解题步骤 4.1.4

将 $5 h^{4}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{5 h^{4} + 20 h^{3} x + 30 h^{2} x^{2} + 20 h x^{3} - 4 h^{3} - 12 h^{2} x - 12 h x^{2} - 4 x^{3} + 25 h + 25 x + 8000 + 4 x^{3} - 25 x - 8000}{h}$

解题步骤 4.1.5

将 $- 4 x^{3}$ 和 $4 x^{3}$ 相加。

$\frac{5 h^{4} + 20 h^{3} x + 30 h^{2} x^{2} + 20 h x^{3} - 4 h^{3} - 12 h^{2} x - 12 h x^{2} + 25 h + 25 x + 8000 + 0 - 25 x - 8000}{h}$

解题步骤 4.1.6

将 $5 h^{4}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{5 h^{4} + 20 h^{3} x + 30 h^{2} x^{2} + 20 h x^{3} - 4 h^{3} - 12 h^{2} x - 12 h x^{2} + 25 h + 25 x + 8000 - 25 x - 8000}{h}$

解题步骤 4.1.7

从 $25 x$ 中减去 $25 x$ 。

$\frac{5 h^{4} + 20 h^{3} x + 30 h^{2} x^{2} + 20 h x^{3} - 4 h^{3} - 12 h^{2} x - 12 h x^{2} + 25 h + 0 + 8000 - 8000}{h}$

解题步骤 4.1.8

将 $5 h^{4}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{5 h^{4} + 20 h^{3} x + 30 h^{2} x^{2} + 20 h x^{3} - 4 h^{3} - 12 h^{2} x - 12 h x^{2} + 25 h + 8000 - 8000}{h}$

解题步骤 4.1.9

从 $8000$ 中减去 $8000$ 。

$\frac{5 h^{4} + 20 h^{3} x + 30 h^{2} x^{2} + 20 h x^{3} - 4 h^{3} - 12 h^{2} x - 12 h x^{2} + 25 h + 0}{h}$

解题步骤 4.1.10

将 $5 h^{4} + 20 h^{3} x + 30 h^{2} x^{2} + 20 h x^{3} - 4 h^{3} - 12 h^{2} x - 12 h x^{2} + 25 h$ 和 $0$ 相加。

$\frac{5 h^{4} + 20 h^{3} x + 30 h^{2} x^{2} + 20 h x^{3} - 4 h^{3} - 12 h^{2} x - 12 h x^{2} + 25 h}{h}$

解题步骤 4.1.11

从 $5 h^{4} + 20 h^{3} x + 30 h^{2} x^{2} + 20 h x^{3} - 4 h^{3} - 12 h^{2} x - 12 h x^{2} + 25 h$ 中分解出因数 $h$ 。

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解题步骤 4.1.11.1

从 $5 h^{4}$ 中分解出因数 $h$ 。

$\frac{h (5 h^{3}) + 20 h^{3} x + 30 h^{2} x^{2} + 20 h x^{3} - 4 h^{3} - 12 h^{2} x - 12 h x^{2} + 25 h}{h}$

解题步骤 4.1.11.2

从 $20 h^{3} x$ 中分解出因数 $h$ 。

$\frac{h (5 h^{3}) + h (20 h^{2} x) + 30 h^{2} x^{2} + 20 h x^{3} - 4 h^{3} - 12 h^{2} x - 12 h x^{2} + 25 h}{h}$

解题步骤 4.1.11.3

从 $30 h^{2} x^{2}$ 中分解出因数 $h$ 。

$\frac{h (5 h^{3}) + h (20 h^{2} x) + h (30 h x^{2}) + 20 h x^{3} - 4 h^{3} - 12 h^{2} x - 12 h x^{2} + 25 h}{h}$

解题步骤 4.1.11.4

从 $20 h x^{3}$ 中分解出因数 $h$ 。

$\frac{h (5 h^{3}) + h (20 h^{2} x) + h (30 h x^{2}) + h (20 x^{3}) - 4 h^{3} - 12 h^{2} x - 12 h x^{2} + 25 h}{h}$

解题步骤 4.1.11.5

从 $- 4 h^{3}$ 中分解出因数 $h$ 。

$\frac{h (5 h^{3}) + h (20 h^{2} x) + h (30 h x^{2}) + h (20 x^{3}) + h (- 4 h^{2}) - 12 h^{2} x - 12 h x^{2} + 25 h}{h}$

解题步骤 4.1.11.6

从 $- 12 h^{2} x$ 中分解出因数 $h$ 。

$\frac{h (5 h^{3}) + h (20 h^{2} x) + h (30 h x^{2}) + h (20 x^{3}) + h (- 4 h^{2}) + h (- 12 h x) - 12 h x^{2} + 25 h}{h}$

解题步骤 4.1.11.7

从 $- 12 h x^{2}$ 中分解出因数 $h$ 。

$\frac{h (5 h^{3}) + h (20 h^{2} x) + h (30 h x^{2}) + h (20 x^{3}) + h (- 4 h^{2}) + h (- 12 h x) + h (- 12 x^{2}) + 25 h}{h}$

解题步骤 4.1.11.8

从 $25 h$ 中分解出因数 $h$ 。

$\frac{h (5 h^{3}) + h (20 h^{2} x) + h (30 h x^{2}) + h (20 x^{3}) + h (- 4 h^{2}) + h (- 12 h x) + h (- 12 x^{2}) + h \cdot 25}{h}$

解题步骤 4.1.11.9

从 $h (5 h^{3}) + h (20 h^{2} x)$ 中分解出因数 $h$ 。

$\frac{h (5 h^{3} + 20 h^{2} x) + h (30 h x^{2}) + h (20 x^{3}) + h (- 4 h^{2}) + h (- 12 h x) + h (- 12 x^{2}) + h \cdot 25}{h}$

解题步骤 4.1.11.10

从 $h (5 h^{3} + 20 h^{2} x) + h (30 h x^{2})$ 中分解出因数 $h$ 。

$\frac{h (5 h^{3} + 20 h^{2} x + 30 h x^{2}) + h (20 x^{3}) + h (- 4 h^{2}) + h (- 12 h x) + h (- 12 x^{2}) + h \cdot 25}{h}$

解题步骤 4.1.11.11

从 $h (5 h^{3} + 20 h^{2} x + 30 h x^{2}) + h (20 x^{3})$ 中分解出因数 $h$ 。

$\frac{h (5 h^{3} + 20 h^{2} x + 30 h x^{2} + 20 x^{3}) + h (- 4 h^{2}) + h (- 12 h x) + h (- 12 x^{2}) + h \cdot 25}{h}$

解题步骤 4.1.11.12

从 $h (5 h^{3} + 20 h^{2} x + 30 h x^{2} + 20 x^{3}) + h (- 4 h^{2})$ 中分解出因数 $h$ 。

$\frac{h (5 h^{3} + 20 h^{2} x + 30 h x^{2} + 20 x^{3} - 4 h^{2}) + h (- 12 h x) + h (- 12 x^{2}) + h \cdot 25}{h}$

解题步骤 4.1.11.13

从 $h (5 h^{3} + 20 h^{2} x + 30 h x^{2} + 20 x^{3} - 4 h^{2}) + h (- 12 h x)$ 中分解出因数 $h$ 。

$\frac{h (5 h^{3} + 20 h^{2} x + 30 h x^{2} + 20 x^{3} - 4 h^{2} - 12 h x) + h (- 12 x^{2}) + h \cdot 25}{h}$

解题步骤 4.1.11.14

从 $h (5 h^{3} + 20 h^{2} x + 30 h x^{2} + 20 x^{3} - 4 h^{2} - 12 h x) + h (- 12 x^{2})$ 中分解出因数 $h$ 。

$\frac{h (5 h^{3} + 20 h^{2} x + 30 h x^{2} + 20 x^{3} - 4 h^{2} - 12 h x - 12 x^{2}) + h \cdot 25}{h}$

解题步骤 4.1.11.15

从 $h (5 h^{3} + 20 h^{2} x + 30 h x^{2} + 20 x^{3} - 4 h^{2} - 12 h x - 12 x^{2}) + h \cdot 25$ 中分解出因数 $h$ 。

$\frac{h (5 h^{3} + 20 h^{2} x + 30 h x^{2} + 20 x^{3} - 4 h^{2} - 12 h x - 12 x^{2} + 25)}{h}$

解题步骤 4.2

通过约去公因数来化简表达式。

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解题步骤 4.2.1

约去 $h$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.1.1

约去公因数。

$\frac{h (5 h^{3} + 20 h^{2} x + 30 h x^{2} + 20 x^{3} - 4 h^{2} - 12 h x - 12 x^{2} + 25)}{h}$

解题步骤 4.2.1.2

用 $5 h^{3} + 20 h^{2} x + 30 h x^{2} + 20 x^{3} - 4 h^{2} - 12 h x - 12 x^{2} + 25$ 除以 $1$ 。

$5 h^{3} + 20 h^{2} x + 30 h x^{2} + 20 x^{3} - 4 h^{2} - 12 h x - 12 x^{2} + 25$

解题步骤 4.2.2

化简表达式。

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解题步骤 4.2.2.1

移动 $h^{2}$ 。

$5 h^{3} + 20 x h^{2} + 30 h x^{2} + 20 x^{3} - 4 h^{2} - 12 h x - 12 x^{2} + 25$

解题步骤 4.2.2.2

移动 $h$ 。

$5 h^{3} + 20 x h^{2} + 30 x^{2} h + 20 x^{3} - 4 h^{2} - 12 h x - 12 x^{2} + 25$

解题步骤 4.2.2.3

移动 $h$ 。

$5 h^{3} + 20 x h^{2} + 30 x^{2} h + 20 x^{3} - 4 h^{2} - 12 x h - 12 x^{2} + 25$

解题步骤 4.2.2.4

移动 $- 4 h^{2}$ 。

$5 h^{3} + 20 x h^{2} + 30 x^{2} h + 20 x^{3} - 12 x h - 12 x^{2} - 4 h^{2} + 25$

解题步骤 4.2.2.5

移动 $- 12 x h$ 。

$5 h^{3} + 20 x h^{2} + 30 x^{2} h + 20 x^{3} - 12 x^{2} - 12 x h - 4 h^{2} + 25$

解题步骤 4.2.2.6

移动 $5 h^{3}$ 。

$20 x h^{2} + 30 x^{2} h + 20 x^{3} + 5 h^{3} - 12 x^{2} - 12 x h - 4 h^{2} + 25$

解题步骤 4.2.2.7

移动 $20 x h^{2}$ 。

$30 x^{2} h + 20 x^{3} + 20 x h^{2} + 5 h^{3} - 12 x^{2} - 12 x h - 4 h^{2} + 25$

解题步骤 4.2.2.8

将 $30 x^{2} h$ 和 $20 x^{3}$ 重新排序。

$20 x^{3} + 30 x^{2} h + 20 x h^{2} + 5 h^{3} - 12 x^{2} - 12 x h - 4 h^{2} + 25$

解题步骤 5

初级微积分 示例

初级微积分示例