初级微积分示例

$f (x) = \cot (x)$ , $[\frac{π}{3}, \frac{π}{2}]$

解题步骤 1

将 $f (x) = \cot (x)$ 写为等式。

$y = \cot (x)$

解题步骤 2

运用平均变化率公式代入。

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解题步骤 2.1

函数的平均变化率可通过计算两点的 $y$ 的变化值除以两点的 $x$ 变化值来求得。

$\frac{f (\frac{π}{2}) - f (\frac{π}{3})}{(\frac{π}{2}) - (\frac{π}{3})}$

解题步骤 2.2

代入 $f (\frac{π}{2})$ 和 $f (\frac{π}{3})$ 的方程 $y = \cot (x)$ 中，用对应的 $x$ 值替换函数中的 $x$ 。

$\frac{(\cot (\frac{π}{2})) - (\cot (\frac{π}{3}))}{(\frac{π}{2}) - (\frac{π}{3})}$

解题步骤 3

化简表达式。

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解题步骤 3.1

将分数的分子和分母乘以 $6$ 。

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解题步骤 3.1.1

将 $\frac{\cot (\frac{π}{2}) - \cot (\frac{π}{3})}{\frac{π}{2} - \frac{π}{3}}$ 乘以 $\frac{6}{6}$ 。

$\frac{6}{6} \cdot \frac{\cot (\frac{π}{2}) - \cot (\frac{π}{3})}{\frac{π}{2} - \frac{π}{3}}$

解题步骤 3.1.2

合并。

$\frac{6 (\cot (\frac{π}{2}) - \cot (\frac{π}{3}))}{6 (\frac{π}{2} - \frac{π}{3})}$

解题步骤 3.2

运用分配律。

$\frac{6 \cot (\frac{π}{2}) + 6 (- \cot (\frac{π}{3}))}{6 \frac{π}{2} + 6 (- \frac{π}{3})}$

解题步骤 3.3

通过相约进行化简。

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解题步骤 3.3.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.1.1

从 $6$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{6 \cot (\frac{π}{2}) + 6 (- \cot (\frac{π}{3}))}{2 (3) \frac{π}{2} + 6 (- \frac{π}{3})}$

解题步骤 3.3.1.2

约去公因数。

$\frac{6 \cot (\frac{π}{2}) + 6 (- \cot (\frac{π}{3}))}{2 \cdot 3 \frac{π}{2} + 6 (- \frac{π}{3})}$

解题步骤 3.3.1.3

重写表达式。

$\frac{6 \cot (\frac{π}{2}) + 6 (- \cot (\frac{π}{3}))}{3 π + 6 (- \frac{π}{3})}$

解题步骤 3.3.2

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.2.1

将 $- \frac{π}{3}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{6 \cot (\frac{π}{2}) + 6 (- \cot (\frac{π}{3}))}{3 π + 6 \frac{- π}{3}}$

解题步骤 3.3.2.2

从 $6$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{6 \cot (\frac{π}{2}) + 6 (- \cot (\frac{π}{3}))}{3 π + 3 (2) \frac{- π}{3}}$

解题步骤 3.3.2.3

约去公因数。

$\frac{6 \cot (\frac{π}{2}) + 6 (- \cot (\frac{π}{3}))}{3 π + 3 \cdot 2 \frac{- π}{3}}$

解题步骤 3.3.2.4

重写表达式。

$\frac{6 \cot (\frac{π}{2}) + 6 (- \cot (\frac{π}{3}))}{3 π + 2 (- π)}$

解题步骤 3.3.3

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{6 \cot (\frac{π}{2}) + 6 (- \cot (\frac{π}{3}))}{3 π - 2 π}$

解题步骤 3.4

化简分子。

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解题步骤 3.4.1

从 $6 \cot (\frac{π}{2}) + 6 (- \cot (\frac{π}{3}))$ 中分解出因数 $6$ 。

$\frac{6 (\cot (\frac{π}{2}) - \cot (\frac{π}{3}))}{3 π - 2 π}$

解题步骤 3.4.2

$\cot (\frac{π}{2})$ 的准确值为 $0$ 。

$\frac{6 (0 - \cot (\frac{π}{3}))}{3 π - 2 π}$

解题步骤 3.4.3

$\cot (\frac{π}{3})$ 的准确值为 $\frac{1}{\sqrt{3}}$ 。

$\frac{6 (0 - \frac{1}{\sqrt{3}})}{3 π - 2 π}$

解题步骤 3.4.4

将 $\frac{1}{\sqrt{3}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ 。

$\frac{6 (0 - (\frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}))}{3 π - 2 π}$

解题步骤 3.4.5

合并和化简分母。

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解题步骤 3.4.5.1

将 $\frac{1}{\sqrt{3}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ 。

$\frac{6 (0 - \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}})}{3 π - 2 π}$

解题步骤 3.4.5.2

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{6 (0 - \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}})}{3 π - 2 π}$

解题步骤 3.4.5.3

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{6 (0 - \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}})}{3 π - 2 π}$

解题步骤 3.4.5.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{6 (0 - \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}})}{3 π - 2 π}$

解题步骤 3.4.5.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{6 (0 - \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}})}{3 π - 2 π}$

解题步骤 3.4.5.6

将 ${\sqrt{3}}^{2}$ 重写为 $3$ 。

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解题步骤 3.4.5.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3}$ 重写成 $3^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{6 (0 - \frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}})}{3 π - 2 π}$

解题步骤 3.4.5.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{6 (0 - \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}})}{3 π - 2 π}$

解题步骤 3.4.5.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{6 (0 - \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}})}{3 π - 2 π}$

解题步骤 3.4.5.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.4.5.6.4.1

约去公因数。

$\frac{6 (0 - \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}})}{3 π - 2 π}$

解题步骤 3.4.5.6.4.2

重写表达式。

$\frac{6 (0 - \frac{\sqrt{3}}{3^{1}})}{3 π - 2 π}$

解题步骤 3.4.5.6.5

计算指数。

$\frac{6 (0 - \frac{\sqrt{3}}{3})}{3 π - 2 π}$

解题步骤 3.4.6

从 $0$ 中减去 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ 。

$\frac{6 \cdot - 1 \frac{\sqrt{3}}{3}}{3 π - 2 π}$

解题步骤 3.4.7

合并指数。

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解题步骤 3.4.7.1

提取负因数。

$\frac{- (6 \frac{\sqrt{3}}{3})}{3 π - 2 π}$

解题步骤 3.4.7.2

组合 $6$ 和 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ 。

$\frac{- \frac{6 \sqrt{3}}{3}}{3 π - 2 π}$

解题步骤 3.4.8

约去 $6$ 和 $3$ 的公因数。

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解题步骤 3.4.8.1

从 $6 \sqrt{3}$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{- \frac{3 (2 \sqrt{3})}{3}}{3 π - 2 π}$

解题步骤 3.4.8.2

约去公因数。

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解题步骤 3.4.8.2.1

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{- \frac{3 (2 \sqrt{3})}{3 (1)}}{3 π - 2 π}$

解题步骤 3.4.8.2.2

约去公因数。

$\frac{- \frac{3 (2 \sqrt{3})}{3 \cdot 1}}{3 π - 2 π}$

解题步骤 3.4.8.2.3

重写表达式。

$\frac{- \frac{2 \sqrt{3}}{1}}{3 π - 2 π}$

解题步骤 3.4.8.2.4

用 $2 \sqrt{3}$ 除以 $1$ 。

$\frac{- (2 \sqrt{3})}{3 π - 2 π}$

$\frac{- 1 \cdot 2 \sqrt{3}}{3 π - 2 π}$

解题步骤 3.4.9

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{- 2 \sqrt{3}}{3 π - 2 π}$

解题步骤 3.5

通过加上各项进行化简。

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解题步骤 3.5.1

从 $3 π$ 中减去 $2 π$ 。

$\frac{- 2 \sqrt{3}}{π}$

解题步骤 3.5.2

将负号移到分数的前面。

$- \frac{2 \sqrt{3}}{π}$

解题步骤 4

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$- \frac{2 \sqrt{3}}{π}$

小数形式：

$- 1.10265779 \dots$

初级微积分 示例

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